-
Egy kötegnyi gyökszámot tartalmazó műveletünk van, melyeket
-
gyökszámot tartalmazó egyenletnek is nevezhetünk.
-
A feladatunk itt most az lesz, hogy végigmegyünk ezeken a műveleteken és
-
egyszerűbb formára hozzuk őket.
-
És arról is szót fogunk ejteni, hogy ezek a számok valójában racionális
-
vagy irracionális számok-e.
-
Kezdjük akkor az A példával!
-
A az egyenlő lesz a 25 négyzetgyökével.
-
Ez annyit tesz, mint az 5-ször 5-öt négyzetgyöke, amely
-
egyértelműen 5 lesz.
-
Most itt a pozitív négyzetgyökökre koncentrálunk egyébiránt!
-
Akkor lássuk a B-t is!
-
A B-t egy másik színnel írom fel... az első gyökre gondolunk mindig,
-
amikor azt mondjuk a szám pozitív négyzetgyökét keressük.
-
B... ennél a 24 négyzetgyökét látjuk.
-
Ekkor ugye tényezőire kell bontanunk az
-
itt megadott számot.
-
Tehát, nézzük a 24-nek mik a tényezői!
-
Ez annyi, mint 2-szer 12.
-
12 pedig 2-szer 6-tal egyenlő.
-
A 6 egyenlő 2-szer 3-mal.
-
Szóval a 24 négyzetgyöke az nem más, mint a
-
2-szer 2 szorozva 2-szer 3 a gyök alatt.
-
Ez a szorzat 24-gyel egyenlő.
-
Nos, láthatjuk, hogy egy számunk lesz, amelyből gyököt lehet vonni...
-
Tehát átírhatjuk a számuinkat!
-
Ez egyenlő lesz 2-szer 2 a gyökjel alatt szorozva a
-
2-szer 3-mal egy másik gyökjel alatt.
-
Ez a rész itt egyértelműen 2 lesz.
-
Ez a 4 négyzetgyöke ugyanis.
-
A 4 négyzetgyöke a 2 ugyebár.
-
És ennyi is, ennél jobban nem tudunk egyszerűsíteni!
-
Mert ugye nem látunk másik olyan számot, amelyet önmagával meg tudnánk szorozni...
-
Szóval ez a rész itt négyzetgyök alatt 6 lesz.
-
Vagy másképp akár úgy is felírhatjuk, hogy négyzetgyök alatt 2 szorozva
-
négyzetgyök alatt 3-mal.
-
Nos, ugye azt mondtam, hogy beszélni fogunk arról, hogy az értékek
-
racionális számok-e vagy pedig nem.
-
Ez a szám racionális.
-
Ez az A rész felírható 2 egész szám arányszámaként,
-
nevezetesen 5/1-ként.
-
Ez tehát racionális.
-
Ez itt pedig irracionális.
-
Ezt most ebben a videóban nem fogjuk bebizonyítani...
-
de bármi, ami irracionális számokból következő eredmény,
-
és bármely prímszámból vett négyzetgyök az irracionálisnak vehető.
-
De most ezt itt tényleg nem fogjuk bizonygatni...
-
Ez itt annyi, mint a 2 négyzetgyöke megszorozva a 3 négyzetgyökével.
-
Mert ugye ennyi a 6 négyzetgyöke.
-
És ettől lesz ez a szám irracionális.
-
Ezt a számot nem tudjuk ugyanis felírni semmilyen törtként.
-
Nem tudjuk felírni 2 egész szám hányadaként, mint ahogy azt
-
itt az előbbiekben megtettük.
-
És most ebbe nem megyünk jobban bele.
-
Csak egy kis gyakorlásra szeretnénk itt szert tenni.
-
Gyorsabban haladunk a következő módon:
-
Mondhatjuk azt, hogy ebben a számban bizony megvan a 4.
-
A 4-ből pedig lehet gyököt vonni!
-
Akkor emeljük ki a 4-et!
-
Így 4-szer 6-unk lesz.
-
A 4 négyzetgyöke az 2. A 6-ost benn hagyjuk a gyök alatt és
-
már meg is kaptuk, hogy 2-szer négyzetgyök alatt 6.
-
Ennek persze rá lehet könnyen érezni a lényegére, de én most
-
azt szeretném, hogy szisztematikusan csináljuk először.
-
Nézzük a C-t!
-
20 négyzetgyöke...
-
Újfent: 20 az 2-szer 10, mely 2-szer 5-tel egyenlő.
-
Szóval ez annyi, mint négyzetgyök alatt 2-szer 2, szorozva
-
5-tel, ugye?
-
Na most, a 2-szer 2 négyzetgyöke az világos, hogy
-
2 lesz.
-
Ez annyi lesz, mint ennek a rész szorzatának gyöke
-
megszorozva a másikéval.
-
Tehát 2-szer négyzetgyök alatt 5.
-
Már megint, ezt persze fejben is el lehetett volna végezni, ha
-
az ember egy kicsit gyakorlott.
-
A 20 négyzetgyöke az 4-szer 5 a gyök alatt.
-
A 4 négyzetgyöke 2.
-
Az ötös marad tehát a gyök alatt.
-
Akkor jöjjön a D!
-
A 200 négyzetgyökét kell vennünk.
-
Ugyanúgy kell eljárnunk...
-
Nézzük meg akkor tényezőkre bontva!
-
Szóval ez 2-szer 100, ami 2-szer 50-nel egyenlő, mely 2-szer
-
25; ami 5-ször 5-tel egyenlő.
-
Szóval itt akkor ezt már át is írhatjuk!
-
Egy kicsit most elgörgetem jobbra a képernyőt!
-
Ez akkor egyenlő: négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva 2-vel
-
5-ször 5-tel.
-
Nos, itt egy és itt pedig még egy számunk van, amelyből
-
gyököt tudunk vonni!
-
De ha minden egyes lépést le akarunk írni, akkor láthatjuk,
-
hogy ez annyi, mint négyzetgyök alatt 2 szorozva 2-vel szorozva
-
négyzetgyök alatt 5-tel.
-
A 2-szer 2 négyzetgyöke az 2.
-
A 2 négyzetgyöke az marad 2 négyzetgyök alatt.
-
Az 5-ször 5 négyzetgyöke az, ez a 25 négyzetgyöke; az nem
-
más, mint 5.
-
Ekkor átrendezhetjük a számokat!
-
2-szer 5 az 10.
-
Tehát ez 10-szer négyzetgyök alatt 2.
-
Újfent, ez a szám irracionális.
-
Nem lehet ugyanis kifejezni, mint 2 egész szám hányadaként, melyben
-
a számláló és a nevező is egész szám.
-
És ha tényleges le szeretnénk írni, ez a szám valójában mennyi, akkor
-
ez egy végtelen szám lesz és soha nem jönnek ugyanazok a számsorok egymás után.
-
Nézzük az E részt!
-
Itt 2000 a négyzetgyök alatt szerepel!
-
Ezt ide alulra írjuk!
-
E feladat: a 2000 négyzetgyöke
-
Pontosan ugyanazt a módszert kell alkalmaznunk, amellyel eddig is dolgoztunk!
-
Akkor bontsuk a számot tényezőire!
-
Ez ugye 2-szer 1000 lesz. Az 1000 pedig 2-szer 500; amely 2-szer
-
250; ami 2-szer 125; ami 5-ször 25, ami pedig
-
5-ször 5-tel egyenlő.
-
És ennyi is volt!
-
Szóval ez annyi lesz, mint négyzetgyök alatt 2 szorozva
-
2-vel...ezt zárójelbe tesszük...2-ször 2 szorozva 2-vel szorozva 2-.vel,
-
szorozva megint csak 2-vel szorozva 2-vel szorozva 5-tel szorozva 5-tel,
-
ezt még 5-ször 5-tel szorozzuk, ugye?
-
Van nekünk 1,2,3,4 darab kettesünk és 3 darab ötösünk, szorozva 5-tel.
-
Na most akkor ez mennyivel lesz egyenlő?
-
Nos, egy dolgot akár észre is vehetünk, azt, hogy ezt úgy is fel lehetett volna írni, mint
-
4-et, és ezt is, mint 4-et.
-
Szóval egy ismétlődő 4-esről van szó.
-
Ez ugyanannyit tesz, mint a négyzetgyök alatt vett 4-szer 4
-
szorozva négyzetgyök alatt 5-ször 5-tel szorozva négyzetgyök
-
alatt 5-tel.
-
Ez a rész itt egyértelműen 4 lesz.
-
Ez itt pedig 5.
-
Aztán pedig jön még a négyzetgyök 5-tel való szorzás.
-
Így aztán a 4-szer 5 az 20 lesz és szorozzuk gyök 5-tel.
-
Újfent irracionális számot kapunk.
-
Akkor lássuk az F-et!
-
Az 1/4 négyzetgyöke van itt, melyre úgy is tekinthetünk, hogy ez nem más, mint
-
négyzetgyök alatt 1 osztva négyzetgyök alatt 4-gyel,
-
mely 1/2-del lesz egyenlő.
-
Ez a szám egyértelműen racionális,
-
mivel kifejezhető két egész szám törtjeként.
-
Így aztán egyértelműen racionális.
-
G példa jön: 9/4 négyzetgyök alatt véve.
-
Ugyanaz a logika kell.
-
Ez egyenlő a négyzetgyök alatt 9 osztva négyzetgyök alatt
-
4-gyel, amely 3/2-et eredményez.
-
Nézzük a H részt!
-
A 0,16 négyzetgyöke.
-
Ezt most akár fejben is elvégezhetnénk azonnal, ha felismerjük,
-
ez az összeg a 0,4 önmagával való szorzataként
-
jön létre.
-
De most nézzünk egy szisztematikus megoldási módot,
-
ha ez esetleg így nem nyilvánvaló!
-
Szóval ez annyi, mint 16
-
osztva 100-zal négyzetgyöke, ugye?
-
Mert ugye a 0,16 ezt jelenti.
-
Szóval ez egyenlő lesz a 16 négyzetgyöke osztva a 100
-
négyzetgyökével, ami nem más, mint 4/10, azaz 0,4.
-
Nézzünk még pár ilyen példát!
-
Rendben.
-
Az I példában a 0,1 négyzetgyöke szerepel, ami egyenlő
-
az 1/10 négyzetgyökével, ami nem más, mint az 1 négyzetgyöke osztva
-
a 10 négyzetgyökével, ez egyenlő 1 osztva...na most a 10
-
négyzetgyöke...a 10 az 2-szer 5...
-
Na hát ez nem sokat segített most...
-
Ez akkor tehát marad így a 10 a gyök alatt.
-
Sok matek tanár nem szereti, ha így gyök formában hagyjuk a
-
nevezőt...
-
De most azért azt már elmondhatjuk, hogy ez a szám biztos irracionális lesz!
-
A számjegyei megállás nélkül a végtelenségig tartanak...
-
Ki is próbálhatjuk, ha a számológépet elővesszük és
-
soha nem fognak ismétlődő kombinációt adni.
-
A számológépünk csak egy kerekített értéket tud megadni.
-
Mivel, ha a pontos értéket szeretnénk megkapni, akkor végtelen
-
mennyiségű számjegyet kellene felírnunk.
-
De ha a cél a szám értelmezhetősége...
-
csak a könnyebb átláthatóság miatt...
-
Ha meg akarunk szabadulni a nevezőben szereplő gyökszámtól, akkor
-
megszorozhatjuk ezt a négyzetgyök alatt 10 osztva négyzetgyök alatt
-
10-zel, ugye?
-
Mert ez ugye 1-et tesz ki.
-
Szóval a 10/10 négyzetgyökét vesszük.
-
Ez a két megállapítás egyenértékű, de mindkét verzió
-
irracionális.
-
Ha fogunk egy irracionális számot és elosztjuk 10-zel, akkor is
-
biztos irracionális számot kapunk.
-
Nézzük a J-t!
-
Az van itt, hogy 0,01 négyzetgyöke.
-
Ez annyi, mint az 1 osztva 100-zal négyzetgyöke.
-
Ez pedig egyenlő az 1 négyzetgyöke osztva 100
-
négyzetgyökével, amely egyenlő 1 tizeddel, azaz 0,1-gyel.
-
Egyértelmű, hogy ez racionális.
-
Már eleve törtszámként is van felírva.
-
Ez a fenti is racionális szám volt.
-
Törtszámként ugyanis felírható.
