-
Şimdi daha süslü bir örnek yapalım. Daha sonra vektör alanını analiz etmeye çalışacağız.
-
Ve umarım bu herşeyi biraz daha anlaşılır kılacak.
-
Şimdi diyelim ki x-y ekseni üzerinde herhangi bir noktada sıvının veya sıvı parçacıklarının hızı, x yönünde, x kare eksi 3x artı 2, artı, y yönünde, y kare eksi 3y artı 2
-
Çarpanlara ayıracak tek ifademiz olsun, diye basitleştirdim.
Önce işin matematiğini yapalım.
Vektör alanınımızın diverjansını bulalım.
-
Benim pek düzgün olmayan çizimlerimden sonra, size alanın grafiğini de göstereceğim. Bu şekilde, neye benzediğini daha iyi anlayacağız.
-
Diverjans nedir?
x bileşeninin x'e göre kısmi türevini alalım.
-
Burada sadece x değişkeni olduğu için, y ve z'yi sabit tutmayı düşünmemize gerek yok.
-
Bu durumda, sadece bu ifadenin x'e göre türevini alıyouz.
-
Türevi de 2x eksi 3 olur.
Ve sonra, y bileşeninin y'ye göre kısmi türevini de ekleyelim,
-
y bileşeninde sadece y'ler var, bu sebeple y'ye göre türevini alıyoruz.
-
Bu da, 2y eksi 3'tür.
Veya, diyebiliriz ki, v'nin herhangi bir x y noktasındaki diverjansı, 2x artı 2y eksi 3 fonksiyonudur.
-
Şimdi size bunu grafiğini göstermeden önce, bu fonksiyonu biraz inceleyelim.
-
Öncelikle, orijinal vektör alanına bakalım, ve bu vektör alanının hangi ilginç noktaları içerdiğini bulalım.
-
Bence, x veya y bileşenlerinden birinin sıfıra eşit olması ilginç bir durum.
-
Peki, ne zaman x bileşeni sıfıra eşit olur?
x bileşenini çarpanlara ayırdığımızda, x eksi 1 çarpı x eksi 2, i, artı, y bileşeninin polinomu da aynı, yani y eksi 1 çarpı y eksi 2, j.
-
- B -
Buna göre, x bileşeni, x 1'e eşit olduğunda 0 olur.
Bunlar, polinomun kökleri, x eşittir 1 veya 2, öyle değil mi?
-
y 1 veya 2 olduğunda da, y bileşeni 0'a eşit olur.
Bu değerlerin herhangi bir kombinasyonunda da, hem x, hem de y bileşeni 0 olur.
-
İki bileşenin de 0 olduğu noktalar, 1,1, x 1, y 2, 2,1 veya 2,2.
-
Dolayısıyla, bu noktalarda, sıvının veya sıvı parçacıklarının hızı 0.
-
Bu durumu birazdan grafikte göreceğiz.
Şimdi başka bir soru sorayım.
Diverjansın 0 olduğu noktalar hangileri?
-
Şurayı biraz sileyim.
-
Vektör alanındaki hangi noktalarda uzunluğun 0 olduğunu bulduk.
-
Şimdi diverjansın nerede 0 olduğunu bulalım.
-
Diverjans budur. Eğer bunu sıfıra eşitlersek, 2x eksi 3 artı 2y eksi 3.
-
Bu, eksi 6, öyle değil mi?
Eksi 3 eksi 3 eşittir eksi 6.
Hep toplama, çıkarma hatası yaparım.
Neyse, diverjans eşittir 2x artı 2y eksi 6.
-
Bulmak istediğimiz, bu ifadenin ne zaman 0'a eşit olduğu.
0'a eşitleyelim.
Biraz sadeleştirelim.
İki tarafı da 2'ye bölebiliriz, ve x artı y eksi 3 eşittir 0, olur.
-
x artı y eşittir 3.
Burada bırakabiliriz veya mx artı b şeklinde ifade edebiliriz. Bir doğruyu bu şekilde daha iyi gözümde canlandırıyorum.
-
y eşittir 3 eksi x, diyebiliriz.
Buna göre, vektör alanının diverjansı, y eşittir 3 eksi x doğrusu boyunca, 0'a eşit.
-
Bu doğrunun üst kısmında diverjans pozitif, çünkü bu işareti büyüktür işareti yapmış oluruz.
-
y büyüktür 3 eksi x olur.
y büyüktür 3 eksi x, diverjansın pozitif olduğunu gösterir
Ve, y küçüktür 3 eksi x, diverjansı negatif yapar.
Bunu küçüktür işareti yapıp çözersek, y küçüktür 3 eksi x elde ederiz.
-
Gerekli tüm analizi yaptık. Şimdi grafiğe bakıp, diverjans hakkındaki bildiklerimizle ve bulduğumuz sayılarla karşılaştıralım.
-
Umarım görebiliyorsunuz.
İşte vektör alanı.
Gösterecek kadar alanımız yok, ama sanıyorum hatırlıyorsunuz, x kare eksi 3x artı 2.
-
Bu vektör alanımızın tanımı idi.
Burada grafiğini çizdim.
x ve y bileşenlerinin ne zaman 0 olduğunu bulmuştuk.
-
İki bileşenin de 0 olduğunu noktalar neydi?
-
1,1 noktasında vektörün boyu 0'a eşit.
-
Biraz yakınlaştırayım.
Şurada, vektörler içe doğru dönük, ancak 1,1 noktasına yaklaştıkça, küçülüyorlar.
-
Ayrıca 1,2 noktasında, x 1, y 2.
Burada da, vektörlerin boyutu çok küçülüyor.
-
Tekrar yakınlaştırıyorum.
Gördüğümüz üzere, uzunluk çok küçülüyor.
2,1 ve 2,2 noktalarında da uzunluk küçülüyor.
-
Bu, bulduklarımızla örtüşüyor; vektör alanı bu noktada küçülüyor.
-
Diğer ilginç şey ise, diverjansın nerede 0 olduğu.
-
y eşittir 3 eksi x doğrusu boyunca, diverjans 0'a eşit.
-
y eşittir 3 eksi x doğrusu, y keseninde, yani 3'te başlıyor ve şöyle iniyor.
-
Bu doğru üzerinde her noktada, diverjans 0.
-
Grafiğe bakarsak, mantığını görebiliriz.
Bu grafiğin üzerine bir şey çizemiyorum, ama şuraya bir çember çizsem, sağ üstten içeri giren parçacık sayısı ile sol alttan çıkan parçacık sayısının aynı olduğunu görebiliriz
-
Sağ üstten bir sürü parçacık giriyor ve sol alttan bir sürü parçacık çıkıyor.
-
Ama, vektörler aynıya benziyor.
Ve aşağıya indiğimizde, şurada, doğru üzerinde, daha az içeri giriyor, ama daha az da çıkıyor.
-
Görmesi biraz zor, ama bu doğru üzerinde, giren parçacık sayısı ile çıkan parçacık sayısı aynı.
-
Bundan dolayı, diverjans 0'a eşit.
Şimdi başka noktalara bakalım.
Şurada, diverjans pozitif.
-
Buraya bir çember çizebilseydim, veya şu kareyi çizeyim.
-
Kareyi alanım olarak alayım.
Şuradaki kareyi.
Soldaki vektörler daha uzun, yani ayrılan vektörler, giren vektörlerden daha büyük, öyle değil mi?
-
Buna göre, belli bir zaman diliminde, girenden fazlası ayrılıyor, dolayısıyla yoğunluk azalıyor. Parçacıkların uzaksadığını söyleyebiliriz.
-
Bu da mantığa uygun, çünkü diverjansım pozitif.
Diverjansın negatif olduğu şu bölgede herhangi bir alan seçelim.
-
Mesela, şu kare.
Görüyoruz ki, içeri giren vektörlerin uzunluğu, çıkan vektörlerin uzunluğundan fazla.
-
Dolayısıyla, herhangi bir zaman diliminde, çıkandan fazlası giriyor.
Dolayısıyla, yoğunluk artıyor veya yakınsıyor.
Buna göre, negatif diverjansı, yoğunluğun artması veya yakınsama olarak nitelendirebiliriz.
-
Aslında, bu iki noktada ilginç bir şeyler oluyor.
-
2, 1 noktasında y yönünde yakınsama olduğunu söylemiştik, öyle değil mi?
-
1'den büyük y değerleri için, oklar aşağı doğru and 1'den küçük y değerleri için, oklar yukarı doğru, öyle değil mi?
-
Dolayısıyla, y yönünde yakınsama veya negatif diverjans var.
-
Parçacıklar içeri giriyor.
Ama, x yönünde parçacıklar dışarı itiliyor.
Buna göre, diverjansın burada 0 olması, aşağıdan ve yukarıdan parçacıklar girerken, aynı sayıda parçacıkların sağdan ve soldan çıkması.
-
Sanki, parçacıklar dışarı sapıyor.
İki boyut arasındaki hareketin sonunda, y eşittir 3 eksi x doğrusu üzerinde net bir yoğunluk artışı veya azalışı yoktur,
-
Zamanım tükenmeden önce, size işin esasını tekrar vermek istiyorum: diverjansın pozitif olması, artış hızının pozitif olması ve parçacıkların dışarı akması demek.
-
Diverjans şu kısımda pozitif demiştik, değil mi?
-
Kısmi türevlerimiz pozitif ise, x ve y arttıkça, vektör uzunluğu artar.
-
x ve y büyüdükçe vektör uzunluğu artıyorsa, sağdaki vektörler, soldaki vektörlerden daha uzun olacaktır.
-
Uzunluk artıyor.
Dolayısıyla, bir sınır çizersem, sağdan çıkanların sayısı, soldan girenlerden fazla olur.
-
Buna göre, pozitif diverjans vardır veya yoğunluk azalmaktadır.
-
Neyse, umarım kafanızı çok karıştırmadım.
Yine zamanım bitti.
Bir sonraki videoda görüşürüz.