Egy kötegnyi gyökszámot tartalmazó műveletünk van, melyeket
gyökszámot tartalmazó egyenletnek is nevezhetünk.
A feladatunk itt most az lesz, hogy végigmegyünk ezeken a műveleteken és
egyszerűbb formára hozzuk őket.
És arról is szót fogunk ejteni, hogy ezek a számok valójában racionális
vagy irracionális számok-e.
Kezdjük akkor az A példával!
A az egyenlő lesz a 25 négyzetgyökével.
Ez annyit tesz, mint az 5-ször 5-öt négyzetgyöke, amely
egyértelműen 5 lesz.
Most itt a pozitív négyzetgyökökre koncentrálunk egyébiránt!
Akkor lássuk a B-t is!
A B-t egy másik színnel írom fel... az első gyökre gondolunk mindig,
amikor azt mondjuk a szám pozitív négyzetgyökét keressük.
B... ennél a 24 négyzetgyökét látjuk.
Ekkor ugye tényezőire kell bontanunk az
itt megadott számot.
Tehát, nézzük a 24-nek mik a tényezői!
Ez annyi, mint 2-szer 12.
12 pedig 2-szer 6-tal egyenlő.
A 6 egyenlő 2-szer 3-mal.
Szóval a 24 négyzetgyöke az nem más, mint a
2-szer 2 szorozva 2-szer 3 a gyök alatt.
Ez a szorzat 24-gyel egyenlő.
Nos, láthatjuk, hogy egy számunk lesz, amelyből gyököt lehet vonni...
Tehát átírhatjuk a számuinkat!
Ez egyenlő lesz 2-szer 2 a gyökjel alatt szorozva a
2-szer 3-mal egy másik gyökjel alatt.
Ez a rész itt egyértelműen 2 lesz.
Ez a 4 négyzetgyöke ugyanis.
A 4 négyzetgyöke a 2 ugyebár.
És ennyi is, ennél jobban nem tudunk egyszerűsíteni!
Mert ugye nem látunk másik olyan számot, amelyet önmagával meg tudnánk szorozni...
Szóval ez a rész itt négyzetgyök alatt 6 lesz.
Vagy másképp akár úgy is felírhatjuk, hogy négyzetgyök alatt 2 szorozva
négyzetgyök alatt 3-mal.
Nos, ugye azt mondtam, hogy beszélni fogunk arról, hogy az értékek
racionális számok-e vagy pedig nem.
Ez a szám racionális.
Ez az A rész felírható 2 egész szám arányszámaként,
nevezetesen 5/1-ként.
Ez tehát racionális.
Ez itt pedig irracionális.
Ezt most ebben a videóban nem fogjuk bebizonyítani...
de bármi, ami irracionális számokból következő eredmény,
és bármely prímszámból vett négyzetgyök az irracionálisnak vehető.
De most ezt itt tényleg nem fogjuk bizonygatni...
Ez itt annyi, mint a 2 négyzetgyöke megszorozva a 3 négyzetgyökével.
Mert ugye ennyi a 6 négyzetgyöke.
És ettől lesz ez a szám irracionális.
Ezt a számot nem tudjuk ugyanis felírni semmilyen törtként.
Nem tudjuk felírni 2 egész szám hányadaként, mint ahogy azt
itt az előbbiekben megtettük.
És most ebbe nem megyünk jobban bele.
Csak egy kis gyakorlásra szeretnénk itt szert tenni.
Gyorsabban haladunk a következő módon:
Mondhatjuk azt, hogy ebben a számban bizony megvan a 4.
A 4-ből pedig lehet gyököt vonni!
Akkor emeljük ki a 4-et!
Így 4-szer 6-unk lesz.
A 4 négyzetgyöke az 2. A 6-ost benn hagyjuk a gyök alatt és
már meg is kaptuk, hogy 2-szer négyzetgyök alatt 6.
Ennek persze rá lehet könnyen érezni a lényegére, de én most
azt szeretném, hogy szisztematikusan csináljuk először.
Nézzük a C-t!
20 négyzetgyöke...
Újfent: 20 az 2-szer 10, mely 2-szer 5-tel egyenlő.
Szóval ez annyi, mint négyzetgyök alatt 2-szer 2, szorozva
5-tel, ugye?
Na most, a 2-szer 2 négyzetgyöke az világos, hogy
2 lesz.
Ez annyi lesz, mint ennek a rész szorzatának gyöke
megszorozva a másikéval.
Tehát 2-szer négyzetgyök alatt 5.
Már megint, ezt persze fejben is el lehetett volna végezni, ha
az ember egy kicsit gyakorlott.
A 20 négyzetgyöke az 4-szer 5 a gyök alatt.
A 4 négyzetgyöke 2.
Az ötös marad tehát a gyök alatt.
Akkor jöjjön a D!
A 200 négyzetgyökét kell vennünk.
Ugyanúgy kell eljárnunk...
Nézzük meg akkor tényezőkre bontva!
Szóval ez 2-szer 100, ami 2-szer 50-nel egyenlő, mely 2-szer
25; ami 5-ször 5-tel egyenlő.
Szóval itt akkor ezt már át is írhatjuk!
Egy kicsit most elgörgetem jobbra a képernyőt!
Ez akkor egyenlő: négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva 2-vel
5-ször 5-tel.
Nos, itt egy és itt pedig még egy számunk van, amelyből
gyököt tudunk vonni!
De ha minden egyes lépést le akarunk írni, akkor láthatjuk,
hogy ez annyi, mint négyzetgyök alatt 2 szorozva 2-vel szorozva
négyzetgyök alatt 5-tel.
A 2-szer 2 négyzetgyöke az 2.
A 2 négyzetgyöke az marad 2 négyzetgyök alatt.
Az 5-ször 5 négyzetgyöke az, ez a 25 négyzetgyöke; az nem
más, mint 5.
Ekkor átrendezhetjük a számokat!
2-szer 5 az 10.
Tehát ez 10-szer négyzetgyök alatt 2.
Újfent, ez a szám irracionális.
Nem lehet ugyanis kifejezni, mint 2 egész szám hányadaként, melyben
a számláló és a nevező is egész szám.
És ha tényleges le szeretnénk írni, ez a szám valójában mennyi, akkor
ez egy végtelen szám lesz és soha nem jönnek ugyanazok a számsorok egymás után.
Nézzük az E részt!
Itt 2000 a négyzetgyök alatt szerepel!
Ezt ide alulra írjuk!
E feladat: a 2000 négyzetgyöke
Pontosan ugyanazt a módszert kell alkalmaznunk, amellyel eddig is dolgoztunk!
Akkor bontsuk a számot tényezőire!
Ez ugye 2-szer 1000 lesz. Az 1000 pedig 2-szer 500; amely 2-szer
250; ami 2-szer 125; ami 5-ször 25, ami pedig
5-ször 5-tel egyenlő.
És ennyi is volt!
Szóval ez annyi lesz, mint négyzetgyök alatt 2 szorozva
2-vel...ezt zárójelbe tesszük...2-ször 2 szorozva 2-vel szorozva 2-.vel,
szorozva megint csak 2-vel szorozva 2-vel szorozva 5-tel szorozva 5-tel,
ezt még 5-ször 5-tel szorozzuk, ugye?
Van nekünk 1,2,3,4 darab kettesünk és 3 darab ötösünk, szorozva 5-tel.
Na most akkor ez mennyivel lesz egyenlő?
Nos, egy dolgot akár észre is vehetünk, azt, hogy ezt úgy is fel lehetett volna írni, mint
4-et, és ezt is, mint 4-et.
Szóval egy ismétlődő 4-esről van szó.
Ez ugyanannyit tesz, mint a négyzetgyök alatt vett 4-szer 4
szorozva négyzetgyök alatt 5-ször 5-tel szorozva négyzetgyök
alatt 5-tel.
Ez a rész itt egyértelműen 4 lesz.
Ez itt pedig 5.
Aztán pedig jön még a négyzetgyök 5-tel való szorzás.
Így aztán a 4-szer 5 az 20 lesz és szorozzuk gyök 5-tel.
Újfent irracionális számot kapunk.
Akkor lássuk az F-et!
Az 1/4 négyzetgyöke van itt, melyre úgy is tekinthetünk, hogy ez nem más, mint
négyzetgyök alatt 1 osztva négyzetgyök alatt 4-gyel,
mely 1/2-del lesz egyenlő.
Ez a szám egyértelműen racionális,
mivel kifejezhető két egész szám törtjeként.
Így aztán egyértelműen racionális.
G példa jön: 9/4 négyzetgyök alatt véve.
Ugyanaz a logika kell.
Ez egyenlő a négyzetgyök alatt 9 osztva négyzetgyök alatt
4-gyel, amely 3/2-et eredményez.
Nézzük a H részt!
A 0,16 négyzetgyöke.
Ezt most akár fejben is elvégezhetnénk azonnal, ha felismerjük,
ez az összeg a 0,4 önmagával való szorzataként
jön létre.
De most nézzünk egy szisztematikus megoldási módot,
ha ez esetleg így nem nyilvánvaló!
Szóval ez annyi, mint 16
osztva 100-zal négyzetgyöke, ugye?
Mert ugye a 0,16 ezt jelenti.
Szóval ez egyenlő lesz a 16 négyzetgyöke osztva a 100
négyzetgyökével, ami nem más, mint 4/10, azaz 0,4.
Nézzünk még pár ilyen példát!
Rendben.
Az I példában a 0,1 négyzetgyöke szerepel, ami egyenlő
az 1/10 négyzetgyökével, ami nem más, mint az 1 négyzetgyöke osztva
a 10 négyzetgyökével, ez egyenlő 1 osztva...na most a 10
négyzetgyöke...a 10 az 2-szer 5...
Na hát ez nem sokat segített most...
Ez akkor tehát marad így a 10 a gyök alatt.
Sok matek tanár nem szereti, ha így gyök formában hagyjuk a
nevezőt...
De most azért azt már elmondhatjuk, hogy ez a szám biztos irracionális lesz!
A számjegyei megállás nélkül a végtelenségig tartanak...
Ki is próbálhatjuk, ha a számológépet elővesszük és
soha nem fognak ismétlődő kombinációt adni.
A számológépünk csak egy kerekített értéket tud megadni.
Mivel, ha a pontos értéket szeretnénk megkapni, akkor végtelen
mennyiségű számjegyet kellene felírnunk.
De ha a cél a szám értelmezhetősége...
csak a könnyebb átláthatóság miatt...
Ha meg akarunk szabadulni a nevezőben szereplő gyökszámtól, akkor
megszorozhatjuk ezt a négyzetgyök alatt 10 osztva négyzetgyök alatt
10-zel, ugye?
Mert ez ugye 1-et tesz ki.
Szóval a 10/10 négyzetgyökét vesszük.
Ez a két megállapítás egyenértékű, de mindkét verzió
irracionális.
Ha fogunk egy irracionális számot és elosztjuk 10-zel, akkor is
biztos irracionális számot kapunk.
Nézzük a J-t!
Az van itt, hogy 0,01 négyzetgyöke.
Ez annyi, mint az 1 osztva 100-zal négyzetgyöke.
Ez pedig egyenlő az 1 négyzetgyöke osztva 100
négyzetgyökével, amely egyenlő 1 tizeddel, azaz 0,1-gyel.
Egyértelmű, hogy ez racionális.
Már eleve törtszámként is van felírva.
Ez a fenti is racionális szám volt.
Törtszámként ugyanis felírható.