WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.000 00:00:00.000 --> 00:00:03.480 Her har jeg en haug med radikale uttrykk, 00:00:03.480 --> 00:00:05.110 eller, kvadratrots-uttrykk. 00:00:05.110 --> 00:00:07.090 Og det jeg skal gjøre er å gå igjennom dem, 00:00:07.090 --> 00:00:08.500 og forenkle dem. 00:00:08.500 --> 00:00:13.390 Og så skal vi drøfte om de er rasjonelle eller irrasjonelle tall. 00:00:13.390 --> 00:00:15.710 Så la oss begynne med a). 00:00:15.710 --> 00:00:20.440 a) er kvadratroten til 25. 00:00:20.440 --> 00:00:26.560 Det er det samme som kvadratroten til 5 ganger 5, 00:00:26.560 --> 00:00:31.000 som helt klart blir 5. 00:00:31.000 --> 00:00:34.440 Vi fokuserer på den positive kvadratroten her. 00:00:34.440 --> 00:00:37.060 La oss gjøre b). 00:00:37.060 --> 00:00:39.340 Jeg gjør den i en annen farge. 00:00:39.340 --> 00:00:42.250 Den positive kvadratroten. 00:00:42.250 --> 00:00:46.200 b), vi har kvadratroten til 24. 00:00:46.200 --> 00:00:50.530 Så det du vil gjøre er å faktorisere ut primtallene. 00:00:50.530 --> 00:00:53.560 Så 24, la oss faktorisere primtallene. 00:00:53.560 --> 00:00:56.250 Dette er 2 ganger 12. 00:00:56.250 --> 00:00:59.720 12 er 2 ganger 6. 00:00:59.720 --> 00:01:03.430 6 er 2 ganger 3. 00:01:03.430 --> 00:01:07.220 Så kvadratroten til 24, er det samme som 00:01:07.220 --> 00:01:15.320 kvadratroten til 2 ganger 2 ganger 2 ganger 3. 00:01:15.320 --> 00:01:18.080 Det er det samme som 24. 00:01:18.080 --> 00:01:22.530 Vi ser at vi har et perfekt kvadrat der. 00:01:22.530 --> 00:01:23.870 Så vi kan skrive om dette. 00:01:23.870 --> 00:01:29.270 Det er det samme som kvadratroten til 2 ganger 2 00:01:29.270 --> 00:01:34.030 ganger kvadratroten til 2 ganger 3. 00:01:34.030 --> 00:01:35.890 Dette er helt klart 2. 00:01:35.890 --> 00:01:38.920 Kvadratroten til 4 er 2. 00:01:38.920 --> 00:01:40.710 Og dette kan vi ikke forenkle mer. 00:01:40.710 --> 00:01:44.520 Vi ser ikke noe tall ganget med seg selv her. 00:01:44.520 --> 00:01:47.940 Så dette blir ganger kvadratroten til 6. 00:01:47.940 --> 00:01:49.700 Eller, vi kan til og med skrive det som kvadratroten til 2 00:01:49.700 --> 00:01:51.540 ganger kvadratroten til 3. 00:01:51.540 --> 00:01:54.550 Jeg sa jeg skulle snakke om ting er rasjonelle eller ikke. 00:01:54.550 --> 00:01:56.460 Dette er rasjonelt. 00:01:56.460 --> 00:02:03.630 Del a) kan uttrykkes som forholdet mellom to heltall. 00:02:03.630 --> 00:02:05.920 Nemlig 5 over 1. 00:02:05.920 --> 00:02:07.340 Dette er rasjonelt. 00:02:07.340 --> 00:02:11.840 Dette er irrasjonelt. 00:02:11.840 --> 00:02:14.060 Jeg skal ikke bevise det i denne videoen, men 00:02:14.060 --> 00:02:18.770 alt som er et produkt av irrasjonelle tall, 00:02:18.770 --> 00:02:24.920 og kvadratrøtter av primtall er irrasjonelle. 00:02:24.920 --> 00:02:25.790 Jeg beviser det ikke her. 00:02:25.790 --> 00:02:29.060 Dette er kvadratroten til 2 ganger kvadratroten til 3, 00:02:29.060 --> 00:02:30.365 det er det kvadratroten til 6 er. 00:02:30.365 --> 00:02:32.280 Og det er det som gjør det irrasjonelt. 00:02:32.280 --> 00:02:35.910 Jeg kan ikke uttrykke dette som en brøk. 00:02:35.910 --> 00:02:41.360 Jeg kan ikke skrive dette som et heltall over et annet heltall. 00:02:41.360 --> 00:02:43.250 Som jeg gjorde der. Og jeg beviser det ikke her, 00:02:43.250 --> 00:02:45.910 jeg bare gir deg litt øvelse. 00:02:45.910 --> 00:02:47.010 En kjappere måte å gjøre det på, 00:02:47.010 --> 00:02:49.770 er å si at 4 går opp i dette, og 4 er et perfekt kvadrat. 00:02:49.770 --> 00:02:50.830 La meg ta 4 ut. 00:02:50.830 --> 00:02:52.120 Dette er 4 ganger 6. 00:02:52.120 --> 00:02:54.770 Kvadratroten til 4 er 2, la 6-eren bli, 00:02:54.770 --> 00:02:56.160 og du ville fått 2 ganger kvadratroten til 6. 00:02:56.160 --> 00:02:58.740 Som du ville fått-- Du får taket på det til slutt, 00:02:58.740 --> 00:03:01.590 men jeg vil gjøre det systematisk til å begynne med. 00:03:01.590 --> 00:03:03.820 La oss gjøre del c). 00:03:03.820 --> 00:03:06.610 Kvadratroten til 20. 00:03:06.610 --> 00:03:12.350 Igjen, 20 er 2 ganger 10, som er 2 ganger 5. 00:03:12.350 --> 00:03:15.916 Så dette er det samme som kvadratroten til 00:03:15.916 --> 00:03:20.740 2 ganger 2, ganger 5. 00:03:20.740 --> 00:03:23.580 Kvadratroten til 2 ganger 2 blir 2. 00:03:23.580 --> 00:03:25.120 Så det blir 2-- 00:03:25.120 --> 00:03:27.380 Det blir kvadratroten til dette ganger kvadratroten til det. 00:03:27.380 --> 00:03:29.400 2 ganger kvadratroten til 5. 00:03:29.400 --> 00:03:31.910 Og du kan sikkert ta det i hodet, med litt øvelse. 00:03:31.910 --> 00:03:34.920 Kvadratroten til-- 20 er 4 ganger 5. 00:03:34.920 --> 00:03:36.550 Kvadratroten til 4 er 2. 00:03:36.550 --> 00:03:39.080 Og du lar 5-eren stå under kvadratrot-tegnet. 00:03:39.080 --> 00:03:43.200 La oss gjøre del d). 00:03:43.200 --> 00:03:47.380 Vi må finne kvadratroten til 200. 00:03:47.380 --> 00:03:48.350 Samme prosess. 00:03:48.350 --> 00:03:50.390 La oss finne primtallsfaktorene. 00:03:50.390 --> 00:03:54.696 Så det er 2 ganger 100, som er 2 ganger 50, 00:03:54.696 --> 00:04:01.030 som er 2 ganger 25, som er 5 ganger 5. 00:04:01.030 --> 00:04:03.640 Så dette her kan vi skrive om-- 00:04:03.640 --> 00:04:05.800 La meg rulle litt til høyre. 00:04:05.800 --> 00:04:15.030 Dette er lik kvadratroten til 2 ganger 2 ganger 2 00:04:15.030 --> 00:04:18.390 ganger 5 ganger 5. 00:04:18.390 --> 00:04:20.730 Vi har et perfekt kvadrat der, 00:04:20.730 --> 00:04:23.350 og vi har enda et perfekt kvadrat der. 00:04:23.350 --> 00:04:25.290 Så hvis jeg vil skrive alle stegene, blir dette 00:04:25.290 --> 00:04:31.170 kvadratroten til 2 ganger 2, ganger kvadratroten til 2, 00:04:31.170 --> 00:04:35.120 ganger kvadratroten til 5 ganger 5. 00:04:35.120 --> 00:04:37.345 Kvadratroten til 2 ganger 2 er 2. 00:04:37.345 --> 00:04:40.245 Kvadratroten til 2 er bare kvadratroten til 2. 00:04:40.245 --> 00:04:43.680 Kvadratroten til 5 ganger 5, det er kvadratroten til 25. 00:04:43.680 --> 00:04:45.430 Det blir bare 5. 00:04:45.430 --> 00:04:46.880 Du kan omorganisere disse. 00:04:46.880 --> 00:04:48.830 2 ganger 5 er 10. 00:04:48.830 --> 00:04:50.730 10 kvadratrøtter av 2. 00:04:50.730 --> 00:04:53.150 Og igjen, dette er irrasjonelt. 00:04:53.150 --> 00:05:00.850 Du kan ikke skrive dette som en brøk med heltall i teller og nevner. 00:05:00.850 --> 00:05:04.456 Og prøver du å skrive dette tallet, 00:05:04.456 --> 00:05:08.610 vil det bare fortsette og fortsette, og aldri gjenta seg. 00:05:08.610 --> 00:05:10.790 La oss gjøre del e). 00:05:10.790 --> 00:05:13.720 Kvadratroten til 2000. 00:05:13.720 --> 00:05:15.660 Jeg tar den her nede. 00:05:15.660 --> 00:05:17.023 Del e). 00:05:18.423 --> 00:05:20.546 Kvadratroten til 2000. 00:05:20.546 --> 00:05:23.950 Akkurat samme fremgangsmåte som før. 00:05:23.950 --> 00:05:25.820 La oss faktorisere primtall. 00:05:25.820 --> 00:05:33.780 Det er 2 ganger 1000, som er 2 ganger 500, 00:05:33.780 --> 00:05:40.376 som er 2 ganger 250, som er 2 ganger 125, 00:05:40.376 --> 00:05:49.580 som er 5 ganger 25, som er 5 ganger 5. 00:05:49.580 --> 00:05:50.600 Og vi er ferdige. 00:05:50.600 --> 00:05:55.060 Så dette er lik kvadratroten til 00:05:55.060 --> 00:05:59.630 2 ganger 2, i parenteser, 00:05:59.630 --> 00:06:06.350 ganger 2 ganger 2, ganger 5 ganger 5, 00:06:06.350 --> 00:06:08.840 ganger 5 ganger 5, 00:06:08.840 --> 00:06:12.380 Vi har en, to, tre, fire 2-ere, og tre 5-ere. 00:06:13.310 --> 00:06:14.763 Ganger 5. 00:06:14.763 --> 00:06:18.116 Nå, hva blir dette? 00:06:18.116 --> 00:06:21.080 Vel, en ting du kanskje ser, er at 00:06:21.080 --> 00:06:25.140 dette er en 4-er, dette er en 4-er. 00:06:25.140 --> 00:06:27.510 Så vi har 4 to ganger. 00:06:27.510 --> 00:06:32.600 Så dette er det samme som kvadratroten til 4 ganger 4, 00:06:32.600 --> 00:06:36.510 ganger kvadratroten til 5 ganger 5, 00:06:36.510 --> 00:06:39.480 ganger kvadratroten til 5. 00:06:39.480 --> 00:06:42.310 Så dette her er 4, 00:06:42.310 --> 00:06:44.570 dette her er 5, 00:06:44.570 --> 00:06:47.070 ganget med kvadratroten til 5. 00:06:47.070 --> 00:06:52.070 Så 4 ganger 5 er 20 kvadratrøtter av 5. 00:06:52.070 --> 00:06:56.070 Og igjen, dette er et irrasjonelt tall. 00:06:56.070 --> 00:06:58.290 Irrasjonelt. 00:06:58.290 --> 00:07:01.260 La oss gjøre f). 00:07:01.260 --> 00:07:03.483 Kvadratroten til 1/4. 00:07:04.333 --> 00:07:15.611 f), kvadratroten til 1/4. 00:07:15.611 --> 00:07:18.467 Dette kan vi se på som kvadratroten til 1, 00:07:18.467 --> 00:07:21.323 over kvadratroten til 4. 00:07:21.323 --> 00:07:24.180 Som er lik 1/2. 00:07:24.180 --> 00:07:25.540 Som helt klart er rasjonelt. 00:07:25.540 --> 00:07:27.400 Det kan skrives som en brøk. 00:07:27.400 --> 00:07:33.050 Så det er helt klart et rasjonelt tall. 00:07:33.050 --> 00:07:34.763 Del g). 00:07:34.763 --> 00:07:40.926 Del g), er kvadratroten til 9/4. 00:07:40.926 --> 00:07:43.800 Kvadratroten til 9 over 4. 00:07:43.800 --> 00:07:44.600 Samme logikk. 00:07:44.600 --> 00:07:48.910 Dette er lik kvadratroten til 9 over kvadratroten til 4. 00:07:48.910 --> 00:07:52.910 Som er lik 3/2. 00:07:52.910 --> 00:07:56.960 La oss ta del h). 00:07:56.960 --> 00:08:02.720 Kvadratroten til 0,16. 00:08:02.720 --> 00:08:04.760 Du kunne tatt denne i hodet 00:08:04.760 --> 00:08:10.170 hvis du visste at 0,4 ganger 0,4 er lik 0,16. 00:08:10.170 --> 00:08:14.190 Men jeg skal vise deg en mer systematisk måte å gjøre det på, 00:08:14.190 --> 00:08:16.040 hvis det ikke var åpenbart. 00:08:16.040 --> 00:08:17.620 Dette er det samme som 00:08:17.620 --> 00:08:22.730 kvadratroten til 16 over 100. 00:08:22.730 --> 00:08:24.840 Det er det 0,16 er. 00:08:24.840 --> 00:08:29.950 Så det er lik kvadratroten til 16 over kvadratroten til 100. 00:08:29.950 --> 00:08:37.010 Som er lik 4 over 10, som er lik 0,4. 00:08:37.010 --> 00:08:39.429 La oss gjøre et par til. 00:08:39.429 --> 00:08:46.180 Del i), er kvadratroten til 0,1, som er lik 00:08:46.180 --> 00:08:48.366 kvadratroten til 1over 10. 00:08:48.366 --> 00:08:52.712 Som er lik kvadratroten til 1 over kvadratroten til 10, 00:08:52.712 --> 00:08:55.980 som er lik 1 over-- 00:08:55.980 --> 00:08:59.890 Kvadratroten til 10-- 10 er bare 2 ganger 5, 00:08:59.890 --> 00:09:01.380 så det hjelper oss ikke. 00:09:01.380 --> 00:09:04.920 Det blir bare kvadratroten til 10 der. 00:09:04.920 --> 00:09:07.170 Mange mattelærere liker ikke at du lar 00:09:07.170 --> 00:09:08.870 kvadratrot-tegnet stå i nevneren. 00:09:08.870 --> 00:09:11.060 Men jeg kan si deg at dette er irrasjonelt. 00:09:11.060 --> 00:09:12.930 Irrasjonelt. 00:09:12.930 --> 00:09:16.536 Du vil bare fortsette å få nye tall-- Du kan prøve det på kalkulatoren. 00:09:16.536 --> 00:09:17.520 Det vil aldri gjenta seg, 00:09:17.520 --> 00:09:19.430 og kalkulatoren vil bare gi deg en tilnærming. 00:09:19.430 --> 00:09:22.903 Det eksakte svaret krever et uendelig antall siffer. 00:09:22.903 --> 00:09:25.770 Men hvis du vil rasjonalisere dette-- 00:09:25.770 --> 00:09:26.820 Bare for å vise deg. 00:09:26.820 --> 00:09:28.190 Hvis du vil bli kvitt kvadratrot-tegnet i 00:09:28.190 --> 00:09:29.930 nevneren, kan du gange det med 00:09:29.930 --> 00:09:33.520 kvadratroten til 10 over kvadratroten til 10. 00:09:33.520 --> 00:09:34.910 Dette er bare 1. 00:09:34.910 --> 00:09:38.130 Da får du kvadratroten til 10 over 10. 00:09:38.130 --> 00:09:39.600 Disse er like uttrykk, men 00:09:39.600 --> 00:09:41.540 begge er irrasjonelle. 00:09:41.540 --> 00:09:45.660 Deler du et irrasjonelt tall på 10, har du fortsatt et irrasjonelt tall. 00:09:45.660 --> 00:09:49.520 La oss ta j). 00:09:49.520 --> 00:09:53.570 Kvadratroten til 0,01. 00:09:53.570 --> 00:09:57.570 det er det samme som kvadratroten til 1 over 100. 00:09:57.570 --> 00:10:01.760 Som er lik kvadratroten til 1 over kvadratroten til 100. 00:10:01.760 --> 00:10:07.050 Som er lik 1 over 10, eller 0,1. 00:10:07.050 --> 00:10:10.030 Igjen, dette er helt klart et rasjonelt tall. 00:10:10.030 --> 00:10:12.880 Det er skrevet som en brøk. 00:10:12.880 --> 00:10:14.185 Dette tallet her oppe var også rasjonelt. 00:10:14.185 --> 00:10:18.000 Det kan skrives som en brøk.