-
ทีนี้ลองำทตัวอย่างที่หรูกว่าเดิมหน่อย, แล้วเราค่อยมา
วิเคราะห์สนามเวกเตอร์กัน
และหวังว่านี่คงช่วยให้ทุกอย่าง
จับต้องได้มากขึ้น
สมมุติว่าความเร็วของของไหล, หรืออนุภาค
ในของไหล, ใน ณ จุดที่กำหนดในระนาบ x-y,
สมมุติในทิศ x, มันคือ x กำลังสอง, x กำลังสอง ลบ 3x
บวก 2 ในทิศ x, บวก y กำลังสอง ลบ 3y บวก
2 ในทิศ y
ง่ายจนเรามีแค่อย่างเดียวต้องหาองค์ประกอบออกมา
ลองทำเลขกันก่อน
ลองหาไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์นี้กัน,
ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเรา
และเมื่อแสดงกราฟของสนามนี้ เราจะได้
เข้าใจว่ามันเป็นอย่างไร, แทนที่
จะใช้รูปที่ผมวาดได้ไม่ดีนัก
แล้วไดเวอร์เจนซ์คืออะไร?
ลองหาอนุพันธ์ย่อยขององค์ประกอบ x
เทียบกับ x ดู
นั่นก็แค่, มันมีแค่ตัวแปร x ในนี้, ดังนั้นเราไม่ต้อง
ระวังเรื่องจับ y หรือ z คงที่
มันก็แค่อนุพันธ์ของเทอมนี้
เทียบกับ x
ดังนั้นได้ 2x ลบ 3
แล้วเราก็บวกมันกับอนุพันธ์ย่อยของ
องค์ประกอบ y, หรือฟังก์ชัน y, เทียบกับ y
มันมีแค่ y ในองค์ประกอบ y, เราก็แค่
หาอนุพันธ์เทียบกับ y
มันจะเป็น บวก 2y ลบ 3
หรือเราอาจบอกว่า ไดเวอร์เจนซ์ของ v, ณ จุดใด ๆ
ใน xy, มันก็คือฟังก์ชันของ x กับ y, คือ 2x บวก 2y ลบ 3
ทีนี้ก่อนที่ผมจะแสดงกราฟ, ลองวิเคราะห์
ฟังก์ชันนี้กันหน่อย
อย่างแรกเลย, ลองดูที่สนามเวกเตอร์เดิม,
และคิดว่าสนามเวกเตอร์นี้ มีจุดไหน
น่าใจบ้าง?
ผมว่าจุดที่น่าสนใจ คือจุดที่องค์ประกอบ x
หรือองค์ประกอบ y นั้นเป็น 0
แล้วเเมื่อไหร่ที่องค์ประกอบ x จะเท่ากับ 0?
ทีนี้, หากเราแยกตัวประกอบองค์ประกอบ x, นั่นก็
เหมือนกับ, เราสามารถเขียนสนามเวกเตอร์เราใหม่
เราแค่แยกตัวประกอบ, นั่นคือ x ลบ 1 คูณ x ลบ
2i บวก, และนั่นก็เป็นพหุนามเหมือนกัน, แค่มี y, สำหรับ
องค์ประกอบ y, ได้ y ลบ 1 คูณ y ลบ 2 คูณ j
แล้วองค์ประกอบ x เป็น 0 เมื่อ x เท่ากับ 1, นี่เป็น
แค่รากของพหุนามนี้, เมื่อ x เท่ากับ
1 หรือ 2, จริงไหม?
และองค์ประกอบ y เป็น 0 เมื่อ y เท่ากับ 1 หรือ 2
และมันเท่ากับ 0 ทั้งสอง หากเรามี
จุดพวกนี้ประกอบกัน
ดังนั้นจุดที่มีองค์ประกอบเป็น 0 ทั้งคู่ได้ 1,1, x เป็น
1, y เป็น 2, จริง เพราะองค์ประกอบทั้งคู่
เป็น 0, 2, 1 หรือ 2,2
พวกนี้คือจุดที่ขนาดของความเร็ว
ของของไหล, หรืออนุภาคในของไหล, เป็น 0
และเราจะเห็นในกราฟเร็ว ๆ นี้
แต่ขอผมถามอีกคำถามนึง
ณ จุดใด, ทีนี้, ลองดูกัน, ว่าจุดใด
ที่ไดเวอร์เจนซ์เท่ากับ 0?
ลองดู, จุดไหนที่ไดเวอร์เจนซ์เท่ากับ 0
ขอผมคลิกลบหาที่ว่างก่อนนะ
ผมว่าผมลบนี่ได้
เราได้จุดเรามา, เราหาว่าพิกัดใด
ที่ขนาดสนามเวกเตอร์เป็น 0
งั้นลองหากัน ว่าตรงไหนที่ไดเวอร์เจนซ์
เท่ากับ 0?
นี่คือไดเวอร์เจนซ์
ดังนั้นหากเราจับมันเท่ากับ 0, 2x บวก 2y, 2x
บวก 2y, โอ้, โทษที
คุณรู้ว่า, นี่คือ 2x ลบ 3 บวก 2y ลบ 3
ดังนั้นนี่คือลบ 6, จริงไหม?
ลบ 3 ลบ 3, นั่นคือลบ 6
ผมพลาดครั้งใหญ่เลย บวกกับลบแค่นั้น
เอาล่ะ งั้นไดเวอร์เจนซ์
2x บวก 2y, ลบ 6
และเราอยากรู้, เมื่อไหร่ที่มันเป็น 0?
เราก็จับมันเท่ากับ 0
และเราสามารถจัดรูปมันหน่อย
เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2, และคุณได้ x
บวก y ลบ 3 เท่ากับ 0
คุณจะได้ x บวก y เท่ากับ 3
เราอาจจบตรงนี้, หรือเราอาจลองเขียนในรูป
mx บวก b ดั้งเดิม, นั่นคือวิธีที่ผมมอง
เส้นตรงได้ง่ายขึ้น
เราอาจบอกว่า y เท่ากับ 3 ลบ x
ดังนั้นตามแนวนี้, ไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์สนาม
b เท่ากับ 0, ตามเส้นตรง y เท่ากับ 3 ลบ x
และหากเราอยู่เหนือเส้นนี้, ไดเวอร์เจนซ์จะเป็นบวก
ใช่, เพราะหากผมทำให้นี่มากกว่า
เครื่องหมาย, มันจะตามไป
คุณจะได้ y มากกว่า 3-x
เมื่อ y มากกว่า 3-x, ไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก
และ y น้อยกว่า 3 ลบ x, ไดเวอร์เจนซ์เป็นลบ
และคุณอาจใช้อันนี้เป็นเครื่องหมายน้อยกว่า แล้วแก้, คุณ
จะได้ y น้อยกว่า 3-x, แล้วคุณจะได้รู้ว่าเมื่อไหร่
ไดเวอร์เจนซ์จะเป็นลบ
ดังนั้นผมว่าเราได้ทำวิเคราะห์เท่าที่ทำได้ไปแล้ว
งั้นลองดูกราฟแล้วดูว่ามันตรงกับ
สัญชาตญาณเราว่าไดเวอร์เจนซ์คืออะไร หรือเปล่า
รวมทั้งตัวเลขที่เราหามาด้วย
-
ผมหวังว่าคุณคงเห็นนี่นะ
นี่คือสนามเวกเตอร์
ผมไม่มีที่แสดงมัน, แต่ผมว่าคุณจำได้, นี่คือ
คุณก็รู้, x กำลังสอง ลบ 3x บวก 2
นี่คือนิยามของสนามเวกเตอร์เรา
วาดกราฟมาเป็นอันนี้
และเราหาแล้ว เราหาจุดที่
องค์ประกอบ x และองค์ประกอบ y เท่ากับ 0 ไปแล้ว
แล้วเราบอกว่า, เมื่อไหร่ทั้งคู่ถึงเป็น 0?
และเราบอกว่า โอ้ ณ คือจุด 1,1
นี่คือจุด 1,1 และเราได้ขนาด
ของเวกเตอร์เป็น 0 ณ จุดนั้น
ที่จริง, ผมสามารถขยายเข้าไปหน่อย
ตรงนี้, พวกมันชี้เข้า แต่มัน
เล็กลงและเล็กลง เมื่อคุณเข้าใกล้จุด 1,1 จริงไหม?
เรายังบอกไว้ว่า ณ จุด 1,2, x เป็น 1, y เป็น 2
และตรงนี้ เช่นกัน เราเห็นว่าขนาดของเวกเตอร์
นั่นเล็กมาก ๆๆ
เราขยายเข้าไปอีก
และเราเห็นว่า, ขนาดมันเล็กจริง
อีกจุดนึงคือ 2,1, อีกแล้ว, เราเห็น
ขนาดเล็กอีกแล้ว, แล้วก็ 2,2
ดังนั้นมันสอดคล้องกับที่เราหามา, ว่าสนามเวกเตอร์
เล็กมาก ณ จุดนี้
และอีกอย่างที่น่าสนใจคือ เราบอกว่า, โอเค, เมื่อไหร่
ไดเวอร์เจนซ์ถึงเป็น 0?
ทีนี้ ไดเวอรืเจนซ์เป็น 0 ตามแนวเส้นตรง y เท่ากับ
3 ลบ x
ดังนั้นเส้นตรง y เท่ากับ 3 ลบ x เริ่มต้น, ค่าตัด
แกน y จะเป็น 3, และมันจะออกเป็นแบบนี้
จริงไหม?
ดังนั้นอะไรก็ตาม, ณ จุดใด ๆ ตามแนวนี้,
ไดเวอร์เจนซ์เป็น 0
และหากเรามองที่กราฟ, มันก็ถูกแล้ว
เพราะผมไม่สามารถวาดบนกราฟนี้ได้, แต่หากเราวาดวงกลมตรงนี้
, ลองสมมุติว่ามันวาดได้แล้วกัน, เส้นตรง y
เท่ากับ 3 ลบ x, เราจะเห็นว่า ในช่วง
เวลานึง, จะมีอนุภาคเข้าไปจากด้านบนขวา
เท่ากับที่ไหลออกทางล่างซ้าย, จริงไหม?
มีจำนวนมากเลยไหลเข้าทางด้านบนขวา และจำนวนมา
ไหลออกทางล่างซ้าย
และเวกเตอร์พวกนี้ มีขนาดเท่ากัน
และหากเราไปทางด้านลง, หากเราไปตรงนี้บนเส้นตรง, มัน
จะดูว่ามีการไหลเข้าน้อยลง, แต่มัน
ก็ไหลออกน้อยลงด้วย
ผมรู้ว่ามันดูยาก, แต่ที่ใดก็ตามบนเส้นตรง,
คุณก็จะเห็นเข้ากับออกพอ ๆ กัน
และนั่นคือสาเหตุที่ไดเวอร์เจนซ์เป็น 0
ทีนี้, ลองดูจุดอื่นบ้าง
บนนี้, เราหาได้ว่าไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก
และนั่นเป็น
จุดใด ๆ
หากเราวาดวงกลมตรงนี้, เราจะเห็นเวกเตอร์
ด้านซ้ายมือของวงกลมที่คุณไม่เห็น,
เพราะผมวาดวงกลมบนกราฟนี่ไม่ได้
แต่ที่จริง, ลองสมมุติว่ามันเป็นสี่เหลี่ยม
สมมุติว่าสี่เหลี่ยมคือเขตของผม, จริงไหม?
อันนี้ตรงนี้
หากสี่เหลี่ยมนี้คือเขตผม, เราจะเห็นเวกเตอร์ทางซ้ายมือ
ใหญ่กว่า, ว่าส่วนที่เข้ามา โตกว่า
ส่วนที่เข้าไป, จริงไหม?
ดังนั้นหาก, ในช่วงเวลาที่กำหนด, มีออกไปมากกว่าเข้ามา
, ผมก็จะแน่นน้อยลง, หรือคุณอาจบอกว่า
อนุภาคสลายตัวออกไป
และนั่นเข้าใจได้, เพราะผมมีไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก
และหากเราไปตรงนี้, ที่ที่ไดเวอร์เจนซ์เป็นลบ,
ลองเลือกจุดตามใจจุดนึง
สมมุติว่าสี่เหลี่ยมนี้ตรงนี้
เราจะเห็นว่าเวกตอร์เข้ามา, ขนาดของเวกเตอร์
ที่เข้ามา, นั่นใหญ่กว่าขนาดของ
เวกเตอร์ที่ออกไป
ดังนั้นในช่วงเวลานึง, มีเข้ามากกว่าออก
นั่นเลยแน่นขึ้น, หรือมันมารวมกันมากขึ้น
ดังนั้นไดเวอร์เจนซ์เป็นลบ, หรือคุณอาจมองมันว่าแน่นขึ้น
หรือมันกำลังเข้าหากัน
ที่จริง มีสิ่งที่น่าสนใจเกิดขึ้น
ณ จุดสองจุดนี้
เราบอกว่า ณ จุด 2,1 , เราเห็นว่าในทิศ y
มันกำลังเข้าหากัน, จริงไหม?
เหนือ y เท่ากับ 1, ลูกศรชี้ลง
ส่วนข้างล่างลูกศรชี้ขึ้น, จริงไหม?
ดังนั้นในทิศ y, เรากำลังไหลเข้า, หรือ
เรากำลังได้ไดเวอร์เจนซ์เป็นลบ
สิ่งต่าง ๆ กำลังไหลเข้า ณ จุดนั้น
แต่ในทิศ x, สิ่งต่าง ๆ ถูกผลักออก, จริงไหม?
ดังนั้นสาเหตุที่ไดเวอร์เจนซ์เป็น 0 ตรงนี้, คุณอาจ
มีอนุภาคเข้าจากด้านบนและล่างขอบเขต, แต่
คุณยังมีอนุภาคจำนวนเท่ากัน ออกไปทางซ้าย
และขวาด้วย
นั่นเหมือนกับอนุภาคกระดอนกันไป
ดังนั้นโดยรวมแล้ว, ระหว่างทิศทั้งสอง, คุณไม่มี
ความหนาแน่นเพิ่มขึ้นหรือลดลง บนเส้นตรง y
เท่ากับ 3 ลบ x
และก่อนที่จะหมดเวลา, ผมอยากให้คุณได้สัญชาตญาณ
สำคัญอีกรอบ, ว่าทำไมไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก, และ
ทำไมมันถึงหมายความว่า มีของไหลออกมา, เมื่ออัตรา
การเปลี่ยนแปลงเป็นบวก
เราบอกว่าไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก
สมมุติว่าจุดนี้, ดีไหม?
นั่นเข้าใจได้, เพราะอนุพันธ์ย่อยเรา
เป็นบวก, นั่นหมายความว่าขนาดของเวกเตอร์เรา
โตขึ้น โตขึ้น เมื่อค่า x และ y
ของเราโตขึ้น, จริงไหม?
ดังนั้นหากขนาดของเวกเตอร์เราโตขึ้นและโตขึ้น
เมื่อค่า x กับ y โตขึ้น, เวกเตอร์ทางขวา
จะมีขนาดมากกว่า
เวกเตอร์ทางซ้าย
มันมีขนาดโตขึ้น
และดังนั้นหากผมวาดขอบเขต, จะมีพวกที่
ออกไปทางขวามากกว่าเข้าไปทางซ้าย
ดังนั้นคุณเลยได้การกระจายออกเป็นบวก, หรือคุณ
กำลังเจือจางลง
เอาล่ะ, ผมไม่อยากทำให้คุณงงนัก
แต่ผมหมดเวลาอีกแล้ว
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ