WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:04.480 Egy kötegnyi gyökszámot tartalmazó műveletünk van, melyeket 00:00:04.480 --> 00:00:05.110 gyökszámot tartalmazó egyenletnek is nevezhetünk. 00:00:05.110 --> 00:00:07.600 A feladatunk itt most az lesz, hogy végigmegyünk ezeken a műveleteken és 00:00:07.600 --> 00:00:08.500 egyszerűbb formára hozzuk őket. 00:00:08.500 --> 00:00:11.240 És arról is szót fogunk ejteni, hogy ezek a számok valójában racionális 00:00:11.240 --> 00:00:13.390 vagy irracionális számok-e. 00:00:13.390 --> 00:00:15.710 Kezdjük akkor az A példával! 00:00:15.710 --> 00:00:20.440 A az egyenlő lesz a 25 négyzetgyökével. 00:00:20.440 --> 00:00:26.560 Ez annyit tesz, mint az 5-ször 5-öt négyzetgyöke, amely 00:00:26.560 --> 00:00:31.000 egyértelműen 5 lesz. 00:00:31.000 --> 00:00:34.440 Most itt a pozitív négyzetgyökökre koncentrálunk egyébiránt! 00:00:34.440 --> 00:00:37.060 Akkor lássuk a B-t is! 00:00:37.060 --> 00:00:39.920 A B-t egy másik színnel írom fel... az első gyökre gondolunk mindig, 00:00:39.920 --> 00:00:42.250 amikor azt mondjuk a szám pozitív négyzetgyökét keressük. 00:00:42.250 --> 00:00:46.200 B... ennél a 24 négyzetgyökét látjuk. 00:00:46.200 --> 00:00:47.960 Ekkor ugye tényezőire kell bontanunk az 00:00:47.960 --> 00:00:50.530 itt megadott számot. 00:00:50.530 --> 00:00:53.560 Tehát, nézzük a 24-nek mik a tényezői! 00:00:53.560 --> 00:00:56.250 Ez annyi, mint 2-szer 12. 00:00:56.250 --> 00:00:59.720 12 pedig 2-szer 6-tal egyenlő. 00:00:59.720 --> 00:01:03.430 A 6 egyenlő 2-szer 3-mal. 00:01:03.430 --> 00:01:07.220 Szóval a 24 négyzetgyöke az nem más, mint a 00:01:07.220 --> 00:01:15.320 2-szer 2 szorozva 2-szer 3 a gyök alatt. 00:01:15.320 --> 00:01:18.080 Ez a szorzat 24-gyel egyenlő. 00:01:18.080 --> 00:01:22.530 Nos, láthatjuk, hogy egy számunk lesz, amelyből gyököt lehet vonni... 00:01:22.530 --> 00:01:23.870 Tehát átírhatjuk a számuinkat! 00:01:23.870 --> 00:01:30.330 Ez egyenlő lesz 2-szer 2 a gyökjel alatt szorozva a 00:01:30.330 --> 00:01:34.030 2-szer 3-mal egy másik gyökjel alatt. 00:01:34.030 --> 00:01:35.890 Ez a rész itt egyértelműen 2 lesz. 00:01:35.890 --> 00:01:37.010 Ez a 4 négyzetgyöke ugyanis. 00:01:37.010 --> 00:01:38.920 A 4 négyzetgyöke a 2 ugyebár. 00:01:38.920 --> 00:01:40.710 És ennyi is, ennél jobban nem tudunk egyszerűsíteni! 00:01:40.710 --> 00:01:44.520 Mert ugye nem látunk másik olyan számot, amelyet önmagával meg tudnánk szorozni... 00:01:44.520 --> 00:01:47.940 Szóval ez a rész itt négyzetgyök alatt 6 lesz. 00:01:47.940 --> 00:01:50.110 Vagy másképp akár úgy is felírhatjuk, hogy négyzetgyök alatt 2 szorozva 00:01:50.110 --> 00:01:51.540 négyzetgyök alatt 3-mal. 00:01:51.540 --> 00:01:53.210 Nos, ugye azt mondtam, hogy beszélni fogunk arról, hogy az értékek 00:01:53.210 --> 00:01:54.550 racionális számok-e vagy pedig nem. 00:01:54.550 --> 00:01:56.460 Ez a szám racionális. 00:01:56.460 --> 00:02:03.630 Ez az A rész felírható 2 egész szám arányszámaként, 00:02:03.630 --> 00:02:05.920 nevezetesen 5/1-ként. 00:02:05.920 --> 00:02:07.340 Ez tehát racionális. 00:02:07.340 --> 00:02:08.590 Ez itt pedig irracionális. 00:02:11.840 --> 00:02:14.060 Ezt most ebben a videóban nem fogjuk bebizonyítani... 00:02:14.060 --> 00:02:18.770 de bármi, ami irracionális számokból következő eredmény, 00:02:18.770 --> 00:02:24.920 és bármely prímszámból vett négyzetgyök az irracionálisnak vehető. 00:02:24.920 --> 00:02:25.790 De most ezt itt tényleg nem fogjuk bizonygatni... 00:02:25.790 --> 00:02:29.060 Ez itt annyi, mint a 2 négyzetgyöke megszorozva a 3 négyzetgyökével. 00:02:29.060 --> 00:02:30.365 Mert ugye ennyi a 6 négyzetgyöke. 00:02:30.365 --> 00:02:32.280 És ettől lesz ez a szám irracionális. 00:02:32.280 --> 00:02:35.910 Ezt a számot nem tudjuk ugyanis felírni semmilyen törtként. 00:02:35.910 --> 00:02:40.830 Nem tudjuk felírni 2 egész szám hányadaként, mint ahogy azt 00:02:40.830 --> 00:02:42.280 itt az előbbiekben megtettük. 00:02:42.280 --> 00:02:43.250 És most ebbe nem megyünk jobban bele. 00:02:43.250 --> 00:02:45.910 Csak egy kis gyakorlásra szeretnénk itt szert tenni. 00:02:45.910 --> 00:02:47.010 Gyorsabban haladunk a következő módon: 00:02:47.010 --> 00:02:48.300 Mondhatjuk azt, hogy ebben a számban bizony megvan a 4. 00:02:48.300 --> 00:02:49.770 A 4-ből pedig lehet gyököt vonni! 00:02:49.770 --> 00:02:50.830 Akkor emeljük ki a 4-et! 00:02:50.830 --> 00:02:52.120 Így 4-szer 6-unk lesz. 00:02:52.120 --> 00:02:54.770 A 4 négyzetgyöke az 2. A 6-ost benn hagyjuk a gyök alatt és 00:02:54.770 --> 00:02:56.160 már meg is kaptuk, hogy 2-szer négyzetgyök alatt 6. 00:02:56.160 --> 00:02:58.990 Ennek persze rá lehet könnyen érezni a lényegére, de én most 00:02:58.990 --> 00:03:01.590 azt szeretném, hogy szisztematikusan csináljuk először. 00:03:01.590 --> 00:03:03.820 Nézzük a C-t! 00:03:03.820 --> 00:03:06.610 20 négyzetgyöke... 00:03:06.610 --> 00:03:12.350 Újfent: 20 az 2-szer 10, mely 2-szer 5-tel egyenlő. 00:03:12.350 --> 00:03:18.050 Szóval ez annyi, mint négyzetgyök alatt 2-szer 2, szorozva 00:03:18.050 --> 00:03:20.740 5-tel, ugye? 00:03:20.740 --> 00:03:22.690 Na most, a 2-szer 2 négyzetgyöke az világos, hogy 00:03:22.690 --> 00:03:25.120 2 lesz. 00:03:25.120 --> 00:03:26.530 Ez annyi lesz, mint ennek a rész szorzatának gyöke 00:03:26.530 --> 00:03:27.380 megszorozva a másikéval. 00:03:27.380 --> 00:03:29.400 Tehát 2-szer négyzetgyök alatt 5. 00:03:29.400 --> 00:03:31.090 Már megint, ezt persze fejben is el lehetett volna végezni, ha 00:03:31.090 --> 00:03:31.910 az ember egy kicsit gyakorlott. 00:03:31.910 --> 00:03:34.920 A 20 négyzetgyöke az 4-szer 5 a gyök alatt. 00:03:34.920 --> 00:03:36.550 A 4 négyzetgyöke 2. 00:03:36.550 --> 00:03:39.080 Az ötös marad tehát a gyök alatt. 00:03:39.080 --> 00:03:43.200 Akkor jöjjön a D! 00:03:43.200 --> 00:03:47.380 A 200 négyzetgyökét kell vennünk. 00:03:47.380 --> 00:03:48.350 Ugyanúgy kell eljárnunk... 00:03:48.350 --> 00:03:50.390 Nézzük meg akkor tényezőkre bontva! 00:03:50.390 --> 00:03:56.310 Szóval ez 2-szer 100, ami 2-szer 50-nel egyenlő, mely 2-szer 00:03:56.310 --> 00:04:01.030 25; ami 5-ször 5-tel egyenlő. 00:04:01.030 --> 00:04:03.640 Szóval itt akkor ezt már át is írhatjuk! 00:04:03.640 --> 00:04:05.800 Egy kicsit most elgörgetem jobbra a képernyőt! 00:04:05.800 --> 00:04:15.030 Ez akkor egyenlő: négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva 2-vel 00:04:15.030 --> 00:04:18.390 5-ször 5-tel. 00:04:18.390 --> 00:04:20.730 Nos, itt egy és itt pedig még egy számunk van, amelyből 00:04:20.730 --> 00:04:23.350 gyököt tudunk vonni! 00:04:23.350 --> 00:04:25.290 De ha minden egyes lépést le akarunk írni, akkor láthatjuk, 00:04:25.290 --> 00:04:31.170 hogy ez annyi, mint négyzetgyök alatt 2 szorozva 2-vel szorozva 00:04:31.170 --> 00:04:35.120 négyzetgyök alatt 5-tel. 00:04:35.120 --> 00:04:37.345 A 2-szer 2 négyzetgyöke az 2. 00:04:37.345 --> 00:04:40.245 A 2 négyzetgyöke az marad 2 négyzetgyök alatt. 00:04:40.245 --> 00:04:43.680 Az 5-ször 5 négyzetgyöke az, ez a 25 négyzetgyöke; az nem 00:04:43.680 --> 00:04:45.430 más, mint 5. 00:04:45.430 --> 00:04:46.880 Ekkor átrendezhetjük a számokat! 00:04:46.880 --> 00:04:48.830 2-szer 5 az 10. 00:04:48.830 --> 00:04:50.730 Tehát ez 10-szer négyzetgyök alatt 2. 00:04:50.730 --> 00:04:53.150 Újfent, ez a szám irracionális. 00:04:53.150 --> 00:04:58.800 Nem lehet ugyanis kifejezni, mint 2 egész szám hányadaként, melyben 00:04:58.800 --> 00:05:00.850 a számláló és a nevező is egész szám. 00:05:00.850 --> 00:05:04.270 És ha tényleges le szeretnénk írni, ez a szám valójában mennyi, akkor 00:05:04.270 --> 00:05:08.610 ez egy végtelen szám lesz és soha nem jönnek ugyanazok a számsorok egymás után. 00:05:08.610 --> 00:05:10.790 Nézzük az E részt! 00:05:10.790 --> 00:05:13.720 Itt 2000 a négyzetgyök alatt szerepel! 00:05:13.720 --> 00:05:15.660 Ezt ide alulra írjuk! 00:05:15.660 --> 00:05:20.620 E feladat: a 2000 négyzetgyöke 00:05:20.620 --> 00:05:23.950 Pontosan ugyanazt a módszert kell alkalmaznunk, amellyel eddig is dolgoztunk! 00:05:23.950 --> 00:05:25.820 Akkor bontsuk a számot tényezőire! 00:05:25.820 --> 00:05:35.680 Ez ugye 2-szer 1000 lesz. Az 1000 pedig 2-szer 500; amely 2-szer 00:05:35.680 --> 00:05:45.930 250; ami 2-szer 125; ami 5-ször 25, ami pedig 00:05:45.930 --> 00:05:49.580 5-ször 5-tel egyenlő. 00:05:49.580 --> 00:05:50.600 És ennyi is volt! 00:05:50.600 --> 00:05:56.180 Szóval ez annyi lesz, mint négyzetgyök alatt 2 szorozva 00:05:56.180 --> 00:05:59.630 2-vel...ezt zárójelbe tesszük...2-ször 2 szorozva 2-vel szorozva 2-.vel, 00:05:59.630 --> 00:06:06.350 szorozva megint csak 2-vel szorozva 2-vel szorozva 5-tel szorozva 5-tel, 00:06:06.350 --> 00:06:08.840 ezt még 5-ször 5-tel szorozzuk, ugye? 00:06:08.840 --> 00:06:15.390 Van nekünk 1,2,3,4 darab kettesünk és 3 darab ötösünk, szorozva 5-tel. 00:06:15.390 --> 00:06:18.000 Na most akkor ez mennyivel lesz egyenlő? 00:06:18.000 --> 00:06:20.520 Nos, egy dolgot akár észre is vehetünk, azt, hogy ezt úgy is fel lehetett volna írni, mint 00:06:20.520 --> 00:06:25.140 4-et, és ezt is, mint 4-et. 00:06:25.140 --> 00:06:27.510 Szóval egy ismétlődő 4-esről van szó. 00:06:27.510 --> 00:06:32.600 Ez ugyanannyit tesz, mint a négyzetgyök alatt vett 4-szer 4 00:06:32.600 --> 00:06:37.330 szorozva négyzetgyök alatt 5-ször 5-tel szorozva négyzetgyök 00:06:37.330 --> 00:06:39.480 alatt 5-tel. 00:06:39.480 --> 00:06:42.310 Ez a rész itt egyértelműen 4 lesz. 00:06:42.310 --> 00:06:44.570 Ez itt pedig 5. 00:06:44.570 --> 00:06:47.070 Aztán pedig jön még a négyzetgyök 5-tel való szorzás. 00:06:47.070 --> 00:06:52.070 Így aztán a 4-szer 5 az 20 lesz és szorozzuk gyök 5-tel. 00:06:52.070 --> 00:06:54.290 Újfent irracionális számot kapunk. 00:06:58.290 --> 00:07:00.990 Akkor lássuk az F-et! 00:07:00.990 --> 00:07:16.850 Az 1/4 négyzetgyöke van itt, melyre úgy is tekinthetünk, hogy ez nem más, mint 00:07:16.850 --> 00:07:21.250 négyzetgyök alatt 1 osztva négyzetgyök alatt 4-gyel, 00:07:21.250 --> 00:07:24.180 mely 1/2-del lesz egyenlő. 00:07:24.180 --> 00:07:25.170 Ez a szám egyértelműen racionális, 00:07:25.170 --> 00:07:27.400 mivel kifejezhető két egész szám törtjeként. 00:07:27.400 --> 00:07:33.050 Így aztán egyértelműen racionális. 00:07:33.050 --> 00:07:39.380 G példa jön: 9/4 négyzetgyök alatt véve. 00:07:43.800 --> 00:07:44.600 Ugyanaz a logika kell. 00:07:44.600 --> 00:07:48.160 Ez egyenlő a négyzetgyök alatt 9 osztva négyzetgyök alatt 00:07:48.160 --> 00:07:52.910 4-gyel, amely 3/2-et eredményez. 00:07:52.910 --> 00:07:56.960 Nézzük a H részt! 00:07:56.960 --> 00:08:02.720 A 0,16 négyzetgyöke. 00:08:02.720 --> 00:08:05.250 Ezt most akár fejben is elvégezhetnénk azonnal, ha felismerjük, 00:08:05.250 --> 00:08:07.670 ez az összeg a 0,4 önmagával való szorzataként 00:08:07.670 --> 00:08:10.170 jön létre. 00:08:10.170 --> 00:08:14.190 De most nézzünk egy szisztematikus megoldási módot, 00:08:14.190 --> 00:08:16.040 ha ez esetleg így nem nyilvánvaló! 00:08:16.040 --> 00:08:18.330 Szóval ez annyi, mint 16 00:08:18.330 --> 00:08:22.730 osztva 100-zal négyzetgyöke, ugye? 00:08:22.730 --> 00:08:24.840 Mert ugye a 0,16 ezt jelenti. 00:08:24.840 --> 00:08:28.740 Szóval ez egyenlő lesz a 16 négyzetgyöke osztva a 100 00:08:28.740 --> 00:08:37.010 négyzetgyökével, ami nem más, mint 4/10, azaz 0,4. 00:08:37.010 --> 00:08:39.260 Nézzünk még pár ilyen példát! 00:08:39.260 --> 00:08:39.429 Rendben. 00:08:39.429 --> 00:08:46.180 Az I példában a 0,1 négyzetgyöke szerepel, ami egyenlő 00:08:46.180 --> 00:08:50.840 az 1/10 négyzetgyökével, ami nem más, mint az 1 négyzetgyöke osztva 00:08:50.840 --> 00:08:55.980 a 10 négyzetgyökével, ez egyenlő 1 osztva...na most a 10 00:08:55.980 --> 00:08:59.890 négyzetgyöke...a 10 az 2-szer 5... 00:08:59.890 --> 00:09:01.380 Na hát ez nem sokat segített most... 00:09:01.380 --> 00:09:04.920 Ez akkor tehát marad így a 10 a gyök alatt. 00:09:04.920 --> 00:09:08.130 Sok matek tanár nem szereti, ha így gyök formában hagyjuk a 00:09:08.130 --> 00:09:08.870 nevezőt... 00:09:08.870 --> 00:09:10.330 De most azért azt már elmondhatjuk, hogy ez a szám biztos irracionális lesz! 00:09:13.940 --> 00:09:15.650 A számjegyei megállás nélkül a végtelenségig tartanak... 00:09:15.650 --> 00:09:16.850 Ki is próbálhatjuk, ha a számológépet elővesszük és 00:09:16.850 --> 00:09:17.530 soha nem fognak ismétlődő kombinációt adni. 00:09:17.530 --> 00:09:19.430 A számológépünk csak egy kerekített értéket tud megadni. 00:09:19.430 --> 00:09:21.100 Mivel, ha a pontos értéket szeretnénk megkapni, akkor végtelen 00:09:21.100 --> 00:09:23.560 mennyiségű számjegyet kellene felírnunk. 00:09:23.560 --> 00:09:25.770 De ha a cél a szám értelmezhetősége... 00:09:25.770 --> 00:09:26.820 csak a könnyebb átláthatóság miatt... 00:09:26.820 --> 00:09:28.620 Ha meg akarunk szabadulni a nevezőben szereplő gyökszámtól, akkor 00:09:28.620 --> 00:09:32.090 megszorozhatjuk ezt a négyzetgyök alatt 10 osztva négyzetgyök alatt 00:09:32.090 --> 00:09:33.520 10-zel, ugye? 00:09:33.520 --> 00:09:34.910 Mert ez ugye 1-et tesz ki. 00:09:34.910 --> 00:09:38.130 Szóval a 10/10 négyzetgyökét vesszük. 00:09:38.130 --> 00:09:40.630 Ez a két megállapítás egyenértékű, de mindkét verzió 00:09:40.630 --> 00:09:41.540 irracionális. 00:09:41.540 --> 00:09:43.870 Ha fogunk egy irracionális számot és elosztjuk 10-zel, akkor is 00:09:43.870 --> 00:09:45.660 biztos irracionális számot kapunk. 00:09:45.660 --> 00:09:46.930 Nézzük a J-t! 00:09:49.520 --> 00:09:53.820 Az van itt, hogy 0,01 négyzetgyöke. 00:09:53.820 --> 00:09:57.570 Ez annyi, mint az 1 osztva 100-zal négyzetgyöke. 00:09:57.570 --> 00:10:00.680 Ez pedig egyenlő az 1 négyzetgyöke osztva 100 00:10:00.680 --> 00:10:07.050 négyzetgyökével, amely egyenlő 1 tizeddel, azaz 0,1-gyel. 00:10:07.050 --> 00:10:10.030 Egyértelmű, hogy ez racionális. 00:10:10.030 --> 00:10:12.880 Már eleve törtszámként is van felírva. 00:10:12.880 --> 00:10:14.185 Ez a fenti is racionális szám volt. 00:10:14.185 --> 00:10:16.030 Törtszámként ugyanis felírható.