Her har jeg en haug med radikale uttrykk,
eller, kvadratrots-uttrykk.
Og det jeg skal gjøre er å gå igjennom dem,
og forenkle dem.
Og så skal vi drøfte om de er rasjonelle eller irrasjonelle tall.
Så la oss begynne med a).
a) er kvadratroten til 25.
Det er det samme som kvadratroten til 5 ganger 5,
som helt klart blir 5.
Vi fokuserer på den positive kvadratroten her.
La oss gjøre b).
Jeg gjør den i en annen farge.
Den positive kvadratroten.
b), vi har kvadratroten til 24.
Så det du vil gjøre er å faktorisere ut primtallene.
Så 24, la oss faktorisere primtallene.
Dette er 2 ganger 12.
12 er 2 ganger 6.
6 er 2 ganger 3.
Så kvadratroten til 24, er det samme som
kvadratroten til 2 ganger 2 ganger 2 ganger 3.
Det er det samme som 24.
Vi ser at vi har et perfekt kvadrat der.
Så vi kan skrive om dette.
Det er det samme som kvadratroten til 2 ganger 2
ganger kvadratroten til 2 ganger 3.
Dette er helt klart 2.
Kvadratroten til 4 er 2.
Og dette kan vi ikke forenkle mer.
Vi ser ikke noe tall ganget med seg selv her.
Så dette blir ganger kvadratroten til 6.
Eller, vi kan til og med skrive det som kvadratroten til 2
ganger kvadratroten til 3.
Jeg sa jeg skulle snakke om ting er rasjonelle eller ikke.
Dette er rasjonelt.
Del a) kan uttrykkes som forholdet mellom to heltall.
Nemlig 5 over 1.
Dette er rasjonelt.
Dette er irrasjonelt.
Jeg skal ikke bevise det i denne videoen, men
alt som er et produkt av irrasjonelle tall,
og kvadratrøtter av primtall er irrasjonelle.
Jeg beviser det ikke her.
Dette er kvadratroten til 2 ganger kvadratroten til 3,
det er det kvadratroten til 6 er.
Og det er det som gjør det irrasjonelt.
Jeg kan ikke uttrykke dette som en brøk.
Jeg kan ikke skrive dette som et heltall over et annet heltall.
Som jeg gjorde der. Og jeg beviser det ikke her,
jeg bare gir deg litt øvelse.
En kjappere måte å gjøre det på,
er å si at 4 går opp i dette, og 4 er et perfekt kvadrat.
La meg ta 4 ut.
Dette er 4 ganger 6.
Kvadratroten til 4 er 2, la 6-eren bli,
og du ville fått 2 ganger kvadratroten til 6.
Som du ville fått-- Du får taket på det til slutt,
men jeg vil gjøre det systematisk til å begynne med.
La oss gjøre del c).
Kvadratroten til 20.
Igjen, 20 er 2 ganger 10, som er 2 ganger 5.
Så dette er det samme som kvadratroten til
2 ganger 2, ganger 5.
Kvadratroten til 2 ganger 2 blir 2.
Så det blir 2--
Det blir kvadratroten til dette ganger kvadratroten til det.
2 ganger kvadratroten til 5.
Og du kan sikkert ta det i hodet, med litt øvelse.
Kvadratroten til-- 20 er 4 ganger 5.
Kvadratroten til 4 er 2.
Og du lar 5-eren stå under kvadratrot-tegnet.
La oss gjøre del d).
Vi må finne kvadratroten til 200.
Samme prosess.
La oss finne primtallsfaktorene.
Så det er 2 ganger 100, som er 2 ganger 50,
som er 2 ganger 25, som er 5 ganger 5.
Så dette her kan vi skrive om--
La meg rulle litt til høyre.
Dette er lik kvadratroten til 2 ganger 2 ganger 2
ganger 5 ganger 5.
Vi har et perfekt kvadrat der,
og vi har enda et perfekt kvadrat der.
Så hvis jeg vil skrive alle stegene, blir dette
kvadratroten til 2 ganger 2, ganger kvadratroten til 2,
ganger kvadratroten til 5 ganger 5.
Kvadratroten til 2 ganger 2 er 2.
Kvadratroten til 2 er bare kvadratroten til 2.
Kvadratroten til 5 ganger 5, det er kvadratroten til 25.
Det blir bare 5.
Du kan omorganisere disse.
2 ganger 5 er 10.
10 kvadratrøtter av 2.
Og igjen, dette er irrasjonelt.
Du kan ikke skrive dette som en brøk med heltall i teller og nevner.
Og prøver du å skrive dette tallet,
vil det bare fortsette og fortsette, og aldri gjenta seg.
La oss gjøre del e).
Kvadratroten til 2000.
Jeg tar den her nede.
Del e).
Kvadratroten til 2000.
Akkurat samme fremgangsmåte som før.
La oss faktorisere primtall.
Det er 2 ganger 1000, som er 2 ganger 500,
som er 2 ganger 250, som er 2 ganger 125,
som er 5 ganger 25, som er 5 ganger 5.
Og vi er ferdige.
Så dette er lik kvadratroten til
2 ganger 2, i parenteser,
ganger 2 ganger 2, ganger 5 ganger 5,
Vi har en, to, tre, fire 2-ere, og tre 5-ere.
Ganger 5.
Nå, hva blir dette?
Vel, en ting du kanskje ser, er at
dette er en 4-er, dette er en 4-er.
Så vi har 4 to ganger.
Så dette er det samme som kvadratroten til 4 ganger 4,
ganger kvadratroten til 5 ganger 5,
ganger kvadratroten til 5.
Så dette her er 4,
dette her er 5,
ganget med kvadratroten til 5.
Så 4 ganger 5 er 20 kvadratrøtter av 5.
Og igjen, dette er et irrasjonelt tall.
Irrasjonelt.
La oss gjøre f).
Kvadratroten til 1/4.
f), kvadratroten til 1/4.
Dette kan vi se på som kvadratroten til 1,
over kvadratroten til 4.
Som er lik 1/2.
Som helt klart er rasjonelt.
Det kan skrives som en brøk.
Så det er helt klart et rasjonelt tall.
Del g).
Del g), er kvadratroten til 9/4.
Kvadratroten til 9 over 4.
Samme logikk.
Dette er lik kvadratroten til 9 over kvadratroten til 4.
Som er lik 3/2.
La oss ta del h).
Kvadratroten til 0,16.
Du kunne tatt denne i hodet
hvis du visste at 0,4 ganger 0,4 er lik 0,16.
Men jeg skal vise deg en mer systematisk måte å gjøre det på,
hvis det ikke var åpenbart.
Dette er det samme som
kvadratroten til 16 over 100.
Det er det 0,16 er.
Så det er lik kvadratroten til 16 over kvadratroten til 100.
Som er lik 4 over 10, som er lik 0,4.
La oss gjøre et par til.
Del i), er kvadratroten til 0,1, som er lik
kvadratroten til 1over 10.
Som er lik kvadratroten til 1 over kvadratroten til 10,
som er lik 1 over--
Kvadratroten til 10-- 10 er bare 2 ganger 5,
så det hjelper oss ikke.
Det blir bare kvadratroten til 10 der.
Mange mattelærere liker ikke at du lar
kvadratrot-tegnet stå i nevneren.
Men jeg kan si deg at dette er irrasjonelt.
Irrasjonelt.
Du vil bare fortsette å få nye tall-- Du kan prøve det på kalkulatoren.
Det vil aldri gjenta seg,
og kalkulatoren vil bare gi deg en tilnærming.
Det eksakte svaret krever et uendelig antall siffer.
Men hvis du vil rasjonalisere dette--
Bare for å vise deg.
Hvis du vil bli kvitt kvadratrot-tegnet i
nevneren, kan du gange det med
kvadratroten til 10 over kvadratroten til 10.
Dette er bare 1.
Da får du kvadratroten til 10 over 10.
Disse er like uttrykk, men
begge er irrasjonelle.
Deler du et irrasjonelt tall på 10, har du fortsatt et irrasjonelt tall.
La oss ta j).
Kvadratroten til 0,01.
det er det samme som kvadratroten til 1 over 100.
Som er lik kvadratroten til 1 over kvadratroten til 100.
Som er lik 1 over 10, eller 0,1.
Igjen, dette er helt klart et rasjonelt tall.
Det er skrevet som en brøk.
Dette tallet her oppe var også rasjonelt.
Det kan skrives som en brøk.