1
00:00:00,000 --> 00:00:00,000


2
00:00:00,000 --> 00:00:03,480
Her har jeg en haug 
med radikale uttrykk,

3
00:00:03,480 --> 00:00:05,110
eller, kvadratrots-uttrykk.

4
00:00:05,110 --> 00:00:07,090
Og det jeg skal gjøre 
er å gå igjennom dem,

5
00:00:07,090 --> 00:00:08,500
og forenkle dem.

6
00:00:08,500 --> 00:00:13,390
Og så skal vi drøfte om de er 
rasjonelle eller irrasjonelle tall.

7
00:00:13,390 --> 00:00:15,710
Så la oss begynne med a).

8
00:00:15,710 --> 00:00:20,440
a) er kvadratroten til 25.

9
00:00:20,440 --> 00:00:26,560
Det er det samme som 
kvadratroten til 5 ganger 5,

10
00:00:26,560 --> 00:00:31,000
som helt klart blir 5.

11
00:00:31,000 --> 00:00:34,440
Vi fokuserer på den 
positive kvadratroten her.

12
00:00:34,440 --> 00:00:37,060
La oss gjøre b).

13
00:00:37,060 --> 00:00:39,340
Jeg gjør den i en annen farge.

14
00:00:39,340 --> 00:00:42,250
Den positive kvadratroten.

15
00:00:42,250 --> 00:00:46,200
b), vi har kvadratroten til 24.

16
00:00:46,200 --> 00:00:50,530
Så det du vil gjøre er å 
faktorisere ut primtallene.

17
00:00:50,530 --> 00:00:53,560
Så 24, la oss faktorisere primtallene.

18
00:00:53,560 --> 00:00:56,250
Dette er 2 ganger 12.

19
00:00:56,250 --> 00:00:59,720
12 er 2 ganger 6.

20
00:00:59,720 --> 00:01:03,430
6 er 2 ganger 3.

21
00:01:03,430 --> 00:01:07,220
Så kvadratroten til 24, 
er det samme som

22
00:01:07,220 --> 00:01:15,320
kvadratroten til 2 ganger 
2 ganger 2 ganger 3.

23
00:01:15,320 --> 00:01:18,080
Det er det samme som 24.

24
00:01:18,080 --> 00:01:22,530
Vi ser at vi har et perfekt kvadrat der.

25
00:01:22,530 --> 00:01:23,870
Så vi kan skrive om dette.

26
00:01:23,870 --> 00:01:29,270
Det er det samme som 
kvadratroten til 2 ganger 2

27
00:01:29,270 --> 00:01:34,030
ganger kvadratroten til 2 ganger 3.

28
00:01:34,030 --> 00:01:35,890
Dette er helt klart 2.

29
00:01:35,890 --> 00:01:38,920
Kvadratroten til 4 er 2.

30
00:01:38,920 --> 00:01:40,710
Og dette kan vi ikke forenkle mer.

31
00:01:40,710 --> 00:01:44,520
Vi ser ikke noe tall 
ganget med seg selv her.

32
00:01:44,520 --> 00:01:47,940
Så dette blir ganger 
kvadratroten til 6.

33
00:01:47,940 --> 00:01:49,700
Eller, vi kan til og med skrive
det som kvadratroten til 2

34
00:01:49,700 --> 00:01:51,540
ganger kvadratroten til 3.

35
00:01:51,540 --> 00:01:54,550
Jeg sa jeg skulle snakke om 
ting er rasjonelle eller ikke.

36
00:01:54,550 --> 00:01:56,460
Dette er rasjonelt.

37
00:01:56,460 --> 00:02:03,630
Del a) kan uttrykkes som 
forholdet mellom to heltall.

38
00:02:03,630 --> 00:02:05,920
Nemlig 5 over 1.

39
00:02:05,920 --> 00:02:07,340
Dette er rasjonelt.

40
00:02:07,340 --> 00:02:11,840
Dette er irrasjonelt.

41
00:02:11,840 --> 00:02:14,060
Jeg skal ikke bevise det 
i denne videoen, men

42
00:02:14,060 --> 00:02:18,770
alt som er et produkt 
av irrasjonelle tall,

43
00:02:18,770 --> 00:02:24,920
og kvadratrøtter av 
primtall er irrasjonelle.

44
00:02:24,920 --> 00:02:25,790
Jeg beviser det ikke her.

45
00:02:25,790 --> 00:02:29,060
Dette er kvadratroten til 
2 ganger kvadratroten til 3,

46
00:02:29,060 --> 00:02:30,365
det er det kvadratroten til 6 er.

47
00:02:30,365 --> 00:02:32,280
Og det er det som 
gjør det irrasjonelt.

48
00:02:32,280 --> 00:02:35,910
Jeg kan ikke uttrykke 
dette som en brøk.

49
00:02:35,910 --> 00:02:41,360
Jeg kan ikke skrive dette som 
et heltall over et annet heltall.

50
00:02:41,360 --> 00:02:43,250
Som jeg gjorde der. Og 
jeg beviser det ikke her,

51
00:02:43,250 --> 00:02:45,910
jeg bare gir deg litt øvelse.

52
00:02:45,910 --> 00:02:47,010
En kjappere måte å gjøre det på,

53
00:02:47,010 --> 00:02:49,770
er å si at 4 går opp i dette, 
og 4 er et perfekt kvadrat.

54
00:02:49,770 --> 00:02:50,830
La meg ta 4 ut.

55
00:02:50,830 --> 00:02:52,120
Dette er 4 ganger 6.

56
00:02:52,120 --> 00:02:54,770
Kvadratroten til 4 
er 2, la 6-eren bli,

57
00:02:54,770 --> 00:02:56,160
og du ville fått 2 ganger 
kvadratroten til 6.

58
00:02:56,160 --> 00:02:58,740
Som du ville fått-- Du 
får taket på det til slutt,

59
00:02:58,740 --> 00:03:01,590
men jeg vil gjøre det 
systematisk til å begynne med.

60
00:03:01,590 --> 00:03:03,820
La oss gjøre del c).

61
00:03:03,820 --> 00:03:06,610
Kvadratroten til 20.

62
00:03:06,610 --> 00:03:12,350
Igjen, 20 er 2 ganger 10,
som er 2 ganger 5.

63
00:03:12,350 --> 00:03:15,916
Så dette er det samme 
som kvadratroten til

64
00:03:15,916 --> 00:03:20,740
2 ganger 2, ganger 5.

65
00:03:20,740 --> 00:03:23,580
Kvadratroten til 2 ganger 2 blir 2.

66
00:03:23,580 --> 00:03:25,120
Så det blir 2--

67
00:03:25,120 --> 00:03:27,380
Det blir kvadratroten til dette 
ganger kvadratroten til det.

68
00:03:27,380 --> 00:03:29,400
2 ganger kvadratroten til 5.

69
00:03:29,400 --> 00:03:31,910
Og du kan sikkert ta det 
i hodet, med litt øvelse.

70
00:03:31,910 --> 00:03:34,920
Kvadratroten til--
20 er 4 ganger 5.

71
00:03:34,920 --> 00:03:36,550
Kvadratroten til 4 er 2.

72
00:03:36,550 --> 00:03:39,080
Og du lar 5-eren stå 
under kvadratrot-tegnet.

73
00:03:39,080 --> 00:03:43,200
La oss gjøre del d).

74
00:03:43,200 --> 00:03:47,380
Vi må finne kvadratroten til 200.

75
00:03:47,380 --> 00:03:48,350
Samme prosess.

76
00:03:48,350 --> 00:03:50,390
La oss finne primtallsfaktorene.

77
00:03:50,390 --> 00:03:54,696
Så det er 2 ganger 100, 
som er 2 ganger 50,

78
00:03:54,696 --> 00:04:01,030
som er 2 ganger 25,
som er 5 ganger 5.

79
00:04:01,030 --> 00:04:03,640
Så dette her kan vi skrive om--

80
00:04:03,640 --> 00:04:05,800
La meg rulle litt til høyre.

81
00:04:05,800 --> 00:04:15,030
Dette er lik kvadratroten 
til 2 ganger 2 ganger 2

82
00:04:15,030 --> 00:04:18,390
ganger 5 ganger 5.

83
00:04:18,390 --> 00:04:20,730
Vi har et perfekt kvadrat der,

84
00:04:20,730 --> 00:04:23,350
og vi har enda et 
perfekt kvadrat der.

85
00:04:23,350 --> 00:04:25,290
Så hvis jeg vil skrive 
alle stegene, blir dette

86
00:04:25,290 --> 00:04:31,170
kvadratroten til 2 ganger 2, 
ganger kvadratroten til 2,

87
00:04:31,170 --> 00:04:35,120
ganger kvadratroten til 5 ganger 5.

88
00:04:35,120 --> 00:04:37,345
Kvadratroten til 2 ganger 2 er 2.

89
00:04:37,345 --> 00:04:40,245
Kvadratroten til 2 er 
bare kvadratroten til 2.

90
00:04:40,245 --> 00:04:43,680
Kvadratroten til 5 ganger 5, 
det er kvadratroten til 25.

91
00:04:43,680 --> 00:04:45,430
Det blir bare 5.

92
00:04:45,430 --> 00:04:46,880
Du kan omorganisere disse.

93
00:04:46,880 --> 00:04:48,830
2 ganger 5 er 10.

94
00:04:48,830 --> 00:04:50,730
10 kvadratrøtter av 2.

95
00:04:50,730 --> 00:04:53,150
Og igjen, dette er irrasjonelt.

96
00:04:53,150 --> 00:05:00,850
Du kan ikke skrive dette som en 
brøk med heltall i teller og nevner.

97
00:05:00,850 --> 00:05:04,456
Og prøver du å skrive dette tallet,

98
00:05:04,456 --> 00:05:08,610
vil det bare fortsette og 
fortsette, og aldri gjenta seg.

99
00:05:08,610 --> 00:05:10,790
La oss gjøre del e).

100
00:05:10,790 --> 00:05:13,720
Kvadratroten til 2000.

101
00:05:13,720 --> 00:05:15,660
Jeg tar den her nede.

102
00:05:15,660 --> 00:05:17,023
Del e).

103
00:05:18,423 --> 00:05:20,546
Kvadratroten til 2000.

104
00:05:20,546 --> 00:05:23,950
Akkurat samme fremgangsmåte som før.

105
00:05:23,950 --> 00:05:25,820
La oss faktorisere primtall.

106
00:05:25,820 --> 00:05:33,780
Det er 2 ganger 1000,
som er 2 ganger 500,

107
00:05:33,780 --> 00:05:40,376
som er 2 ganger 250,
som er 2 ganger 125,

108
00:05:40,376 --> 00:05:49,580
som er 5 ganger 25,
som er 5 ganger 5.

109
00:05:49,580 --> 00:05:50,600
Og vi er ferdige.

110
00:05:50,600 --> 00:05:55,060
Så dette er lik kvadratroten til

111
00:05:55,060 --> 00:05:59,630
2 ganger 2, i parenteser,

112
00:05:59,630 --> 00:06:06,350
ganger 2 ganger 2,
ganger 5 ganger 5,

113
00:06:06,350 --> 00:06:08,840
ganger 5 ganger 5,

114
00:06:08,840 --> 00:06:12,380
Vi har en, to, tre, fire 
2-ere, og tre 5-ere.

115
00:06:13,310 --> 00:06:14,763
Ganger 5.

116
00:06:14,763 --> 00:06:18,116
Nå, hva blir dette?

117
00:06:18,116 --> 00:06:21,080
Vel, en ting du kanskje ser, er at

118
00:06:21,080 --> 00:06:25,140
dette er en 4-er,
dette er en 4-er.

119
00:06:25,140 --> 00:06:27,510
Så vi har 4 to ganger.

120
00:06:27,510 --> 00:06:32,600
Så dette er det samme som 
kvadratroten til 4 ganger 4,

121
00:06:32,600 --> 00:06:36,510
ganger kvadratroten til 5 ganger 5,

122
00:06:36,510 --> 00:06:39,480
ganger kvadratroten til 5.

123
00:06:39,480 --> 00:06:42,310
Så dette her er 4,


124
00:06:42,310 --> 00:06:44,570
dette her er 5,

125
00:06:44,570 --> 00:06:47,070
ganget med kvadratroten til 5.

126
00:06:47,070 --> 00:06:52,070
Så 4 ganger 5 er 20 kvadratrøtter av 5.

127
00:06:52,070 --> 00:06:56,070
Og igjen, dette er et irrasjonelt tall.

128
00:06:56,070 --> 00:06:58,290
Irrasjonelt.

129
00:06:58,290 --> 00:07:01,260
La oss gjøre f).

130
00:07:01,260 --> 00:07:03,483
Kvadratroten til 1/4.

131
00:07:04,333 --> 00:07:15,611
f), kvadratroten til 1/4.

132
00:07:15,611 --> 00:07:18,467
Dette kan vi se på som 
kvadratroten til 1,

133
00:07:18,467 --> 00:07:21,323
over kvadratroten til 4.

134
00:07:21,323 --> 00:07:24,180
Som er lik 1/2.

135
00:07:24,180 --> 00:07:25,540
Som helt klart er rasjonelt.

136
00:07:25,540 --> 00:07:27,400
Det kan skrives som en brøk.

137
00:07:27,400 --> 00:07:33,050
Så det er helt klart et rasjonelt tall.

138
00:07:33,050 --> 00:07:34,763
Del g).

139
00:07:34,763 --> 00:07:40,926
Del g), er kvadratroten til 9/4.

140
00:07:40,926 --> 00:07:43,800
Kvadratroten til 9 over 4.

141
00:07:43,800 --> 00:07:44,600
Samme logikk.

142
00:07:44,600 --> 00:07:48,910
Dette er lik kvadratroten til 
9 over kvadratroten til 4.

143
00:07:48,910 --> 00:07:52,910
Som er lik 3/2.

144
00:07:52,910 --> 00:07:56,960
La oss ta del h).

145
00:07:56,960 --> 00:08:02,720
Kvadratroten til 0,16.

146
00:08:02,720 --> 00:08:04,760
Du kunne tatt denne i hodet

147
00:08:04,760 --> 00:08:10,170
hvis du visste at 0,4 
ganger 0,4 er lik 0,16.

148
00:08:10,170 --> 00:08:14,190
Men jeg skal vise deg en mer 
systematisk måte å gjøre det på,

149
00:08:14,190 --> 00:08:16,040
hvis det ikke var åpenbart.

150
00:08:16,040 --> 00:08:17,620
Dette er det samme som

151
00:08:17,620 --> 00:08:22,730
kvadratroten til 16 over 100.

152
00:08:22,730 --> 00:08:24,840
Det er det 0,16 er.

153
00:08:24,840 --> 00:08:29,950
Så det er lik kvadratroten til 
16 over kvadratroten til 100.

154
00:08:29,950 --> 00:08:37,010
Som er lik 4 over 10,
som er lik 0,4.

155
00:08:37,010 --> 00:08:39,429
La oss gjøre et par til.

156
00:08:39,429 --> 00:08:46,180
Del i), er kvadratroten 
til 0,1, som er lik

157
00:08:46,180 --> 00:08:48,366
kvadratroten til 1over 10.

158
00:08:48,366 --> 00:08:52,712
Som er lik kvadratroten til 1 
over kvadratroten til 10,

159
00:08:52,712 --> 00:08:55,980
som er lik 1 over--

160
00:08:55,980 --> 00:08:59,890
Kvadratroten til 10--
10 er bare 2 ganger 5,

161
00:08:59,890 --> 00:09:01,380
så det hjelper oss ikke.

162
00:09:01,380 --> 00:09:04,920
Det blir bare kvadratroten til 10 der.

163
00:09:04,920 --> 00:09:07,170
Mange mattelærere liker ikke at du lar

164
00:09:07,170 --> 00:09:08,870
kvadratrot-tegnet stå i nevneren.

165
00:09:08,870 --> 00:09:11,060
Men jeg kan si deg 
at dette er irrasjonelt.

166
00:09:11,060 --> 00:09:12,930
Irrasjonelt.

167
00:09:12,930 --> 00:09:16,536
Du vil bare fortsette å få nye tall--
Du kan prøve det på kalkulatoren.

168
00:09:16,536 --> 00:09:17,520
Det vil aldri gjenta seg,

169
00:09:17,520 --> 00:09:19,430
og kalkulatoren vil bare 
gi deg en tilnærming.

170
00:09:19,430 --> 00:09:22,903
Det eksakte svaret krever 
et uendelig antall siffer.

171
00:09:22,903 --> 00:09:25,770
Men hvis du vil 
rasjonalisere dette--

172
00:09:25,770 --> 00:09:26,820
Bare for å vise deg.

173
00:09:26,820 --> 00:09:28,190
Hvis du vil bli kvitt 
kvadratrot-tegnet i

174
00:09:28,190 --> 00:09:29,930
nevneren, kan du gange det med

175
00:09:29,930 --> 00:09:33,520
kvadratroten til 10 over 
kvadratroten til 10.

176
00:09:33,520 --> 00:09:34,910
Dette er bare 1.

177
00:09:34,910 --> 00:09:38,130
Da får du kvadratroten til 10 over 10.

178
00:09:38,130 --> 00:09:39,600
Disse er like uttrykk, men

179
00:09:39,600 --> 00:09:41,540
begge er irrasjonelle.

180
00:09:41,540 --> 00:09:45,660
Deler du et irrasjonelt tall på 10, 
har du fortsatt et irrasjonelt tall.

181
00:09:45,660 --> 00:09:49,520
La oss ta j).

182
00:09:49,520 --> 00:09:53,570
Kvadratroten til 0,01.

183
00:09:53,570 --> 00:09:57,570
det er det samme som 
kvadratroten til 1 over 100.

184
00:09:57,570 --> 00:10:01,760
Som er lik kvadratroten til 
1 over kvadratroten til 100.

185
00:10:01,760 --> 00:10:07,050
Som er lik 1 over 10, eller 0,1.

186
00:10:07,050 --> 00:10:10,030
Igjen, dette er helt 
klart et rasjonelt tall.

187
00:10:10,030 --> 00:10:12,880
Det er skrevet som en brøk.

188
00:10:12,880 --> 00:10:14,185
Dette tallet her oppe 
var også rasjonelt.

189
00:10:14,185 --> 00:10:18,000
Det kan skrives som en brøk.