Квадратни корени и реални числа

Тук имам много изрази с радикали
или изрази с квадратни корени.

Сега ще ги разгледаме всичките

и ще ги опростим.

Ще говорим дали са рационални

или ирационални числа.

Нека започнем с А.

А е равно на корен квадратен от 25.

Това е същото нещо като
корен квадратен от 5 по 5,

което определено ще бъде равно на 5.

Тук ще се фокусираме на
положителния корен квадратен.

Сега да направим подточка б.

Ще го направя в друг цвят.

Когато казваме положителен корен квадратен

Имаме корен квадратен от 24.

Тук просто трябва

да разложим на прости множители.

Да разложим 24 на прости множители.

Това е 2 по 12.

12 е 2 по 6.

6 е 2 по 3.

Корен квадратен от 24 е същото нещо като

корен квадратен от 2 по 2 по 2 по 3.

Това е същото нещо като 24.

Тук виждаме, че имаме един точен квадрат.

Бихме могли да го преработим.

Това е същото нещо като
корен квадратен от 2 по 2 по

корен квадратен от 2 по 3.

Това ясно е 2.

Това е корен квадратен от 4.

Корен квадратен от 4 е 2.

Повече не можем да опростяваме.

Не виждаме числа, умножени по себе си.

Това ще бъде по корен квадратен от 6.

Можем да напишем това дори като
корен квадратен от 2

по корен квадратен от 3.

Казах вече, че ще говоря дали числата

са рационални или не.

Това е рационално.

Отговорът в подточка а може да бъде изразен
като отношение на две цели числа.

Именно 5/1.

Това е рационално.

Това е ирационално.

Няма да доказвам това в това видео.

Но всяко нещо, което е
произведение на ирационални числа...

Корен квадратен от всяко просто число
е ирационален.

Тук няма да го доказвам.

Това е корен квадратен от 2
по корен квадратен от 3.

Това е корен квадратен от 6.

И това го прави ирационално.

Не мога да изразя това като
някакъв вид дроб.

Не мога да изразя това като цяло число
върху друго

цяло число, както го направих там.

Няма да го доказвам тук.

Просто един вид се упражняваме.

И по-бърз начин за това е

да кажеш: "Хей, 4 се дели на това.

4 е точен квадрат.

Нека изнеса 4 извън корена.

Това е 4 по 6.

Корен квадратен от 4 е 2,
оставяме 6 под корена,

и получаваш 2 по корен квадратен от 6.

С което евентуално ще схванеш
цаката, но искам

първо да го направя систематично.

Нека направим подточка С.

Корен квадратен от 20.

Още един път, 20 е 2 по 10,
което е 2 по 5.

Това е същото нещо като
корен квадратен от 2 по 2, по 5.

А сега, корен квадратен от 2 по 2,
много ясно, че

това ще бъде 2.

Ще бъде корен квадратен от това по

корен квадратен от онова.

2 по корен квадратен от 5.

Повтарям, вероятно ще можеш да направиш
това наум

с малко повече практика.

Корен квадратен от 20 е 4 по 5.

Корен квадратен от 4 е 2.

Оставяме 5 под корена.

Нека направим подточка D.

Трябва да намерим корен квадратен от 200.

Същият процес.

Нека го разложим на прости множители.

Това е 2 по 100, което е 2 по 50, което е 2 по

25, което е 5 по 5.

Това тук можем да го преработим.

Нека да се преместя малко надясно.

Това ще бъде равно на корен квадратен
от 2 по 2 по 2

по 5 по 5.

Тук имаме един точен квадрат, а тук имаме

друг точен квадрат.

Ако искам да опиша всички
стъпки, това ще бъде

корен квадратен от 2 по 2,
по корен квадратен от 2,

по корен квадратен от 5 по 5.

Корен квадратен от 2 по 2 е 2.

Корен квадратен от 2 е просто
корен квадратен от 2.

Корен квадратен от 5 по 5,
това е корен квадратен от 25,

това ще бъде просто 5.

Можеш да разместиш това.

2 по 5 е 10.

10 по корен квадратен от 2.

Още един път, това е ирационално.

Не можеш да го изразиш
като дроб с цели числа

в числителя и знаменателя.

Ако искаш да опиташ
да получиш това като число,

то ще продължава и продължава,
без никога да се повтарят цифрите.

Нека направим подточка Е.

Това е корен квадратен от 2000.

Ще го направя тук долу.

Подточка Е е корен квадратен от 2000.

Напълно идентичният процес,
който правихме досега.

Да разложим на прости множители.

Това е 2 по 1000, което е 2 по 500,
което е 2 по 250,

което 2 по 125, което е 5 по 25,

което е 5 по 5.

И сме готови.

Това ще бъде равно на
корен квадратен от 2 по 2...

ще го поставя в скоби – 2 по 2, по

2 по 2, по 2 по 2, по 5 по 5,

по 5 по 5, нали?

Имаме 1,2,3,4 двойки и след това 3 петици.

А сега на какво ще бъде равно това?

Едно нещо, което може би си казваш:
"Хей, мога да напиша това като...

това е 4, това е 4.

Имаме повтарящо се 4.

Това е същото нещо като
корен квадратен от 4 по 4

по корен квадратен от 5 по 5,

по корен квадратен от 5.

Това тук очевидно е 4.

Това тук е 5.

И след това по корен квадратен от 5.

4 по 5 е 20 по корен квадратен от 5.

Още един път, това е ирационално.

Нека направим F.

Корен квадратен от 1/4, което можем да разгледаме
като същото нещо като

корен квадратен от 1 върху
корен квадратен от 4,

което е равно на 1/2.

Това е несъмнено рационално.

Може да бъде изразено като дроб.

Това е несъмнено рационално.

В повточка G имаме корен квадратен от 9/4.

Същата логика.

Това е равно на корен квадратен от 9
върху корен квадратен от 4,

което е равно на 3/2.

Да направим подточка Н.

Корен квадратен от 0,16.

Можеш да го решиш наум, ако веднага

разпознаеш, че ако умножим 0,4 по 0,4,

то ще получим това.

Но ще ти покажа по-систематичен начин
за правене на това, ако

това не е толкова очевидно за теб.

Това е същото нещо като

корен квадратен от 16/100, нали?

Това е 0,16.

Това е равно на корен квадратен от 16
върху корен квадратен от 100,

което е равно на 4/10, което е равно на 0,4.

Нека направим още няколко подобни.

ОК“

Подточка I е корен квадратен от 0,1,
което е равно на

корен квадратен от 1/10, което е равно на
корен квадратен от 1

върху корен квадратен от 10,
което е равно на 1 върху...

сега, корен квадратен от 10...
10 е просто 2 по 5.

Това всъщност не ни помага много.

Това си е просто корен квадратен от 10.

Много учители по математика не харесват
да оставяме този корен в знаменателя.

Но вече мога да ти кажа, че е ирационално.

Ще продължаваш да получаваш цифри.

Можеш да опиташ с твоя калкулатор

и те никога няма да се повтарят.

Твоят калкулатор ще ти даде
просто приблизителен отговор.

Защото за да даде точната стойност, ще има

неопределен брой цифри.

Но ако искаш да опростим това,

просто за да ти покажа.

Ако искаш да премахнеш
корена от знаменателя,

можеш да умножиш това
по корен квадратен от 10

върху корен квадратен от 10.

Това е просто 1.

Получаваш корен квадратен от 10/10.

Това са еквиваленти изрази, но и двата

са ирационални.

Вземаш ирационално число,
разделяш го на 10 и получаваш

пак ирационално число.

Нека направим J.

Имаме корен квадратен от 0,01.

Това е същото нещо като
корен квадратен от 1/100.

Което е равно на корен квадратен
от 1 върху корен квадратен

от 100, което е равно на 1/10, или 0,1.

Отново, това определено е рационално.

Написано е като дроб.

Това тук горе е също рационално.

Би могло да бъде написано като дроб.