Diverjans 3

Diverjans kullanarak vektör alanı analizi.

-

Şimdi daha süslü bir örnek yapalım. Daha sonra vektör alanını analiz etmeye çalışacağız.

-

Ve umarım bu herşeyi biraz daha anlaşılır kılacak.

-

Şimdi diyelim ki x-y ekseni üzerinde herhangi bir noktada sıvının veya sıvı parçacıklarının hızı, x yönünde, x kare eksi 3x artı 2, artı, y yönünde, y kare eksi 3y artı 2

-

-

-

-

Çarpanlara ayıracak tek ifademiz olsun, diye basitleştirdim.

Önce işin matematiğini yapalım.

Vektör alanınımızın diverjansını bulalım.

-

Benim pek düzgün olmayan çizimlerimden sonra, size alanın grafiğini de göstereceğim. Bu şekilde, neye benzediğini daha iyi anlayacağız.

-

-

Diverjans nedir?

x bileşeninin x'e göre kısmi türevini alalım.

-

Burada sadece x değişkeni olduğu için, y ve z'yi sabit tutmayı düşünmemize gerek yok.

-

Bu durumda, sadece bu ifadenin x'e göre türevini alıyouz.

-

Türevi de 2x eksi 3 olur.

Ve sonra, y bileşeninin y'ye göre kısmi türevini de ekleyelim,

-

y bileşeninde sadece y'ler var, bu sebeple y'ye göre türevini alıyoruz.

-

Bu da, 2y eksi 3'tür.

Veya, diyebiliriz ki, v'nin herhangi bir x y noktasındaki diverjansı, 2x artı 2y eksi 3 fonksiyonudur.

-

Şimdi size bunu grafiğini göstermeden önce, bu fonksiyonu biraz inceleyelim.

-

Öncelikle, orijinal vektör alanına bakalım, ve bu vektör alanının hangi ilginç noktaları içerdiğini bulalım.

-

-

Bence, x veya y bileşenlerinden birinin sıfıra eşit olması ilginç bir durum.

-

Peki, ne zaman x bileşeni sıfıra eşit olur?

x bileşenini çarpanlara ayırdığımızda, x eksi 1 çarpı x eksi 2, i, artı, y bileşeninin polinomu da aynı, yani y eksi 1 çarpı y eksi 2, j.

-

-

-

- B

-

Buna göre, x bileşeni, x 1'e eşit olduğunda 0 olur.

Bunlar, polinomun kökleri, x eşittir 1 veya 2, öyle değil mi?

-

y 1 veya 2 olduğunda da, y bileşeni 0'a eşit olur.

Bu değerlerin herhangi bir kombinasyonunda da, hem x, hem de y bileşeni 0 olur.

-

İki bileşenin de 0 olduğu noktalar, 1,1, x 1, y 2, 2,1 veya 2,2.

-

-

Dolayısıyla, bu noktalarda, sıvının veya sıvı parçacıklarının hızı 0.

-

Bu durumu birazdan grafikte göreceğiz.

Şimdi başka bir soru sorayım.

Diverjansın 0 olduğu noktalar hangileri?

-

-

Şurayı biraz sileyim.

-

Vektör alanındaki hangi noktalarda uzunluğun 0 olduğunu bulduk.

-

Şimdi diverjansın nerede 0 olduğunu bulalım.

-

Diverjans budur. Eğer bunu sıfıra eşitlersek, 2x eksi 3 artı 2y eksi 3.

-

-

-

Bu, eksi 6, öyle değil mi?

Eksi 3 eksi 3 eşittir eksi 6.

Hep toplama, çıkarma hatası yaparım.

Neyse, diverjans eşittir 2x artı 2y eksi 6.

-

Bulmak istediğimiz, bu ifadenin ne zaman 0'a eşit olduğu.

0'a eşitleyelim.

Biraz sadeleştirelim.

İki tarafı da 2'ye bölebiliriz, ve x artı y eksi 3 eşittir 0, olur.

-

x artı y eşittir 3.

Burada bırakabiliriz veya mx artı b şeklinde ifade edebiliriz. Bir doğruyu bu şekilde daha iyi gözümde canlandırıyorum.

-

-

y eşittir 3 eksi x, diyebiliriz.

Buna göre, vektör alanının diverjansı, y eşittir 3 eksi x doğrusu boyunca, 0'a eşit.

-

Bu doğrunun üst kısmında diverjans pozitif, çünkü bu işareti büyüktür işareti yapmış oluruz.

-

-

y büyüktür 3 eksi x olur.

y büyüktür 3 eksi x, diverjansın pozitif olduğunu gösterir

Ve, y küçüktür 3 eksi x, diverjansı negatif yapar.

Bunu küçüktür işareti yapıp çözersek, y küçüktür 3 eksi x elde ederiz.

-

-

Gerekli tüm analizi yaptık. Şimdi grafiğe bakıp, diverjans hakkındaki bildiklerimizle ve bulduğumuz sayılarla karşılaştıralım.

-

-

-

-

Umarım görebiliyorsunuz.

İşte vektör alanı.

Gösterecek kadar alanımız yok, ama sanıyorum hatırlıyorsunuz, x kare eksi 3x artı 2.

-

Bu vektör alanımızın tanımı idi.

Burada grafiğini çizdim.

x ve y bileşenlerinin ne zaman 0 olduğunu bulmuştuk.

-

İki bileşenin de 0 olduğunu noktalar neydi?

-

1,1 noktasında vektörün boyu 0'a eşit.

-

Biraz yakınlaştırayım.

Şurada, vektörler içe doğru dönük, ancak 1,1 noktasına yaklaştıkça, küçülüyorlar.

-

Ayrıca 1,2 noktasında, x 1, y 2.

Burada da, vektörlerin boyutu çok küçülüyor.

-

Tekrar yakınlaştırıyorum.

Gördüğümüz üzere, uzunluk çok küçülüyor.

2,1 ve 2,2 noktalarında da uzunluk küçülüyor.

-

Bu, bulduklarımızla örtüşüyor; vektör alanı bu noktada küçülüyor.

-

Diğer ilginç şey ise, diverjansın nerede 0 olduğu.

-

y eşittir 3 eksi x doğrusu boyunca, diverjans 0'a eşit.

-

y eşittir 3 eksi x doğrusu, y keseninde, yani 3'te başlıyor ve şöyle iniyor.

-

-

Bu doğru üzerinde her noktada, diverjans 0.

-

Grafiğe bakarsak, mantığını görebiliriz.

Bu grafiğin üzerine bir şey çizemiyorum, ama şuraya bir çember çizsem, sağ üstten içeri giren parçacık sayısı ile sol alttan çıkan parçacık sayısının aynı olduğunu görebiliriz

-

-

-

-

Sağ üstten bir sürü parçacık giriyor ve sol alttan bir sürü parçacık çıkıyor.

-

Ama, vektörler aynıya benziyor.

Ve aşağıya indiğimizde, şurada, doğru üzerinde, daha az içeri giriyor, ama daha az da çıkıyor.

-

-

Görmesi biraz zor, ama bu doğru üzerinde, giren parçacık sayısı ile çıkan parçacık sayısı aynı.

-

Bundan dolayı, diverjans 0'a eşit.

Şimdi başka noktalara bakalım.

Şurada, diverjans pozitif.

-

-

Buraya bir çember çizebilseydim, veya şu kareyi çizeyim.

-

-

-

Kareyi alanım olarak alayım.

Şuradaki kareyi.

Soldaki vektörler daha uzun, yani ayrılan vektörler, giren vektörlerden daha büyük, öyle değil mi?

-

-

Buna göre, belli bir zaman diliminde, girenden fazlası ayrılıyor, dolayısıyla yoğunluk azalıyor. Parçacıkların uzaksadığını söyleyebiliriz.

-

-

Bu da mantığa uygun, çünkü diverjansım pozitif.

Diverjansın negatif olduğu şu bölgede herhangi bir alan seçelim.

-

Mesela, şu kare.

Görüyoruz ki, içeri giren vektörlerin uzunluğu, çıkan vektörlerin uzunluğundan fazla.

-

-

Dolayısıyla, herhangi bir zaman diliminde, çıkandan fazlası giriyor.

Dolayısıyla, yoğunluk artıyor veya yakınsıyor.

Buna göre, negatif diverjansı, yoğunluğun artması veya yakınsama olarak nitelendirebiliriz.

-

Aslında, bu iki noktada ilginç bir şeyler oluyor.

-

2, 1 noktasında y yönünde yakınsama olduğunu söylemiştik, öyle değil mi?

-

1'den büyük y değerleri için, oklar aşağı doğru and 1'den küçük y değerleri için, oklar yukarı doğru, öyle değil mi?

-

Dolayısıyla, y yönünde yakınsama veya negatif diverjans var.

-

Parçacıklar içeri giriyor.

Ama, x yönünde parçacıklar dışarı itiliyor.

Buna göre, diverjansın burada 0 olması, aşağıdan ve yukarıdan parçacıklar girerken, aynı sayıda parçacıkların sağdan ve soldan çıkması.

-

-

-

Sanki, parçacıklar dışarı sapıyor.

İki boyut arasındaki hareketin sonunda, y eşittir 3 eksi x doğrusu üzerinde net bir yoğunluk artışı veya azalışı yoktur,

-

-

Zamanım tükenmeden önce, size işin esasını tekrar vermek istiyorum: diverjansın pozitif olması, artış hızının pozitif olması ve parçacıkların dışarı akması demek.

-

-

-

Diverjans şu kısımda pozitif demiştik, değil mi?

-

Kısmi türevlerimiz pozitif ise, x ve y arttıkça, vektör uzunluğu artar.

-

-

-

x ve y büyüdükçe vektör uzunluğu artıyorsa, sağdaki vektörler, soldaki vektörlerden daha uzun olacaktır.

-

-

-

Uzunluk artıyor.

Dolayısıyla, bir sınır çizersem, sağdan çıkanların sayısı, soldan girenlerden fazla olur.

-

Buna göre, pozitif diverjans vardır veya yoğunluk azalmaktadır.

-

Neyse, umarım kafanızı çok karıştırmadım.

Yine zamanım bitti.

Bir sonraki videoda görüşürüz.