Grafen for y=sin(x)

Grafen for y=sin(x) er som en bølge, der svinger mellem -1 og 1 med en periode på 2pi; enheder. Det betyder, at definitionsmængden for sin(x) er alle reelle tal, og værdimængden er [-1,1]. Se, hvordan vi finder grafen for y=sin(x) ved at bruge enhedscirklens definition af sin(x).

Lad os udvide de trigonometriske forhold sinus, cosinus og tangens til funktioner, der er defineret for alle reelle tal. Du bliver overrasket over, hvordan vi kan bruge disse funktioner til at modellere mange situationer i hverdagen som tivoli-ture og afstande mellem planeter.

Algebra 2, som ofte bliver undervist i gymnasiet, dækker polynomier; komplekse tal; brøk eksponenter; eksponentielle og logaritmiske funktioner; trigonometriske funktioner; transformation af funktioner; brøk funktioner; og fortsætter med ligninger og modellering. Khan Academy's Algebra 2 kursus er bygget til at levere en omfattende, oplysende, engagerende oplevelse!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Vi skal finde ud af,
hvad definitionsmængden

og værdimængden af sinusfunktionen er.

For at gøre det, lad os afbilde
grafen for sinusfunktionen.

Her til venstre har jeg en enhedscirkel.

-- lad mig lige fjerne dette --

Jeg har en enhedscirkel her til venstre

og nu skal jeg finde ud af,

hvilke værdier sinus har for
forskellige værdier af theta.

På enhedscirklen er dette x og dette er y.

For enhver theta kan vi se, hvor det
andet vinkelben skærer enhedscirklen

og y-koordinaten til dette punkt
svarer til sinus til theta.

Her afbilder jeg grafen.

y er den lodrette akse,

men jeg afbilder grafen for
y er lig sinus til theta.

Den vandrette akse er ikke x men theta.

Theta er den uafhængige variabel

og theta bliver målt i radianer.

Vi skal nu vælge nogle theta'er

er finde ud af, hvad sinus til theta er

og afbilde det.

Lad os lave en lille tabel her.

Her har jeg theta

og her har jeg sinus til theta.

Vi skal vælge flere forskellige theta'er.

Lad os starte med 0.

Vi starter med theta er lig 0.

Hvad er sinus til theta?

Når vinklen er 0,
så skærer vi enhedscirklen lige her.

y-koordinaten er 0.

Dette punkt er (1,0).

y-koordinaten er 0,
så sinus til theta er 0.

Vi kan sige, at sinus til 0 er lig 0.

Lad os prøve theta er lig pi/2.

Theta er lig pi/2.

Jeg vælger værdier,
der er nemme at udregne.

Hvis theta er lig pi/2,

som er det samme som
en vinkel på 90 grader,

så ligger det andet
vinkelben langs y-aksen,

og retningspunktet ligger lige her.

Hvad er dette punkt?

Det er punktet (0,1).

Hvad er sinus til pi/2?

Sinus til pi/2 svarer
til denne y-koordinat.

Den er 1.

Sinus til pi/2 er 1.

Lad os fortsætte, og du kan
måske se et mønster.

Vi fortsætter rundt om cirklen.

Lad os se, hvad der sker,
når theta er lig pi.

Når theta er lig pi,
hvad er så sinus til pi?

Vi skærer enhedscirklen lige her.

Koordinatsættet er (-1,0).

Sinus svarer til y-koordinaten,

så dette er sinus til pi.

Sinus til pi er 0.

Lad os gå til 3pi/2.

Nu er vi tre fjerdele rundt om cirklen.

Vi skærer enhedscirklen lige her.

Hvad er sinus til 3pi/2?

Dette punkt er (0,-1).

Sinus til theta er y-koordinaten,

så sinus til 3pi/2 er -1.

Nu er vi nået hele vejen rundt
og theta er lig 2pi.

-- Lad mig lige bruge gult her --

Hvad sker der når theta er lig 2pi?

Vi er gået hele vejen rundt om cirklen
og er tilbage, hvor vi startede,

og y-koordinaten er 0,

så sinus til 2pi er 0.

Hvis vi fortsætter med at gå rundt,
så vil vi få det samme mønster igen.

Lad os nu afbilde dette.

Når theta er lig 0,
så er sinus til theta lig 0.

Når theta er lig pi/2,
så er sinus til theta lig 1.

Lad os bruge samme skala.

Sinus til theta er lig 1.

Dette er 1 på denne akse
og den akse herover,

så vi bedre kan sammenligne.

Når theta er lig pi,
så er sinus til theta lig 0.

Vi går derfor ned hertil.

Når theta er lig 3pi/2,
så er sinus til 3pi/2 lig -1.

-1 er lige her og jeg bruger
samme skala, så dette er -1

og sinus til theta er -1.

Når theta er 2pi,
så er sinus til theta lig 0.

Nu kan vi forbinde punkterne.

-- du kan lave flere punkter --

Du får en graf, der ser
nogenlunde således ud.

Mit bedste forsøg på en frihåndstegning.

Dette er grunden til at grafer
som disse er kaldet sinuskurver,

da de ligner grafen for sinusfunktionen.

Dette er dog ikke hele grafen,
da vi kan fortsætte.

Vi kan gå pi/2 længere end 2pi,

så kommer du til 5pi/2.

Så kommer du tilbage hertil,
hvor sinus til theta er lig 1.

Vi får dette punkt.

Du kan fortsætte og gå pi/2 længere,

og så får du dette punkt.

Funktionen sinus til theta er
defineret for enhver værdi af theta.

Alle reelle værdier.

Hvad med negative værdier?

Når theta stiger som her,

så fortsætter vi med at gå
rundt om cirklen,

og dette mønster dukker op.

Hvad sker der, hvis vi går
i den negative retning?

Lad os prøve?

Hvad får vi, når theta er lig -pi/2?

-pi/2 er lige her.

Vi skærer enhedscirklen lige her.

y-koordinaten er -1.

Sinus til -pi/2 er -1.

Vi kan se at det blot fortsætter.

Sinus til theta er defineret for
enhver positiv og negativ værdi og 0,

altså enhver værdi.

Den en er defineret for alle værdier.

Lad os gå tilbage til spørgsmålet.

Jeg kan forsætte med at tegne funktionen.

Lad os gå tilbage til spørgsmålet.

Hvad er definitionsmængden?

Hvad er definitionsmængden
af sinusfunktionen?

Husk definitionsmængden er alle de
inputs for hvilke funktionen er defineret,

altså alle gyldige input for funktionen,
hvor funktionen kan returnere en værdi.

Hvad er definitionsmængden
for sinusfunktionen?

Det har vi lige set.

Vi kan inputte enhver værdi af theta.

Så definitionsmængden er alle reelle tal.

Hvad med værdimængden?

Værdimængden er også
kaldet billedmængden.

Det er den mængde af værdier som
en funktion er i stand til at returnere.

Hvad er den mængde?

Hvad er værdimængden?

Hvilke værdier kan y er lig
sinus til theta være?

Vi kan se, at den bliver ved
med at være mellem +1 og -1.

og så tilbage til +1 og så -1.

Den kan være alle værdierne i mellem.

Sinus til theta er altid
mindre end eller lig 1

og altid større end eller lig -1.

Værdimængden af sinus til theta
er alle tal mellem -1 og +1

og både -1 og +1 er inkluderet,

så vi skal lave klammer, der vender indad.