1.3. Basic optimization principles

Comenzamos nuestro estudio de los principios básicos de la optimización, al observar

una forma muy general del problema de la optimización, que se proporciona mediante lo siguiente. Maximizando

sobre una variable X y una función objetivo t de x. Para ofrecer cierta motivación, piensen en

el problema como si fuera el que tenía la empresa que quería maximizar la ganancia bruta,

representada por t de x. En una función de una acción, que puede asumir x. Siendo el "x" cualquier

número. Un poco de terminología. En un problema general de optimización, la variable

que podemos controlar se llama variable de control. Y se observa la variable

que elegimos --- y la función con la que estamos tratando de maximizar, en este caso T de X

se llama función objetivo. Usando esta terminología, la meta del problema de optimización

consiste en seleccionar el nivel de variable de control que

genera el valor máximo de la función objetivo. Para proporcionar

cierta intuición-- consideren la representación gráfica del problema. Tenemos cierta función

digamos que algo como esto, es la función T de

X, y lo que estamos tratando de hacer es encontrar el eje de X, en este acceso que proporciona,

el nivel máximo de la función. En esta presentación gráfica, esto sería a este nivel.

Afortunadamente, hay una fórmula que se puede uno aprender en cálculo, que nos permita optar por

la función "t". Aplíquense ciertas derivadas, y encontrarán el contenido general de "x" que

maximiza la función. Y la fórmula se presenta pero en lo que se conoce como el primer orden.

O las condiciones necesarias, y segundo orden o condiciones suficientes.

Las condiciones de primer orden dictan que cualquier punto -que es un máximo local- debe satisfacer la

condición en la que su derivada equivale a cero. No obstante, recordarán con base en cálculo

que las condiciones necesarias no son suficientes. Ciertos puntos podrían

satisfacer las condiciones y aún no ser un máximo. Y veremos un ejemplo de esto a continuación.

No obstante, si un punto también satisface lo que llamamos segundo orden o

condiciones suficientes, que en este caso se obtiene por su segunda derivada, siendo menos de cero.

Entonces dicho punto es un máximo local.

Para comenzar y practicar lo que acabamos de aprender, veamos este sencillo ejemplo:

Considerando la función. 10 menos X menos 5 al cuadrado. Esto viene siendo la función de ganancias,

que estamos tratando de maximizar. A fin de encontrar un máximo, será necesario..

aplicar las condiciones de primer orden, por lo que decimos que la derivada de la función objetivo,

en este caso menos 2 por X menos 5 tiene que ser igual a cero.

Y al aplicar un poco de álgebra, esto implica que...

...X al óptimo tiene que ser igual a cinco. Ahora, sabemos que estas condiciciones son necesarias,

pero no suficientes, así que pensemos en las condiciones de segundo orden. Usemos las

suficientes. Eso requiere que obtengamos una segunda derivada de la función, de la

derivada de esto, que en este caso significa que la segunda derivada de esta función,

da menos dos, que es menor que cero, lo cual supone que se han podido satisfacer

las condiciones del segundo orden, y que el óptimo local único, o máximo local,

por lo tanto el máximo global es "x" igual a 5. Permítanme proporcionarles tres tipos de

intuiciones distintas por las que las condiciones del primer y segundo orden resultan de tal manera.

Empecemos con la intuición gráfica de condiciones del primer orden.

Suponiendo que tenemos una función que más o menos se representa así.

Esa es la función objetivo que estamos tratando de maximizar. Recuerden que la condición del primer...

..orden dicta que en cualquier máximo local la derivada en el óptimo, dentro del máximo local

tiene que ser igual a cero. Ahora para demostrar por qué se presenta este caso,

consideremos un punto, por ejemplo X, en el cual la derivada definitivamente no es igual a cero.

En este caso particular es positivo. Resulta fácil ver que el valor

de la función en dicho punto no puede ser un máximo, es decir,

X no se puede maximizar en la función, ya que como el denominador es positivo,

si se mueve levemente hacia la derecha, digamos, un punto como X más Δ X,

se puede incrementar el valor de la función, aproximadamente por el valor de la

pendiente por Δ X. Ahora, también es fácil observar que si se está en un punto tal como...

..X^, en el que, en este caso el valor de la pendiente es negativo.

También se está sin maximizar ya que al moverse aun punto como X^ menos D X

menos Δ X, también se puede incrementar el valor de la función con resultados similares.

Ahora, es muy fácil ver que el único punto en el que no se puede aplicar este truco de mejorar el valor

de la función objetivo al cambiar el valor del X radica en un

punto como x*, en el que la pendiente es cero. Ya que al moverse a nivel local ya sea a la izquierda

o a la derecha, el valor de la función objetivo no cambiaría. Esto proporciona la intución de y.

Las condiciones del primer orden deben satisfacer

esta propiedad a un máximo local. Ahora, consideremos una intuición gráfica para y.

Las otras condiciones tienen quedan de tal manera. Para recordarles, la condición del segundo orden

se da por parte de la derivada secundaria, y el óptimo local

tiene que ser menor a cero. Esto proporciona, en conjunto con las condiciones del primer orden,

...suficientes condiciones para la optimización. Ahora para

ver por qué se presenta el caso, comparemos dos funciones. Esta es de la izquierda,

que no satisface las condiciones del segundo orden en el punto x*.

De hecho, es fácil ver que en este caso la segunda derivada x* es mayor al cero.

La pendiente se torna progresivamente más positiva conforme uno recorre hacia la derecha.

Comparemos esto a una función como la siguiente. Tal como la función anterior y en la que x*,

nuestro candidato para ser el óptimo local, la segunda derivada

satisface la otra condición. Veamos por qué se presenta el caso en el que x* no es el máximo,

sino que constituye un máximo aquí y es la clave. El fundamento de la diferencia yace en la

condición del segundo orden. Ahora bien, si se empieza en x* en la

gráfica de la izquierda, y se mueve levemente hacia la derecha por Δx. Como la pendiente es cero,

no se cambia realmente el valor de la función. Así que eso no nos sería de gran ayuda.

No obstante, y aquí está la intuición clave que se tiene que ver. Como la segunda derivada es

positiva, el valor de la pendiente cambia cuando se recorre de x a x*

más delta x. Y se vuelve positiva, aquí en este nuevo punto. Esto significa que si

se realiza un paso adicional, diagamos por otra delta X, ya que esta pendiente es positiva,

estando en x* , más delta X. La función ahora ha incrementado, lo cual significa que al recorrer

dos delta X hacia la derecha, se puede mejorar el valor de la función, lo cual significa que no puede

ser un óptimo. En contraste, veamos qué pasa si se trata de

realizar lo mismo en x* en la gráfica de la derecha. Tal como antes, las condiciones del primer

orden se han podido satisfacer. Así que la pendiente es cero en x* pero si se trata de recorrer hacia la...

..derecha, porque digamos que por delta X, ya que la segunda derivada ahora es menor

que cero, la pendiente en sí desciende. Se vuelve negativa. Por lo tanto, al tratar de recorrer la X a

mayor distancia, el valor de la función disminuye. Resulta fácil observar, y les

sugiero que se convenzan a ustedes mismos que no importa en este argumento, ya sea que el

movimiento se realice hacia la derecha o la izquierda, en ambos casos proceden de manera análoga.

Esto demuestra la intuición de "y", la condición de segundo orden,

t prima doble de x* menos que cero, proporciona suficientes condiciones para que el punto sea

un máximo local. Veamos por qué se representan así

las condiciones de optimización, desde una perspectiva distinta. En este caso una perspectiva

matemática. Por cierto, estoy empleando distintas intuiciones, ya que para algunos de ustedes

algunas resultarán más naturales que otras. Ahora, recordarán que...

..en Cálculo básico, el valor de la función objetivo, u operación de cualquier función

a un punto x + dx, se puede aproximar muy acertadamente por el valor de

la función en x, más la derivada de la función x por delta x, más

la segunda derivada de la función en x por dx al cuadrado, más varios otros términos de

orden superior, que se aproximan a cero, hacia una leve variación en el valor de x.

Ahora, con esto en mente, el cambio en la función objetivo que se produce en el cambio

a delta X se puede anotar como DT, el cambio en la función, es aproximadamente

igual a la derivada en x por delta x más la segunda derivada en x por

DX al cuadrado. Ahora para que una función se maximice en x, se daría el caso en el que

no podríamos encontrar un cambio pequeño, delta x -ya sea positivo o negativo-

que incremente el valor de la función. Es decir, eso es lo que hace que el cambio en la función

sea positivo. Pero fíjense en que si el punto x satisface las condiciones del primer orden,

las condiciones necesarias, el término es cero ya que la primera derivada es igual a cero.

Cabe añadir que si satisface las condiciones del segundo orden,

este término es negativo. Y por lo tanto, el cambio total de la función tiene que ser

menor de cero. Es decir, cuando las condiciones del primer orden y las condiciones del

segundo orden se satisfacen, no es posible encontrar un cambio pequeño, y local

Dx que incremente el valor de la función. Finalmente, considerando

la intuición económica detrás del problema de maximización. Recuerden

la interpretación de la función objetivo, T de X como cierto beneficio, al efectuar la

acción X, con medida en dólares. Por ejemplo, si fueran una empresa, t de x podría denotar

la ganancia de asumir la acción x. Ahora, bajo esta interpretación del problema,

la derivada de la función x se llama beneficio marginal, que es un concepto que usaremos

constantemente a lo largo del curso, y que abreviaré con el acrónimo MB.

Ahora bien, el beneficio marginal en X es igual a ya sea el incremento en beneficio

que se produce al aumentar X por una unidad o alternativamente disminuyen

en beneficio que se produce al reducir X por una unidad. Ahora una propiedad importante de un

óptimo, consiste en que al estar en el punto óptimo -o máximo- el beneficio marginal tiene que

ser igual a cero. Ahora bien, ¿por qué se dio el caso? Bueno, supongamos que este no fue el caso.

Por ejemplo, supongamos que el beneficio marginal es mayor que cero. Entonces, evidentemente,

las ganancias -o beneficios- no se maximizaron en x*, ya que se podrían aumentar

al incrementar X en una medida pequeña. Así que si quieren aumentar X, se aumentan las

ganancias, o la función de beneficio T. De manera similar, si el beneficio marginal es menor al cero,

tampoco se puede maximizar el beneficio, ya que en este caso al disminuir x,

también se pueden incrementar beneficios. Siguiendo con que en el óptimo,

el beneficio marginal tiene que ser igual a cero. Ahora que el último principio que hemos visto

en intuición económica es tan importante que cabe reiterarlo.

Un actor económico que está desempeñándo una acción óptima elegirá su nivel de

actividad en el punto en el que el beneficio marginal sea igual a cero. El beneficio marginal es

igual a cero, grábense eso en la memoria. Por que de no ser así,

eso no constituiría optimizar. Si el beneficio marginal no fuera igual a cero podría aumentar los

beneficios o ganancias ya sea aumentando su nivel de actividad o

disminuyendo su nivel de actividad.