ไดเวอร์เจนซ์ 3

การวิเคราะห์สนามเวกเตอร์โดยใช้ไดเวอร์เจนซ์

-

ทีนี้ลองำทตัวอย่างที่หรูกว่าเดิมหน่อย, แล้วเราค่อยมา

วิเคราะห์สนามเวกเตอร์กัน

และหวังว่านี่คงช่วยให้ทุกอย่าง

จับต้องได้มากขึ้น

สมมุติว่าความเร็วของของไหล, หรืออนุภาค

ในของไหล, ใน ณ จุดที่กำหนดในระนาบ x-y,

สมมุติในทิศ x, มันคือ x กำลังสอง, x กำลังสอง ลบ 3x

บวก 2 ในทิศ x, บวก y กำลังสอง ลบ 3y บวก

2 ในทิศ y

ง่ายจนเรามีแค่อย่างเดียวต้องหาองค์ประกอบออกมา

ลองทำเลขกันก่อน

ลองหาไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์นี้กัน,

ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเรา

และเมื่อแสดงกราฟของสนามนี้ เราจะได้

เข้าใจว่ามันเป็นอย่างไร, แทนที่

จะใช้รูปที่ผมวาดได้ไม่ดีนัก

แล้วไดเวอร์เจนซ์คืออะไร?

ลองหาอนุพันธ์ย่อยขององค์ประกอบ x

เทียบกับ x ดู

นั่นก็แค่, มันมีแค่ตัวแปร x ในนี้, ดังนั้นเราไม่ต้อง

ระวังเรื่องจับ y หรือ z คงที่

มันก็แค่อนุพันธ์ของเทอมนี้

เทียบกับ x

ดังนั้นได้ 2x ลบ 3

แล้วเราก็บวกมันกับอนุพันธ์ย่อยของ

องค์ประกอบ y, หรือฟังก์ชัน y, เทียบกับ y

มันมีแค่ y ในองค์ประกอบ y, เราก็แค่

หาอนุพันธ์เทียบกับ y

มันจะเป็น บวก 2y ลบ 3

หรือเราอาจบอกว่า ไดเวอร์เจนซ์ของ v, ณ จุดใด ๆ

ใน xy, มันก็คือฟังก์ชันของ x กับ y, คือ 2x บวก 2y ลบ 3

ทีนี้ก่อนที่ผมจะแสดงกราฟ, ลองวิเคราะห์

ฟังก์ชันนี้กันหน่อย

อย่างแรกเลย, ลองดูที่สนามเวกเตอร์เดิม,

และคิดว่าสนามเวกเตอร์นี้ มีจุดไหน

น่าใจบ้าง?

ผมว่าจุดที่น่าสนใจ คือจุดที่องค์ประกอบ x

หรือองค์ประกอบ y นั้นเป็น 0

แล้วเเมื่อไหร่ที่องค์ประกอบ x จะเท่ากับ 0?

ทีนี้, หากเราแยกตัวประกอบองค์ประกอบ x, นั่นก็

เหมือนกับ, เราสามารถเขียนสนามเวกเตอร์เราใหม่

เราแค่แยกตัวประกอบ, นั่นคือ x ลบ 1 คูณ x ลบ

2i บวก, และนั่นก็เป็นพหุนามเหมือนกัน, แค่มี y, สำหรับ

องค์ประกอบ y, ได้ y ลบ 1 คูณ y ลบ 2 คูณ j

แล้วองค์ประกอบ x เป็น 0 เมื่อ x เท่ากับ 1, นี่เป็น

แค่รากของพหุนามนี้, เมื่อ x เท่ากับ

1 หรือ 2, จริงไหม?

และองค์ประกอบ y เป็น 0 เมื่อ y เท่ากับ 1 หรือ 2

และมันเท่ากับ 0 ทั้งสอง หากเรามี

จุดพวกนี้ประกอบกัน

ดังนั้นจุดที่มีองค์ประกอบเป็น 0 ทั้งคู่ได้ 1,1, x เป็น

1, y เป็น 2, จริง เพราะองค์ประกอบทั้งคู่

เป็น 0, 2, 1 หรือ 2,2

พวกนี้คือจุดที่ขนาดของความเร็ว

ของของไหล, หรืออนุภาคในของไหล, เป็น 0

และเราจะเห็นในกราฟเร็ว ๆ นี้

แต่ขอผมถามอีกคำถามนึง

ณ จุดใด, ทีนี้, ลองดูกัน, ว่าจุดใด

ที่ไดเวอร์เจนซ์เท่ากับ 0?

ลองดู, จุดไหนที่ไดเวอร์เจนซ์เท่ากับ 0

ขอผมคลิกลบหาที่ว่างก่อนนะ

ผมว่าผมลบนี่ได้

เราได้จุดเรามา, เราหาว่าพิกัดใด

ที่ขนาดสนามเวกเตอร์เป็น 0

งั้นลองหากัน ว่าตรงไหนที่ไดเวอร์เจนซ์

เท่ากับ 0?

นี่คือไดเวอร์เจนซ์

ดังนั้นหากเราจับมันเท่ากับ 0, 2x บวก 2y, 2x

บวก 2y, โอ้, โทษที

คุณรู้ว่า, นี่คือ 2x ลบ 3 บวก 2y ลบ 3

ดังนั้นนี่คือลบ 6, จริงไหม?

ลบ 3 ลบ 3, นั่นคือลบ 6

ผมพลาดครั้งใหญ่เลย บวกกับลบแค่นั้น

เอาล่ะ งั้นไดเวอร์เจนซ์

2x บวก 2y, ลบ 6

และเราอยากรู้, เมื่อไหร่ที่มันเป็น 0?

เราก็จับมันเท่ากับ 0

และเราสามารถจัดรูปมันหน่อย

เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2, และคุณได้ x

บวก y ลบ 3 เท่ากับ 0

คุณจะได้ x บวก y เท่ากับ 3

เราอาจจบตรงนี้, หรือเราอาจลองเขียนในรูป

mx บวก b ดั้งเดิม, นั่นคือวิธีที่ผมมอง

เส้นตรงได้ง่ายขึ้น

เราอาจบอกว่า y เท่ากับ 3 ลบ x

ดังนั้นตามแนวนี้, ไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์สนาม

b เท่ากับ 0, ตามเส้นตรง y เท่ากับ 3 ลบ x

และหากเราอยู่เหนือเส้นนี้, ไดเวอร์เจนซ์จะเป็นบวก

ใช่, เพราะหากผมทำให้นี่มากกว่า

เครื่องหมาย, มันจะตามไป

คุณจะได้ y มากกว่า 3-x

เมื่อ y มากกว่า 3-x, ไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก

และ y น้อยกว่า 3 ลบ x, ไดเวอร์เจนซ์เป็นลบ

และคุณอาจใช้อันนี้เป็นเครื่องหมายน้อยกว่า แล้วแก้, คุณ

จะได้ y น้อยกว่า 3-x, แล้วคุณจะได้รู้ว่าเมื่อไหร่

ไดเวอร์เจนซ์จะเป็นลบ

ดังนั้นผมว่าเราได้ทำวิเคราะห์เท่าที่ทำได้ไปแล้ว

งั้นลองดูกราฟแล้วดูว่ามันตรงกับ

สัญชาตญาณเราว่าไดเวอร์เจนซ์คืออะไร หรือเปล่า

รวมทั้งตัวเลขที่เราหามาด้วย

-

ผมหวังว่าคุณคงเห็นนี่นะ

นี่คือสนามเวกเตอร์

ผมไม่มีที่แสดงมัน, แต่ผมว่าคุณจำได้, นี่คือ

คุณก็รู้, x กำลังสอง ลบ 3x บวก 2

นี่คือนิยามของสนามเวกเตอร์เรา

วาดกราฟมาเป็นอันนี้

และเราหาแล้ว เราหาจุดที่

องค์ประกอบ x และองค์ประกอบ y เท่ากับ 0 ไปแล้ว

แล้วเราบอกว่า, เมื่อไหร่ทั้งคู่ถึงเป็น 0?

และเราบอกว่า โอ้ ณ คือจุด 1,1

นี่คือจุด 1,1 และเราได้ขนาด

ของเวกเตอร์เป็น 0 ณ จุดนั้น

ที่จริง, ผมสามารถขยายเข้าไปหน่อย

ตรงนี้, พวกมันชี้เข้า แต่มัน

เล็กลงและเล็กลง เมื่อคุณเข้าใกล้จุด 1,1 จริงไหม?

เรายังบอกไว้ว่า ณ จุด 1,2, x เป็น 1, y เป็น 2

และตรงนี้ เช่นกัน เราเห็นว่าขนาดของเวกเตอร์

นั่นเล็กมาก ๆๆ

เราขยายเข้าไปอีก

และเราเห็นว่า, ขนาดมันเล็กจริง

อีกจุดนึงคือ 2,1, อีกแล้ว, เราเห็น

ขนาดเล็กอีกแล้ว, แล้วก็ 2,2

ดังนั้นมันสอดคล้องกับที่เราหามา, ว่าสนามเวกเตอร์

เล็กมาก ณ จุดนี้

และอีกอย่างที่น่าสนใจคือ เราบอกว่า, โอเค, เมื่อไหร่

ไดเวอร์เจนซ์ถึงเป็น 0?

ทีนี้ ไดเวอรืเจนซ์เป็น 0 ตามแนวเส้นตรง y เท่ากับ

3 ลบ x

ดังนั้นเส้นตรง y เท่ากับ 3 ลบ x เริ่มต้น, ค่าตัด

แกน y จะเป็น 3, และมันจะออกเป็นแบบนี้

จริงไหม?

ดังนั้นอะไรก็ตาม, ณ จุดใด ๆ ตามแนวนี้,

ไดเวอร์เจนซ์เป็น 0

และหากเรามองที่กราฟ, มันก็ถูกแล้ว

เพราะผมไม่สามารถวาดบนกราฟนี้ได้, แต่หากเราวาดวงกลมตรงนี้

, ลองสมมุติว่ามันวาดได้แล้วกัน, เส้นตรง y

เท่ากับ 3 ลบ x, เราจะเห็นว่า ในช่วง

เวลานึง, จะมีอนุภาคเข้าไปจากด้านบนขวา

เท่ากับที่ไหลออกทางล่างซ้าย, จริงไหม?

มีจำนวนมากเลยไหลเข้าทางด้านบนขวา และจำนวนมา

ไหลออกทางล่างซ้าย

และเวกเตอร์พวกนี้ มีขนาดเท่ากัน

และหากเราไปทางด้านลง, หากเราไปตรงนี้บนเส้นตรง, มัน

จะดูว่ามีการไหลเข้าน้อยลง, แต่มัน

ก็ไหลออกน้อยลงด้วย

ผมรู้ว่ามันดูยาก, แต่ที่ใดก็ตามบนเส้นตรง,

คุณก็จะเห็นเข้ากับออกพอ ๆ กัน

และนั่นคือสาเหตุที่ไดเวอร์เจนซ์เป็น 0

ทีนี้, ลองดูจุดอื่นบ้าง

บนนี้, เราหาได้ว่าไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก

และนั่นเป็น

จุดใด ๆ

หากเราวาดวงกลมตรงนี้, เราจะเห็นเวกเตอร์

ด้านซ้ายมือของวงกลมที่คุณไม่เห็น,

เพราะผมวาดวงกลมบนกราฟนี่ไม่ได้

แต่ที่จริง, ลองสมมุติว่ามันเป็นสี่เหลี่ยม

สมมุติว่าสี่เหลี่ยมคือเขตของผม, จริงไหม?

อันนี้ตรงนี้

หากสี่เหลี่ยมนี้คือเขตผม, เราจะเห็นเวกเตอร์ทางซ้ายมือ

ใหญ่กว่า, ว่าส่วนที่เข้ามา โตกว่า

ส่วนที่เข้าไป, จริงไหม?

ดังนั้นหาก, ในช่วงเวลาที่กำหนด, มีออกไปมากกว่าเข้ามา

, ผมก็จะแน่นน้อยลง, หรือคุณอาจบอกว่า

อนุภาคสลายตัวออกไป

และนั่นเข้าใจได้, เพราะผมมีไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก

และหากเราไปตรงนี้, ที่ที่ไดเวอร์เจนซ์เป็นลบ,

ลองเลือกจุดตามใจจุดนึง

สมมุติว่าสี่เหลี่ยมนี้ตรงนี้

เราจะเห็นว่าเวกตอร์เข้ามา, ขนาดของเวกเตอร์

ที่เข้ามา, นั่นใหญ่กว่าขนาดของ

เวกเตอร์ที่ออกไป

ดังนั้นในช่วงเวลานึง, มีเข้ามากกว่าออก

นั่นเลยแน่นขึ้น, หรือมันมารวมกันมากขึ้น

ดังนั้นไดเวอร์เจนซ์เป็นลบ, หรือคุณอาจมองมันว่าแน่นขึ้น

หรือมันกำลังเข้าหากัน

ที่จริง มีสิ่งที่น่าสนใจเกิดขึ้น

ณ จุดสองจุดนี้

เราบอกว่า ณ จุด 2,1 , เราเห็นว่าในทิศ y

มันกำลังเข้าหากัน, จริงไหม?

เหนือ y เท่ากับ 1, ลูกศรชี้ลง

ส่วนข้างล่างลูกศรชี้ขึ้น, จริงไหม?

ดังนั้นในทิศ y, เรากำลังไหลเข้า, หรือ

เรากำลังได้ไดเวอร์เจนซ์เป็นลบ

สิ่งต่าง ๆ กำลังไหลเข้า ณ จุดนั้น

แต่ในทิศ x, สิ่งต่าง ๆ ถูกผลักออก, จริงไหม?

ดังนั้นสาเหตุที่ไดเวอร์เจนซ์เป็น 0 ตรงนี้, คุณอาจ

มีอนุภาคเข้าจากด้านบนและล่างขอบเขต, แต่

คุณยังมีอนุภาคจำนวนเท่ากัน ออกไปทางซ้าย

และขวาด้วย

นั่นเหมือนกับอนุภาคกระดอนกันไป

ดังนั้นโดยรวมแล้ว, ระหว่างทิศทั้งสอง, คุณไม่มี

ความหนาแน่นเพิ่มขึ้นหรือลดลง บนเส้นตรง y

เท่ากับ 3 ลบ x

และก่อนที่จะหมดเวลา, ผมอยากให้คุณได้สัญชาตญาณ

สำคัญอีกรอบ, ว่าทำไมไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก, และ

ทำไมมันถึงหมายความว่า มีของไหลออกมา, เมื่ออัตรา

การเปลี่ยนแปลงเป็นบวก

เราบอกว่าไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก

สมมุติว่าจุดนี้, ดีไหม?

นั่นเข้าใจได้, เพราะอนุพันธ์ย่อยเรา

เป็นบวก, นั่นหมายความว่าขนาดของเวกเตอร์เรา

โตขึ้น โตขึ้น เมื่อค่า x และ y

ของเราโตขึ้น, จริงไหม?

ดังนั้นหากขนาดของเวกเตอร์เราโตขึ้นและโตขึ้น

เมื่อค่า x กับ y โตขึ้น, เวกเตอร์ทางขวา

จะมีขนาดมากกว่า

เวกเตอร์ทางซ้าย

มันมีขนาดโตขึ้น

และดังนั้นหากผมวาดขอบเขต, จะมีพวกที่

ออกไปทางขวามากกว่าเข้าไปทางซ้าย

ดังนั้นคุณเลยได้การกระจายออกเป็นบวก, หรือคุณ

กำลังเจือจางลง

เอาล่ะ, ผมไม่อยากทำให้คุณงงนัก

แต่ผมหมดเวลาอีกแล้ว

แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ