WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.870 - 00:00:00.870 --> 00:00:03.490 Şimdi daha süslü bir örnek yapalım. Daha sonra vektör alanını analiz etmeye çalışacağız. 00:00:03.490 --> 00:00:04.610 - 00:00:04.610 --> 00:00:07.780 Ve umarım bu herşeyi biraz daha anlaşılır kılacak. 00:00:07.780 --> 00:00:08.580 - 00:00:08.580 --> 00:00:12.710 Şimdi diyelim ki x-y ekseni üzerinde herhangi bir noktada sıvının veya sıvı parçacıklarının hızı, x yönünde, x kare eksi 3x artı 2, artı, y yönünde, y kare eksi 3y artı 2 00:00:12.710 --> 00:00:18.150 - 00:00:18.150 --> 00:00:28.490 - 00:00:28.490 --> 00:00:38.170 - 00:00:38.170 --> 00:00:39.770 - 00:00:39.770 --> 00:00:44.250 Çarpanlara ayıracak tek ifademiz olsun, diye basitleştirdim. 00:00:44.250 --> 00:00:45.910 Önce işin matematiğini yapalım. 00:00:45.910 --> 00:00:51.730 Vektör alanınımızın diverjansını bulalım. 00:00:51.730 --> 00:00:54.050 - 00:00:54.050 --> 00:00:56.280 Benim pek düzgün olmayan çizimlerimden sonra, size alanın grafiğini de göstereceğim. Bu şekilde, neye benzediğini daha iyi anlayacağız. 00:00:56.280 --> 00:00:58.270 - 00:00:58.270 --> 00:01:01.870 - 00:01:01.870 --> 00:01:02.880 Diverjans nedir? 00:01:02.880 --> 00:01:05.200 x bileşeninin x'e göre kısmi türevini alalım. 00:01:05.200 --> 00:01:06.940 - 00:01:06.940 --> 00:01:09.430 Burada sadece x değişkeni olduğu için, y ve z'yi sabit tutmayı düşünmemize gerek yok. 00:01:09.430 --> 00:01:11.645 - 00:01:11.645 --> 00:01:13.650 Bu durumda, sadece bu ifadenin x'e göre türevini alıyouz. 00:01:13.650 --> 00:01:15.150 - 00:01:15.150 --> 00:01:19.820 Türevi de 2x eksi 3 olur. 00:01:19.820 --> 00:01:22.520 Ve sonra, y bileşeninin y'ye göre kısmi türevini de ekleyelim, 00:01:22.520 --> 00:01:25.290 - 00:01:25.290 --> 00:01:27.800 y bileşeninde sadece y'ler var, bu sebeple y'ye göre türevini alıyoruz. 00:01:27.800 --> 00:01:29.000 - 00:01:29.000 --> 00:01:34.910 Bu da, 2y eksi 3'tür. 00:01:34.910 --> 00:01:39.300 Veya, diyebiliriz ki, v'nin herhangi bir x y noktasındaki diverjansı, 2x artı 2y eksi 3 fonksiyonudur. 00:01:39.300 --> 00:01:48.120 - 00:01:48.120 --> 00:01:52.750 Şimdi size bunu grafiğini göstermeden önce, bu fonksiyonu biraz inceleyelim. 00:01:52.750 --> 00:01:54.010 - 00:01:54.010 --> 00:01:56.270 Öncelikle, orijinal vektör alanına bakalım, ve bu vektör alanının hangi ilginç noktaları içerdiğini bulalım. 00:01:56.270 --> 00:02:01.750 - 00:02:01.750 --> 00:02:03.400 - 00:02:03.400 --> 00:02:06.120 Bence, x veya y bileşenlerinden birinin sıfıra eşit olması ilginç bir durum. 00:02:06.120 --> 00:02:08.020 - 00:02:08.020 --> 00:02:10.590 Peki, ne zaman x bileşeni sıfıra eşit olur? 00:02:10.590 --> 00:02:13.480 x bileşenini çarpanlara ayırdığımızda, x eksi 1 çarpı x eksi 2, i, artı, y bileşeninin polinomu da aynı, yani y eksi 1 çarpı y eksi 2, j. 00:02:13.480 --> 00:02:17.420 - 00:02:17.420 --> 00:02:23.010 - 00:02:23.010 --> 00:02:29.910 - 00:02:29.910 --> 00:02:38.500 - B - 00:02:38.500 --> 00:02:43.130 Buna göre, x bileşeni, x 1'e eşit olduğunda 0 olur. 00:02:43.130 --> 00:02:45.060 Bunlar, polinomun kökleri, x eşittir 1 veya 2, öyle değil mi? 00:02:45.060 --> 00:02:47.050 - 00:02:47.050 --> 00:02:51.980 y 1 veya 2 olduğunda da, y bileşeni 0'a eşit olur. 00:02:51.980 --> 00:02:54.790 Bu değerlerin herhangi bir kombinasyonunda da, hem x, hem de y bileşeni 0 olur. 00:02:54.790 --> 00:02:55.420 - 00:02:55.420 --> 00:03:02.240 İki bileşenin de 0 olduğu noktalar, 1,1, x 1, y 2, 2,1 veya 2,2. 00:03:02.240 --> 00:03:04.690 - 00:03:04.690 --> 00:03:10.340 - 00:03:10.340 --> 00:03:15.090 Dolayısıyla, bu noktalarda, sıvının veya sıvı parçacıklarının hızı 0. 00:03:15.090 --> 00:03:17.490 - 00:03:17.490 --> 00:03:20.200 Bu durumu birazdan grafikte göreceğiz. 00:03:20.200 --> 00:03:21.670 Şimdi başka bir soru sorayım. 00:03:21.670 --> 00:03:26.960 Diverjansın 0 olduğu noktalar hangileri? 00:03:26.960 --> 00:03:29.290 - 00:03:29.290 --> 00:03:31.500 - 00:03:31.500 --> 00:03:34.460 Şurayı biraz sileyim. 00:03:34.460 --> 00:03:35.570 - 00:03:35.570 --> 00:03:40.140 Vektör alanındaki hangi noktalarda uzunluğun 0 olduğunu bulduk. 00:03:40.140 --> 00:03:43.072 - 00:03:43.072 --> 00:03:47.790 Şimdi diverjansın nerede 0 olduğunu bulalım. 00:03:47.790 --> 00:03:49.870 - 00:03:49.870 --> 00:03:50.940 Diverjans budur. Eğer bunu sıfıra eşitlersek, 2x eksi 3 artı 2y eksi 3. 00:03:50.940 --> 00:03:57.610 - 00:03:57.610 --> 00:03:59.250 - 00:03:59.250 --> 00:04:01.330 - 00:04:01.330 --> 00:04:03.640 Bu, eksi 6, öyle değil mi? 00:04:03.640 --> 00:04:06.480 Eksi 3 eksi 3 eşittir eksi 6. 00:04:06.480 --> 00:04:09.880 Hep toplama, çıkarma hatası yaparım. 00:04:09.880 --> 00:04:11.560 Neyse, diverjans eşittir 2x artı 2y eksi 6. 00:04:11.560 --> 00:04:14.710 - 00:04:14.710 --> 00:04:16.860 Bulmak istediğimiz, bu ifadenin ne zaman 0'a eşit olduğu. 00:04:16.860 --> 00:04:19.950 0'a eşitleyelim. 00:04:19.950 --> 00:04:22.090 Biraz sadeleştirelim. 00:04:22.090 --> 00:04:25.760 İki tarafı da 2'ye bölebiliriz, ve x artı y eksi 3 eşittir 0, olur. 00:04:25.760 --> 00:04:28.940 - 00:04:28.940 --> 00:04:32.640 x artı y eşittir 3. 00:04:32.640 --> 00:04:35.190 Burada bırakabiliriz veya mx artı b şeklinde ifade edebiliriz. Bir doğruyu bu şekilde daha iyi gözümde canlandırıyorum. 00:04:35.190 --> 00:04:39.690 - 00:04:39.690 --> 00:04:41.330 - 00:04:41.330 --> 00:04:45.930 y eşittir 3 eksi x, diyebiliriz. 00:04:45.930 --> 00:04:50.960 Buna göre, vektör alanının diverjansı, y eşittir 3 eksi x doğrusu boyunca, 0'a eşit. 00:04:50.960 --> 00:04:55.830 - 00:04:55.830 --> 00:04:58.990 Bu doğrunun üst kısmında diverjans pozitif, çünkü bu işareti büyüktür işareti yapmış oluruz. 00:04:58.990 --> 00:05:02.210 - 00:05:02.210 --> 00:05:03.520 - 00:05:03.520 --> 00:05:05.890 y büyüktür 3 eksi x olur. 00:05:05.890 --> 00:05:13.640 y büyüktür 3 eksi x, diverjansın pozitif olduğunu gösterir 00:05:13.640 --> 00:05:19.420 Ve, y küçüktür 3 eksi x, diverjansı negatif yapar. 00:05:19.420 --> 00:05:21.880 Bunu küçüktür işareti yapıp çözersek, y küçüktür 3 eksi x elde ederiz. 00:05:21.880 --> 00:05:24.310 - 00:05:24.310 --> 00:05:25.640 - 00:05:25.640 --> 00:05:28.510 Gerekli tüm analizi yaptık. Şimdi grafiğe bakıp, diverjans hakkındaki bildiklerimizle ve bulduğumuz sayılarla karşılaştıralım. 00:05:28.510 --> 00:05:31.020 - 00:05:31.020 --> 00:05:33.760 - 00:05:33.760 --> 00:05:34.755 - 00:05:34.755 --> 00:05:37.480 - 00:05:37.480 --> 00:05:39.280 Umarım görebiliyorsunuz. 00:05:39.280 --> 00:05:41.450 İşte vektör alanı. 00:05:41.450 --> 00:05:45.630 Gösterecek kadar alanımız yok, ama sanıyorum hatırlıyorsunuz, x kare eksi 3x artı 2. 00:05:45.630 --> 00:05:47.620 - 00:05:47.620 --> 00:05:50.370 Bu vektör alanımızın tanımı idi. 00:05:50.370 --> 00:05:51.590 Burada grafiğini çizdim. 00:05:51.590 --> 00:05:55.040 x ve y bileşenlerinin ne zaman 0 olduğunu bulmuştuk. 00:05:55.040 --> 00:05:57.130 - 00:05:57.130 --> 00:05:58.980 İki bileşenin de 0 olduğunu noktalar neydi? 00:05:58.980 --> 00:06:01.370 - 00:06:01.370 --> 00:06:04.290 1,1 noktasında vektörün boyu 0'a eşit. 00:06:04.290 --> 00:06:06.210 - 00:06:06.210 --> 00:06:09.600 Biraz yakınlaştırayım. 00:06:09.600 --> 00:06:11.750 Şurada, vektörler içe doğru dönük, ancak 1,1 noktasına yaklaştıkça, küçülüyorlar. 00:06:11.750 --> 00:06:16.130 - 00:06:16.130 --> 00:06:19.690 Ayrıca 1,2 noktasında, x 1, y 2. 00:06:19.690 --> 00:06:22.290 Burada da, vektörlerin boyutu çok küçülüyor. 00:06:22.290 --> 00:06:24.680 - 00:06:24.680 --> 00:06:26.480 Tekrar yakınlaştırıyorum. 00:06:26.480 --> 00:06:29.020 Gördüğümüz üzere, uzunluk çok küçülüyor. 00:06:29.020 --> 00:06:31.460 2,1 ve 2,2 noktalarında da uzunluk küçülüyor. 00:06:31.460 --> 00:06:33.060 - 00:06:33.060 --> 00:06:35.590 Bu, bulduklarımızla örtüşüyor; vektör alanı bu noktada küçülüyor. 00:06:35.590 --> 00:06:37.980 - 00:06:37.980 --> 00:06:39.900 Diğer ilginç şey ise, diverjansın nerede 0 olduğu. 00:06:39.900 --> 00:06:41.500 - 00:06:41.500 --> 00:06:46.160 y eşittir 3 eksi x doğrusu boyunca, diverjans 0'a eşit. 00:06:46.160 --> 00:06:48.800 - 00:06:48.800 --> 00:06:52.250 y eşittir 3 eksi x doğrusu, y keseninde, yani 3'te başlıyor ve şöyle iniyor. 00:06:52.250 --> 00:06:55.640 - 00:06:55.640 --> 00:06:56.020 - 00:06:56.020 --> 00:06:58.730 Bu doğru üzerinde her noktada, diverjans 0. 00:06:58.730 --> 00:07:00.270 - 00:07:00.270 --> 00:07:03.310 Grafiğe bakarsak, mantığını görebiliriz. 00:07:03.310 --> 00:07:06.570 Bu grafiğin üzerine bir şey çizemiyorum, ama şuraya bir çember çizsem, sağ üstten içeri giren parçacık sayısı ile sol alttan çıkan parçacık sayısının aynı olduğunu görebiliriz 00:07:06.570 --> 00:07:11.450 - 00:07:11.450 --> 00:07:14.920 - 00:07:14.920 --> 00:07:18.000 - 00:07:18.000 --> 00:07:20.990 - 00:07:20.990 --> 00:07:23.670 Sağ üstten bir sürü parçacık giriyor ve sol alttan bir sürü parçacık çıkıyor. 00:07:23.670 --> 00:07:24.340 - 00:07:24.340 --> 00:07:26.740 Ama, vektörler aynıya benziyor. 00:07:26.740 --> 00:07:32.030 Ve aşağıya indiğimizde, şurada, doğru üzerinde, daha az içeri giriyor, ama daha az da çıkıyor. 00:07:32.030 --> 00:07:35.860 - 00:07:35.860 --> 00:07:36.970 - 00:07:36.970 --> 00:07:39.520 Görmesi biraz zor, ama bu doğru üzerinde, giren parçacık sayısı ile çıkan parçacık sayısı aynı. 00:07:39.520 --> 00:07:41.450 - 00:07:41.450 --> 00:07:45.240 Bundan dolayı, diverjans 0'a eşit. 00:07:45.240 --> 00:07:47.650 Şimdi başka noktalara bakalım. 00:07:47.650 --> 00:07:50.630 Şurada, diverjans pozitif. 00:07:50.630 --> 00:07:51.740 - 00:07:51.740 --> 00:07:53.310 - 00:07:53.310 --> 00:07:57.150 Buraya bir çember çizebilseydim, veya şu kareyi çizeyim. 00:07:57.150 --> 00:08:00.080 - 00:08:00.080 --> 00:08:02.050 - 00:08:02.050 --> 00:08:04.790 - 00:08:04.790 --> 00:08:07.690 Kareyi alanım olarak alayım. 00:08:07.690 --> 00:08:09.210 Şuradaki kareyi. 00:08:09.210 --> 00:08:12.320 Soldaki vektörler daha uzun, yani ayrılan vektörler, giren vektörlerden daha büyük, öyle değil mi? 00:08:12.320 --> 00:08:15.980 - 00:08:15.980 --> 00:08:18.830 - 00:08:18.830 --> 00:08:22.540 Buna göre, belli bir zaman diliminde, girenden fazlası ayrılıyor, dolayısıyla yoğunluk azalıyor. Parçacıkların uzaksadığını söyleyebiliriz. 00:08:22.540 --> 00:08:27.180 - 00:08:27.180 --> 00:08:28.860 - 00:08:28.860 --> 00:08:32.070 Bu da mantığa uygun, çünkü diverjansım pozitif. 00:08:32.070 --> 00:08:35.210 Diverjansın negatif olduğu şu bölgede herhangi bir alan seçelim. 00:08:35.210 --> 00:08:36.880 - 00:08:36.880 --> 00:08:39.600 Mesela, şu kare. 00:08:39.600 --> 00:08:43.710 Görüyoruz ki, içeri giren vektörlerin uzunluğu, çıkan vektörlerin uzunluğundan fazla. 00:08:43.710 --> 00:08:47.470 - 00:08:47.470 --> 00:08:48.800 - 00:08:48.800 --> 00:08:51.390 Dolayısıyla, herhangi bir zaman diliminde, çıkandan fazlası giriyor. 00:08:51.390 --> 00:08:53.850 Dolayısıyla, yoğunluk artıyor veya yakınsıyor. 00:08:53.850 --> 00:08:56.600 Buna göre, negatif diverjansı, yoğunluğun artması veya yakınsama olarak nitelendirebiliriz. 00:08:56.600 --> 00:08:58.610 - 00:08:58.610 --> 00:09:00.770 Aslında, bu iki noktada ilginç bir şeyler oluyor. 00:09:00.770 --> 00:09:04.240 - 00:09:04.240 --> 00:09:09.220 2, 1 noktasında y yönünde yakınsama olduğunu söylemiştik, öyle değil mi? 00:09:09.220 --> 00:09:13.580 - 00:09:13.580 --> 00:09:18.030 1'den büyük y değerleri için, oklar aşağı doğru and 1'den küçük y değerleri için, oklar yukarı doğru, öyle değil mi? 00:09:18.030 --> 00:09:20.630 - 00:09:20.630 --> 00:09:23.310 Dolayısıyla, y yönünde yakınsama veya negatif diverjans var. 00:09:23.310 --> 00:09:24.490 - 00:09:24.490 --> 00:09:26.990 Parçacıklar içeri giriyor. 00:09:26.990 --> 00:09:30.690 Ama, x yönünde parçacıklar dışarı itiliyor. 00:09:30.690 --> 00:09:33.890 Buna göre, diverjansın burada 0 olması, aşağıdan ve yukarıdan parçacıklar girerken, aynı sayıda parçacıkların sağdan ve soldan çıkması. 00:09:33.890 --> 00:09:38.020 - 00:09:38.020 --> 00:09:41.090 - 00:09:41.090 --> 00:09:41.650 - 00:09:41.650 --> 00:09:44.160 Sanki, parçacıklar dışarı sapıyor. 00:09:44.160 --> 00:09:48.710 İki boyut arasındaki hareketin sonunda, y eşittir 3 eksi x doğrusu üzerinde net bir yoğunluk artışı veya azalışı yoktur, 00:09:48.710 --> 00:09:52.030 - 00:09:52.030 --> 00:09:53.680 - 00:09:53.680 --> 00:09:56.180 Zamanım tükenmeden önce, size işin esasını tekrar vermek istiyorum: diverjansın pozitif olması, artış hızının pozitif olması ve parçacıkların dışarı akması demek. 00:09:56.180 --> 00:10:00.880 - 00:10:00.880 --> 00:10:04.930 - 00:10:04.930 --> 00:10:06.300 - 00:10:06.300 --> 00:10:07.590 Diverjans şu kısımda pozitif demiştik, değil mi? 00:10:07.590 --> 00:10:09.420 - 00:10:09.420 --> 00:10:12.350 Kısmi türevlerimiz pozitif ise, x ve y arttıkça, vektör uzunluğu artar. 00:10:12.350 --> 00:10:15.710 - 00:10:15.710 --> 00:10:18.690 - 00:10:18.690 --> 00:10:20.510 - 00:10:20.510 --> 00:10:22.760 x ve y büyüdükçe vektör uzunluğu artıyorsa, sağdaki vektörler, soldaki vektörlerden daha uzun olacaktır. 00:10:22.760 --> 00:10:26.120 - 00:10:26.120 --> 00:10:28.310 - 00:10:28.310 --> 00:10:29.290 - 00:10:29.290 --> 00:10:31.190 Uzunluk artıyor. 00:10:31.190 --> 00:10:34.390 Dolayısıyla, bir sınır çizersem, sağdan çıkanların sayısı, soldan girenlerden fazla olur. 00:10:34.390 --> 00:10:36.290 - 00:10:36.290 --> 00:10:39.220 Buna göre, pozitif diverjans vardır veya yoğunluk azalmaktadır. 00:10:39.220 --> 00:10:40.520 - 00:10:40.520 --> 00:10:43.840 Neyse, umarım kafanızı çok karıştırmadım. 00:10:43.840 --> 00:10:45.690 Yine zamanım bitti. 00:10:45.690 --> 00:10:48.080 Bir sonraki videoda görüşürüz.