1
00:00:00,000 --> 00:00:00,870
-

2
00:00:00,870 --> 00:00:03,490
Şimdi daha süslü bir örnek yapalım. Daha sonra vektör alanını analiz etmeye çalışacağız.

3
00:00:03,490 --> 00:00:04,610
-

4
00:00:04,610 --> 00:00:07,780
Ve umarım bu herşeyi biraz daha anlaşılır kılacak.

5
00:00:07,780 --> 00:00:08,580
-

6
00:00:08,580 --> 00:00:12,710
Şimdi diyelim ki x-y ekseni üzerinde herhangi bir noktada sıvının veya sıvı parçacıklarının hızı, x yönünde, x kare eksi 3x artı 2, artı, y yönünde, y kare eksi 3y artı 2

7
00:00:12,710 --> 00:00:18,150
-

8
00:00:18,150 --> 00:00:28,490
-

9
00:00:28,490 --> 00:00:38,170
-

10
00:00:38,170 --> 00:00:39,770
-

11
00:00:39,770 --> 00:00:44,250
Çarpanlara ayıracak tek ifademiz olsun, diye basitleştirdim.

12
00:00:44,250 --> 00:00:45,910
Önce işin matematiğini yapalım.

13
00:00:45,910 --> 00:00:51,730
Vektör alanınımızın diverjansını bulalım.

14
00:00:51,730 --> 00:00:54,050
-

15
00:00:54,050 --> 00:00:56,280
Benim pek düzgün olmayan çizimlerimden sonra, size alanın grafiğini de göstereceğim. Bu şekilde, neye benzediğini daha iyi anlayacağız.

16
00:00:56,280 --> 00:00:58,270
-

17
00:00:58,270 --> 00:01:01,870
-

18
00:01:01,870 --> 00:01:02,880
Diverjans nedir?

19
00:01:02,880 --> 00:01:05,200
x bileşeninin x'e göre kısmi türevini alalım.

20
00:01:05,200 --> 00:01:06,940
-

21
00:01:06,940 --> 00:01:09,430
Burada sadece x değişkeni olduğu için, y ve z'yi sabit tutmayı düşünmemize gerek yok.

22
00:01:09,430 --> 00:01:11,645
-

23
00:01:11,645 --> 00:01:13,650
Bu durumda, sadece bu ifadenin x'e göre türevini alıyouz.

24
00:01:13,650 --> 00:01:15,150
-

25
00:01:15,150 --> 00:01:19,820
Türevi de 2x eksi 3 olur.

26
00:01:19,820 --> 00:01:22,520
Ve sonra, y bileşeninin y'ye göre kısmi türevini de ekleyelim,

27
00:01:22,520 --> 00:01:25,290
-

28
00:01:25,290 --> 00:01:27,800
y bileşeninde sadece y'ler var, bu sebeple y'ye göre türevini alıyoruz.

29
00:01:27,800 --> 00:01:29,000
-

30
00:01:29,000 --> 00:01:34,910
Bu da, 2y eksi 3'tür.

31
00:01:34,910 --> 00:01:39,300
Veya, diyebiliriz ki, v'nin herhangi bir x y noktasındaki diverjansı, 2x artı 2y eksi 3 fonksiyonudur.

32
00:01:39,300 --> 00:01:48,120
-

33
00:01:48,120 --> 00:01:52,750
Şimdi size bunu grafiğini göstermeden önce, bu fonksiyonu biraz inceleyelim.

34
00:01:52,750 --> 00:01:54,010
-

35
00:01:54,010 --> 00:01:56,270
Öncelikle, orijinal vektör alanına bakalım, ve bu vektör alanının hangi ilginç noktaları içerdiğini bulalım.

36
00:01:56,270 --> 00:02:01,750
-

37
00:02:01,750 --> 00:02:03,400
-

38
00:02:03,400 --> 00:02:06,120
Bence, x veya y bileşenlerinden birinin sıfıra eşit olması ilginç bir durum.

39
00:02:06,120 --> 00:02:08,020
-

40
00:02:08,020 --> 00:02:10,590
Peki, ne zaman x bileşeni sıfıra eşit olur?

41
00:02:10,590 --> 00:02:13,480
x bileşenini çarpanlara ayırdığımızda, x eksi 1 çarpı x eksi 2, i, artı, y bileşeninin polinomu da aynı, yani y eksi 1 çarpı y eksi 2, j.

42
00:02:13,480 --> 00:02:17,420
-

43
00:02:17,420 --> 00:02:23,010
-

44
00:02:23,010 --> 00:02:29,910
-

45
00:02:29,910 --> 00:02:38,500
- B

-

46
00:02:38,500 --> 00:02:43,130
Buna göre, x bileşeni, x 1'e eşit olduğunda 0 olur.

47
00:02:43,130 --> 00:02:45,060
Bunlar, polinomun kökleri, x eşittir 1 veya 2, öyle değil mi?

48
00:02:45,060 --> 00:02:47,050
-

49
00:02:47,050 --> 00:02:51,980
y 1 veya 2 olduğunda da, y bileşeni 0'a eşit olur.

50
00:02:51,980 --> 00:02:54,790
Bu değerlerin herhangi bir kombinasyonunda da, hem x, hem de y bileşeni 0 olur.

51
00:02:54,790 --> 00:02:55,420
-

52
00:02:55,420 --> 00:03:02,240
İki bileşenin de 0 olduğu noktalar, 1,1, x 1, y 2, 2,1 veya 2,2.

53
00:03:02,240 --> 00:03:04,690
-

54
00:03:04,690 --> 00:03:10,340
-

55
00:03:10,340 --> 00:03:15,090
Dolayısıyla, bu noktalarda, sıvının veya sıvı parçacıklarının hızı 0.

56
00:03:15,090 --> 00:03:17,490
-

57
00:03:17,490 --> 00:03:20,200
Bu durumu birazdan grafikte göreceğiz.

58
00:03:20,200 --> 00:03:21,670
Şimdi başka bir soru sorayım.

59
00:03:21,670 --> 00:03:26,960
Diverjansın 0 olduğu noktalar hangileri?

60
00:03:26,960 --> 00:03:29,290
-

61
00:03:29,290 --> 00:03:31,500
-

62
00:03:31,500 --> 00:03:34,460
Şurayı biraz sileyim.

63
00:03:34,460 --> 00:03:35,570
-

64
00:03:35,570 --> 00:03:40,140
Vektör alanındaki hangi noktalarda uzunluğun 0 olduğunu bulduk.

65
00:03:40,140 --> 00:03:43,072
-

66
00:03:43,072 --> 00:03:47,790
Şimdi diverjansın nerede 0 olduğunu bulalım.

67
00:03:47,790 --> 00:03:49,870
-

68
00:03:49,870 --> 00:03:50,940
Diverjans budur. Eğer bunu sıfıra eşitlersek, 2x eksi 3 artı 2y eksi 3.

69
00:03:50,940 --> 00:03:57,610
-

70
00:03:57,610 --> 00:03:59,250
-

71
00:03:59,250 --> 00:04:01,330
-

72
00:04:01,330 --> 00:04:03,640
Bu, eksi 6, öyle değil mi?

73
00:04:03,640 --> 00:04:06,480
Eksi 3 eksi 3 eşittir eksi 6.

74
00:04:06,480 --> 00:04:09,880
Hep toplama, çıkarma hatası yaparım.

75
00:04:09,880 --> 00:04:11,560
Neyse, diverjans eşittir 2x artı 2y eksi 6.

76
00:04:11,560 --> 00:04:14,710
-

77
00:04:14,710 --> 00:04:16,860
Bulmak istediğimiz, bu ifadenin ne zaman 0'a eşit olduğu.

78
00:04:16,860 --> 00:04:19,950
0'a eşitleyelim.

79
00:04:19,950 --> 00:04:22,090
Biraz sadeleştirelim.

80
00:04:22,090 --> 00:04:25,760
İki tarafı da 2'ye bölebiliriz, ve x artı y eksi 3 eşittir 0, olur.

81
00:04:25,760 --> 00:04:28,940
-

82
00:04:28,940 --> 00:04:32,640
x artı y eşittir 3.

83
00:04:32,640 --> 00:04:35,190
Burada bırakabiliriz veya mx artı b şeklinde ifade edebiliriz. Bir doğruyu bu şekilde daha iyi gözümde canlandırıyorum.

84
00:04:35,190 --> 00:04:39,690
-

85
00:04:39,690 --> 00:04:41,330
-

86
00:04:41,330 --> 00:04:45,930
y eşittir 3 eksi x, diyebiliriz.

87
00:04:45,930 --> 00:04:50,960
Buna göre, vektör alanının diverjansı, y eşittir 3 eksi x doğrusu boyunca, 0'a eşit.

88
00:04:50,960 --> 00:04:55,830
-

89
00:04:55,830 --> 00:04:58,990
Bu doğrunun üst kısmında diverjans pozitif, çünkü bu işareti büyüktür işareti yapmış oluruz.

90
00:04:58,990 --> 00:05:02,210
-

91
00:05:02,210 --> 00:05:03,520
-

92
00:05:03,520 --> 00:05:05,890
y büyüktür 3 eksi x olur.

93
00:05:05,890 --> 00:05:13,640
y büyüktür 3 eksi x, diverjansın pozitif olduğunu gösterir

94
00:05:13,640 --> 00:05:19,420
Ve, y küçüktür 3 eksi x, diverjansı negatif yapar.

95
00:05:19,420 --> 00:05:21,880
Bunu küçüktür işareti yapıp çözersek, y küçüktür 3 eksi x elde ederiz.

96
00:05:21,880 --> 00:05:24,310
-

97
00:05:24,310 --> 00:05:25,640
-

98
00:05:25,640 --> 00:05:28,510
Gerekli tüm analizi yaptık. Şimdi grafiğe bakıp, diverjans hakkındaki bildiklerimizle ve bulduğumuz sayılarla karşılaştıralım.

99
00:05:28,510 --> 00:05:31,020
-

100
00:05:31,020 --> 00:05:33,760
-

101
00:05:33,760 --> 00:05:34,755
-

102
00:05:34,755 --> 00:05:37,480
-

103
00:05:37,480 --> 00:05:39,280
Umarım görebiliyorsunuz.

104
00:05:39,280 --> 00:05:41,450
İşte vektör alanı.

105
00:05:41,450 --> 00:05:45,630
Gösterecek kadar alanımız yok, ama sanıyorum hatırlıyorsunuz, x kare eksi 3x artı 2.

106
00:05:45,630 --> 00:05:47,620
-

107
00:05:47,620 --> 00:05:50,370
Bu vektör alanımızın tanımı idi.

108
00:05:50,370 --> 00:05:51,590
Burada grafiğini çizdim.

109
00:05:51,590 --> 00:05:55,040
x ve y bileşenlerinin ne zaman 0 olduğunu bulmuştuk.

110
00:05:55,040 --> 00:05:57,130
-

111
00:05:57,130 --> 00:05:58,980
İki bileşenin de 0 olduğunu noktalar neydi?

112
00:05:58,980 --> 00:06:01,370
-

113
00:06:01,370 --> 00:06:04,290
1,1 noktasında vektörün boyu 0'a eşit.

114
00:06:04,290 --> 00:06:06,210
-

115
00:06:06,210 --> 00:06:09,600
Biraz yakınlaştırayım.

116
00:06:09,600 --> 00:06:11,750
Şurada, vektörler içe doğru dönük, ancak 1,1 noktasına yaklaştıkça, küçülüyorlar.

117
00:06:11,750 --> 00:06:16,130
-

118
00:06:16,130 --> 00:06:19,690
Ayrıca 1,2 noktasında, x 1, y 2.

119
00:06:19,690 --> 00:06:22,290
Burada da, vektörlerin boyutu çok küçülüyor.

120
00:06:22,290 --> 00:06:24,680
-

121
00:06:24,680 --> 00:06:26,480
Tekrar yakınlaştırıyorum.

122
00:06:26,480 --> 00:06:29,020
Gördüğümüz üzere, uzunluk çok küçülüyor.

123
00:06:29,020 --> 00:06:31,460
2,1 ve 2,2 noktalarında da uzunluk küçülüyor.

124
00:06:31,460 --> 00:06:33,060
-

125
00:06:33,060 --> 00:06:35,590
Bu, bulduklarımızla örtüşüyor; vektör alanı bu noktada küçülüyor.

126
00:06:35,590 --> 00:06:37,980
-

127
00:06:37,980 --> 00:06:39,900
Diğer ilginç şey ise, diverjansın nerede 0 olduğu.

128
00:06:39,900 --> 00:06:41,500
-

129
00:06:41,500 --> 00:06:46,160
y eşittir 3 eksi x doğrusu boyunca, diverjans 0'a eşit.

130
00:06:46,160 --> 00:06:48,800
-

131
00:06:48,800 --> 00:06:52,250
y eşittir 3 eksi x doğrusu, y keseninde, yani 3'te başlıyor ve şöyle iniyor.

132
00:06:52,250 --> 00:06:55,640
-

133
00:06:55,640 --> 00:06:56,020
-

134
00:06:56,020 --> 00:06:58,730
Bu doğru üzerinde her noktada, diverjans 0.

135
00:06:58,730 --> 00:07:00,270
-

136
00:07:00,270 --> 00:07:03,310
Grafiğe bakarsak, mantığını görebiliriz.

137
00:07:03,310 --> 00:07:06,570
Bu grafiğin üzerine bir şey çizemiyorum, ama şuraya bir çember çizsem, sağ üstten içeri giren parçacık sayısı ile sol alttan çıkan parçacık sayısının aynı olduğunu görebiliriz

138
00:07:06,570 --> 00:07:11,450
-

139
00:07:11,450 --> 00:07:14,920
-

140
00:07:14,920 --> 00:07:18,000
-

141
00:07:18,000 --> 00:07:20,990
-

142
00:07:20,990 --> 00:07:23,670
Sağ üstten bir sürü parçacık giriyor ve sol alttan bir sürü parçacık çıkıyor.

143
00:07:23,670 --> 00:07:24,340
-

144
00:07:24,340 --> 00:07:26,740
Ama, vektörler aynıya benziyor.

145
00:07:26,740 --> 00:07:32,030
Ve aşağıya indiğimizde, şurada, doğru üzerinde, daha az içeri giriyor, ama daha az da çıkıyor.

146
00:07:32,030 --> 00:07:35,860
-

147
00:07:35,860 --> 00:07:36,970
-

148
00:07:36,970 --> 00:07:39,520
Görmesi biraz zor, ama bu doğru üzerinde, giren parçacık sayısı ile çıkan parçacık sayısı aynı.

149
00:07:39,520 --> 00:07:41,450
-

150
00:07:41,450 --> 00:07:45,240
Bundan dolayı, diverjans 0'a eşit.

151
00:07:45,240 --> 00:07:47,650
Şimdi başka noktalara bakalım.

152
00:07:47,650 --> 00:07:50,630
Şurada, diverjans pozitif.

153
00:07:50,630 --> 00:07:51,740
-

154
00:07:51,740 --> 00:07:53,310
-

155
00:07:53,310 --> 00:07:57,150
Buraya bir çember çizebilseydim, veya şu kareyi çizeyim.

156
00:07:57,150 --> 00:08:00,080
-

157
00:08:00,080 --> 00:08:02,050
-

158
00:08:02,050 --> 00:08:04,790
-

159
00:08:04,790 --> 00:08:07,690
Kareyi alanım olarak alayım.

160
00:08:07,690 --> 00:08:09,210
Şuradaki kareyi.

161
00:08:09,210 --> 00:08:12,320
Soldaki vektörler daha uzun, yani ayrılan vektörler, giren vektörlerden daha büyük, öyle değil mi?

162
00:08:12,320 --> 00:08:15,980
-

163
00:08:15,980 --> 00:08:18,830
-

164
00:08:18,830 --> 00:08:22,540
Buna göre, belli bir zaman diliminde, girenden fazlası ayrılıyor, dolayısıyla yoğunluk azalıyor. Parçacıkların uzaksadığını söyleyebiliriz.

165
00:08:22,540 --> 00:08:27,180
-

166
00:08:27,180 --> 00:08:28,860
-

167
00:08:28,860 --> 00:08:32,070
Bu da mantığa uygun, çünkü diverjansım pozitif.

168
00:08:32,070 --> 00:08:35,210
Diverjansın negatif olduğu şu bölgede herhangi bir alan seçelim.

169
00:08:35,210 --> 00:08:36,880
-

170
00:08:36,880 --> 00:08:39,600
Mesela, şu kare.

171
00:08:39,600 --> 00:08:43,710
Görüyoruz ki, içeri giren vektörlerin uzunluğu, çıkan vektörlerin uzunluğundan fazla.

172
00:08:43,710 --> 00:08:47,470
-

173
00:08:47,470 --> 00:08:48,800
-

174
00:08:48,800 --> 00:08:51,390
Dolayısıyla, herhangi bir zaman diliminde, çıkandan fazlası giriyor.

175
00:08:51,390 --> 00:08:53,850
Dolayısıyla, yoğunluk artıyor veya yakınsıyor.

176
00:08:53,850 --> 00:08:56,600
Buna göre, negatif diverjansı, yoğunluğun artması veya yakınsama olarak nitelendirebiliriz.

177
00:08:56,600 --> 00:08:58,610
-

178
00:08:58,610 --> 00:09:00,770
Aslında, bu iki noktada ilginç bir şeyler oluyor.

179
00:09:00,770 --> 00:09:04,240
-

180
00:09:04,240 --> 00:09:09,220
2, 1 noktasında y yönünde yakınsama olduğunu söylemiştik, öyle değil mi?

181
00:09:09,220 --> 00:09:13,580
-

182
00:09:13,580 --> 00:09:18,030
1'den büyük y değerleri için, oklar aşağı doğru and 1'den küçük y değerleri için, oklar yukarı doğru, öyle değil mi?

183
00:09:18,030 --> 00:09:20,630
-

184
00:09:20,630 --> 00:09:23,310
Dolayısıyla, y yönünde yakınsama veya negatif diverjans var.

185
00:09:23,310 --> 00:09:24,490
-

186
00:09:24,490 --> 00:09:26,990
Parçacıklar içeri giriyor.

187
00:09:26,990 --> 00:09:30,690
Ama, x yönünde parçacıklar dışarı itiliyor.

188
00:09:30,690 --> 00:09:33,890
Buna göre, diverjansın burada 0 olması, aşağıdan ve yukarıdan parçacıklar girerken, aynı sayıda parçacıkların sağdan ve soldan çıkması.

189
00:09:33,890 --> 00:09:38,020
-

190
00:09:38,020 --> 00:09:41,090
-

191
00:09:41,090 --> 00:09:41,650
-

192
00:09:41,650 --> 00:09:44,160
Sanki, parçacıklar dışarı sapıyor.

193
00:09:44,160 --> 00:09:48,710
İki boyut arasındaki hareketin sonunda, y eşittir 3 eksi x doğrusu üzerinde net bir yoğunluk artışı veya azalışı yoktur,

194
00:09:48,710 --> 00:09:52,030
-

195
00:09:52,030 --> 00:09:53,680
-

196
00:09:53,680 --> 00:09:56,180
Zamanım tükenmeden önce, size işin esasını tekrar vermek istiyorum: diverjansın pozitif olması, artış hızının pozitif olması ve parçacıkların dışarı akması demek.

197
00:09:56,180 --> 00:10:00,880
-

198
00:10:00,880 --> 00:10:04,930
-

199
00:10:04,930 --> 00:10:06,300
-

200
00:10:06,300 --> 00:10:07,590
Diverjans şu kısımda pozitif demiştik, değil mi?

201
00:10:07,590 --> 00:10:09,420
-

202
00:10:09,420 --> 00:10:12,350
Kısmi türevlerimiz pozitif ise, x ve y arttıkça, vektör uzunluğu artar.

203
00:10:12,350 --> 00:10:15,710
-

204
00:10:15,710 --> 00:10:18,690
-

205
00:10:18,690 --> 00:10:20,510
-

206
00:10:20,510 --> 00:10:22,760
x ve y büyüdükçe vektör uzunluğu artıyorsa, sağdaki vektörler, soldaki vektörlerden daha uzun olacaktır.

207
00:10:22,760 --> 00:10:26,120
-

208
00:10:26,120 --> 00:10:28,310
-

209
00:10:28,310 --> 00:10:29,290
-

210
00:10:29,290 --> 00:10:31,190
Uzunluk artıyor.

211
00:10:31,190 --> 00:10:34,390
Dolayısıyla, bir sınır çizersem, sağdan çıkanların sayısı, soldan girenlerden fazla olur.

212
00:10:34,390 --> 00:10:36,290
-

213
00:10:36,290 --> 00:10:39,220
Buna göre, pozitif diverjans vardır veya yoğunluk azalmaktadır.

214
00:10:39,220 --> 00:10:40,520
-

215
00:10:40,520 --> 00:10:43,840
Neyse, umarım kafanızı çok karıştırmadım.

216
00:10:43,840 --> 00:10:45,690
Yine zamanım bitti.

217
00:10:45,690 --> 00:10:48,080
Bir sonraki videoda görüşürüz.