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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:04.04,0:00:10.82,Default,,0000,0000,0000,,Comenzamos nuestro estudio de los principios básicos de la optimización, al observar
Dialogue: 0,0:00:10.82,0:00:18.15,Default,,0000,0000,0000,,una forma muy general del problema de la optimización, que se proporciona mediante lo siguiente. Maximizando
Dialogue: 0,0:00:18.15,0:00:26.08,Default,,0000,0000,0000,,sobre una variable X y una función objetivo t de x. Para ofrecer cierta motivación, piensen en
Dialogue: 0,0:00:26.08,0:00:33.04,Default,,0000,0000,0000,,el problema como si fuera el que tenía la empresa que quería maximizar la ganancia bruta,
Dialogue: 0,0:00:33.04,0:00:43.56,Default,,0000,0000,0000,,representada por t de x. En una función de una acción, que puede asumir x. Siendo el "x" cualquier
Dialogue: 0,0:00:43.56,0:00:50.52,Default,,0000,0000,0000,,número. Un poco de terminología. En un problema general de optimización, la variable
Dialogue: 0,0:00:50.52,0:00:59.92,Default,,0000,0000,0000,,que podemos controlar se llama variable de control. Y se observa la variable
Dialogue: 0,0:00:59.92,0:01:05.73,Default,,0000,0000,0000,,que elegimos --- y la función con la que estamos tratando de maximizar, en este caso T de X
Dialogue: 0,0:01:05.73,0:01:13.56,Default,,0000,0000,0000,,se llama función objetivo. Usando esta terminología, la meta del problema de optimización
Dialogue: 0,0:01:13.56,0:01:18.72,Default,,0000,0000,0000,,consiste en seleccionar el nivel de variable de control que
Dialogue: 0,0:01:18.72,0:01:25.24,Default,,0000,0000,0000,,genera el valor máximo de la función objetivo. Para proporcionar
Dialogue: 0,0:01:25.24,0:01:31.46,Default,,0000,0000,0000,,cierta intuición-- consideren la representación gráfica del problema. Tenemos cierta función
Dialogue: 0,0:01:33.48,0:01:40.70,Default,,0000,0000,0000,,digamos que algo como esto, es la función T de
Dialogue: 0,0:01:40.70,0:01:47.76,Default,,0000,0000,0000,,X, y lo que estamos tratando de hacer es encontrar el eje de X, en este acceso que proporciona,
Dialogue: 0,0:01:47.76,0:01:54.98,Default,,0000,0000,0000,,el nivel máximo de la función. En esta presentación gráfica, esto sería a este nivel.
Dialogue: 0,0:01:54.98,0:02:05.68,Default,,0000,0000,0000,,Afortunadamente, hay una fórmula que se puede uno aprender en cálculo, que nos permita optar por
Dialogue: 0,0:02:05.68,0:02:11.16,Default,,0000,0000,0000,,la función "t". Aplíquense ciertas derivadas, y encontrarán el contenido general de "x" que
Dialogue: 0,0:02:11.16,0:02:17.64,Default,,0000,0000,0000,,maximiza la función. Y la fórmula se presenta pero en lo que se conoce como el primer orden.
Dialogue: 0,0:02:17.64,0:02:24.52,Default,,0000,0000,0000,,O las condiciones necesarias, y segundo orden o condiciones suficientes.
Dialogue: 0,0:02:24.52,0:02:30.75,Default,,0000,0000,0000,,Las condiciones de primer orden dictan que cualquier punto -que es un máximo local- debe satisfacer la
Dialogue: 0,0:02:30.75,0:02:37.83,Default,,0000,0000,0000,,condición en la que su derivada equivale a cero. No obstante, recordarán con base en cálculo
Dialogue: 0,0:02:37.83,0:02:43.17,Default,,0000,0000,0000,,que las condiciones necesarias no son suficientes. Ciertos puntos podrían
Dialogue: 0,0:02:43.17,0:02:48.44,Default,,0000,0000,0000,,satisfacer las condiciones y aún no ser un máximo. Y veremos un ejemplo de esto a continuación.
Dialogue: 0,0:02:48.44,0:02:54.34,Default,,0000,0000,0000,,No obstante, si un punto también satisface lo que llamamos segundo orden o
Dialogue: 0,0:02:54.34,0:03:00.25,Default,,0000,0000,0000,,condiciones suficientes, que en este caso se obtiene por su segunda derivada, siendo menos de cero.
Dialogue: 0,0:03:00.25,0:03:06.87,Default,,0000,0000,0000,,Entonces dicho punto es un máximo local.
Dialogue: 0,0:03:06.88,0:03:13.02,Default,,0000,0000,0000,,Para comenzar y practicar lo que acabamos de aprender, veamos este sencillo ejemplo:
Dialogue: 0,0:03:13.02,0:03:20.60,Default,,0000,0000,0000,,Considerando la función. 10 menos X menos 5 al cuadrado. Esto viene siendo la función de ganancias,
Dialogue: 0,0:03:20.60,0:03:26.91,Default,,0000,0000,0000,,que estamos tratando de maximizar. A fin de encontrar un máximo, será necesario..
Dialogue: 0,0:03:26.91,0:03:33.31,Default,,0000,0000,0000,,aplicar las condiciones de primer orden, por lo que decimos que la derivada de la función objetivo,
Dialogue: 0,0:03:33.31,0:03:41.82,Default,,0000,0000,0000,,en este caso menos 2 por X menos 5 tiene que ser igual a cero.
Dialogue: 0,0:03:41.82,0:03:50.35,Default,,0000,0000,0000,,Y al aplicar un poco de álgebra, esto implica que...
Dialogue: 0,0:03:50.35,0:03:58.98,Default,,0000,0000,0000,,...X al óptimo tiene que ser igual a cinco. Ahora, sabemos que estas condiciciones son necesarias,
Dialogue: 0,0:03:58.98,0:04:03.36,Default,,0000,0000,0000,,pero no suficientes, así que pensemos en las condiciones de segundo orden. Usemos las
Dialogue: 0,0:04:03.36,0:04:08.28,Default,,0000,0000,0000,,suficientes. Eso requiere que obtengamos una segunda derivada de la función, de la
Dialogue: 0,0:04:08.28,0:04:13.59,Default,,0000,0000,0000,,derivada de esto, que en este caso significa que la segunda derivada de esta función,
Dialogue: 0,0:04:13.59,0:04:19.18,Default,,0000,0000,0000,,da menos dos, que es menor que cero, lo cual supone que se han podido satisfacer
Dialogue: 0,0:04:19.18,0:04:25.44,Default,,0000,0000,0000,,las condiciones del segundo orden, y que el óptimo local único, o máximo local,
Dialogue: 0,0:04:25.44,0:04:31.64,Default,,0000,0000,0000,,por lo tanto el máximo global es "x" igual a 5. Permítanme proporcionarles tres tipos de
Dialogue: 0,0:04:31.64,0:04:37.06,Default,,0000,0000,0000,,intuiciones distintas por las que las condiciones del primer y segundo orden resultan de tal manera.
Dialogue: 0,0:04:37.06,0:04:41.98,Default,,0000,0000,0000,,Empecemos con la intuición gráfica de condiciones del primer orden.
Dialogue: 0,0:04:41.98,0:04:46.58,Default,,0000,0000,0000,,Suponiendo que tenemos una función que más o menos se representa así.
Dialogue: 0,0:04:46.58,0:04:55.35,Default,,0000,0000,0000,,Esa es la función objetivo que estamos tratando de maximizar. Recuerden que la condición del primer...
Dialogue: 0,0:04:55.35,0:05:01.72,Default,,0000,0000,0000,,..orden dicta que en cualquier máximo local la derivada en el óptimo, dentro del máximo local
Dialogue: 0,0:05:01.72,0:05:08.00,Default,,0000,0000,0000,,tiene que ser igual a cero. Ahora para demostrar por qué se presenta este caso,
Dialogue: 0,0:05:08.00,0:05:14.22,Default,,0000,0000,0000,,consideremos un punto, por ejemplo X, en el cual la derivada definitivamente no es igual a cero.
Dialogue: 0,0:05:14.22,0:05:19.66,Default,,0000,0000,0000,,En este caso particular es positivo. Resulta fácil ver que el valor
Dialogue: 0,0:05:19.66,0:05:25.23,Default,,0000,0000,0000,,de la función en dicho punto no puede ser un máximo, es decir,
Dialogue: 0,0:05:25.23,0:05:30.81,Default,,0000,0000,0000,,X no se puede maximizar en la función, ya que como el denominador es positivo,
Dialogue: 0,0:05:30.81,0:05:36.32,Default,,0000,0000,0000,,si se mueve levemente hacia la derecha, digamos, un punto como X más Δ X,
Dialogue: 0,0:05:36.32,0:05:41.41,Default,,0000,0000,0000,,se puede incrementar el valor de la función, aproximadamente por el valor de la
Dialogue: 0,0:05:41.41,0:05:47.46,Default,,0000,0000,0000,,pendiente por Δ X. Ahora, también es fácil observar que si se está en un punto tal como...
Dialogue: 0,0:05:47.46,0:05:53.74,Default,,0000,0000,0000,,..X^, en el que, en este caso el valor de la pendiente es negativo.
Dialogue: 0,0:05:53.74,0:06:00.19,Default,,0000,0000,0000,,También se está sin maximizar ya que al moverse aun punto como X^ menos D X
Dialogue: 0,0:06:00.19,0:06:06.31,Default,,0000,0000,0000,,menos Δ X, también se puede incrementar el valor de la función con resultados similares.
Dialogue: 0,0:06:06.31,0:06:11.100,Default,,0000,0000,0000,,Ahora, es muy fácil ver que el único punto en el que no se puede aplicar este truco de mejorar el valor
Dialogue: 0,0:06:11.100,0:06:17.72,Default,,0000,0000,0000,,de la función objetivo al cambiar el valor del X radica en un
Dialogue: 0,0:06:17.72,0:06:23.43,Default,,0000,0000,0000,,punto como x*, en el que la pendiente es cero. Ya que al moverse a nivel local ya sea a la izquierda
Dialogue: 0,0:06:23.43,0:06:29.08,Default,,0000,0000,0000,,o a la derecha, el valor de la función objetivo no cambiaría. Esto proporciona la intución de y.
Dialogue: 0,0:06:29.08,0:06:34.86,Default,,0000,0000,0000,,Las condiciones del primer orden deben satisfacer
Dialogue: 0,0:06:34.86,0:06:41.58,Default,,0000,0000,0000,,esta propiedad a un máximo local. Ahora, consideremos una intuición gráfica para y.
Dialogue: 0,0:06:41.58,0:06:46.77,Default,,0000,0000,0000,,Las otras condiciones tienen quedan de tal manera. Para recordarles, la condición del segundo orden
Dialogue: 0,0:06:46.77,0:06:52.75,Default,,0000,0000,0000,,se da por parte de la derivada secundaria, y el óptimo local
Dialogue: 0,0:06:52.75,0:06:58.29,Default,,0000,0000,0000,,tiene que ser menor a cero. Esto proporciona, en conjunto con las condiciones del primer orden,
Dialogue: 0,0:06:58.29,0:07:03.84,Default,,0000,0000,0000,,...suficientes condiciones para la optimización. Ahora para
Dialogue: 0,0:07:03.84,0:07:10.11,Default,,0000,0000,0000,,ver por qué se presenta el caso, comparemos dos funciones. Esta es de la izquierda,
Dialogue: 0,0:07:10.11,0:07:16.69,Default,,0000,0000,0000,,que no satisface las condiciones del segundo orden en el punto x*.
Dialogue: 0,0:07:16.69,0:07:23.44,Default,,0000,0000,0000,,De hecho, es fácil ver que en este caso la segunda derivada x* es mayor al cero.
Dialogue: 0,0:07:23.44,0:07:30.35,Default,,0000,0000,0000,,La pendiente se torna progresivamente más positiva conforme uno recorre hacia la derecha.
Dialogue: 0,0:07:30.35,0:07:37.76,Default,,0000,0000,0000,,Comparemos esto a una función como la siguiente. Tal como la función anterior y en la que x*,
Dialogue: 0,0:07:37.76,0:07:44.63,Default,,0000,0000,0000,,nuestro candidato para ser el óptimo local, la segunda derivada
Dialogue: 0,0:07:44.63,0:07:52.30,Default,,0000,0000,0000,,satisface la otra condición. Veamos por qué se presenta el caso en el que x* no es el máximo,
Dialogue: 0,0:07:52.30,0:07:58.82,Default,,0000,0000,0000,,sino que constituye un máximo aquí y es la clave. El fundamento de la diferencia yace en la
Dialogue: 0,0:07:58.82,0:08:04.34,Default,,0000,0000,0000,,condición del segundo orden. Ahora bien, si se empieza en x* en la
Dialogue: 0,0:08:04.34,0:08:08.86,Default,,0000,0000,0000,,gráfica de la izquierda, y se mueve levemente hacia la derecha por Δx. Como la pendiente es cero,
Dialogue: 0,0:08:08.86,0:08:13.89,Default,,0000,0000,0000,,no se cambia realmente el valor de la función. Así que eso no nos sería de gran ayuda.
Dialogue: 0,0:08:13.89,0:08:18.78,Default,,0000,0000,0000,,No obstante, y aquí está la intuición clave que se tiene que ver. Como la segunda derivada es
Dialogue: 0,0:08:18.78,0:08:24.12,Default,,0000,0000,0000,,positiva, el valor de la pendiente cambia cuando se recorre de x a x*
Dialogue: 0,0:08:24.43,0:08:29.93,Default,,0000,0000,0000,,más delta x. Y se vuelve positiva, aquí en este nuevo punto. Esto significa que si
Dialogue: 0,0:08:29.93,0:08:35.11,Default,,0000,0000,0000,,se realiza un paso adicional, diagamos por otra delta X, ya que esta pendiente es positiva,
Dialogue: 0,0:08:35.11,0:08:41.21,Default,,0000,0000,0000,,estando en x* , más delta X. La función ahora ha incrementado, lo cual significa que al recorrer
Dialogue: 0,0:08:41.21,0:08:46.89,Default,,0000,0000,0000,,dos delta X hacia la derecha, se puede mejorar el valor de la función, lo cual significa que no puede
Dialogue: 0,0:08:46.89,0:08:52.50,Default,,0000,0000,0000,,ser un óptimo. En contraste, veamos qué pasa si se trata de
Dialogue: 0,0:08:52.50,0:08:58.49,Default,,0000,0000,0000,,realizar lo mismo en x* en la gráfica de la derecha. Tal como antes, las condiciones del primer
Dialogue: 0,0:08:58.49,0:09:04.83,Default,,0000,0000,0000,,orden se han podido satisfacer. Así que la pendiente es cero en x* pero si se trata de recorrer hacia la...
Dialogue: 0,0:09:04.83,0:09:10.32,Default,,0000,0000,0000,,..derecha, porque digamos que por delta X, ya que la segunda derivada ahora es menor
Dialogue: 0,0:09:10.32,0:09:15.95,Default,,0000,0000,0000,,que cero, la pendiente en sí desciende. Se vuelve negativa. Por lo tanto, al tratar de recorrer la X a
Dialogue: 0,0:09:15.95,0:09:23.00,Default,,0000,0000,0000,,mayor distancia, el valor de la función disminuye. Resulta fácil observar, y les
Dialogue: 0,0:09:23.00,0:09:29.03,Default,,0000,0000,0000,,sugiero que se convenzan a ustedes mismos que no importa en este argumento, ya sea que el
Dialogue: 0,0:09:29.03,0:09:35.36,Default,,0000,0000,0000,,movimiento se realice hacia la derecha o la izquierda, en ambos casos proceden de manera análoga.
Dialogue: 0,0:09:35.36,0:09:40.50,Default,,0000,0000,0000,,Esto demuestra la intuición de "y", la condición de segundo orden,
Dialogue: 0,0:09:40.50,0:09:46.84,Default,,0000,0000,0000,,t prima doble de x* menos que cero, proporciona suficientes condiciones para que el punto sea
Dialogue: 0,0:09:46.84,0:09:54.20,Default,,0000,0000,0000,,un máximo local. Veamos por qué se representan así
Dialogue: 0,0:09:54.20,0:09:59.74,Default,,0000,0000,0000,,las condiciones de optimización, desde una perspectiva distinta. En este caso una perspectiva
Dialogue: 0,0:09:59.74,0:10:05.80,Default,,0000,0000,0000,,matemática. Por cierto, estoy empleando distintas intuiciones, ya que para algunos de ustedes
Dialogue: 0,0:10:05.80,0:10:11.57,Default,,0000,0000,0000,,algunas resultarán más naturales que otras. Ahora, recordarán que...
Dialogue: 0,0:10:11.57,0:10:17.03,Default,,0000,0000,0000,,..en Cálculo básico, el valor de la función objetivo, u operación de cualquier función
Dialogue: 0,0:10:17.03,0:10:22.80,Default,,0000,0000,0000,,a un punto x + dx, se puede aproximar muy acertadamente por el valor de
Dialogue: 0,0:10:22.80,0:10:29.67,Default,,0000,0000,0000,,la función en x, más la derivada de la función x por delta x, más
Dialogue: 0,0:10:29.67,0:10:37.32,Default,,0000,0000,0000,,la segunda derivada de la función en x por dx al cuadrado, más varios otros términos de
Dialogue: 0,0:10:37.32,0:10:44.52,Default,,0000,0000,0000,,orden superior, que se aproximan a cero, hacia una leve variación en el valor de x.
Dialogue: 0,0:10:44.52,0:10:52.12,Default,,0000,0000,0000,,Ahora, con esto en mente, el cambio en la función objetivo que se produce en el cambio
Dialogue: 0,0:10:52.12,0:10:58.03,Default,,0000,0000,0000,,a delta X se puede anotar como DT, el cambio en la función, es aproximadamente
Dialogue: 0,0:10:58.03,0:11:09.94,Default,,0000,0000,0000,,igual a la derivada en x por delta x más la segunda derivada en x por
Dialogue: 0,0:11:09.94,0:11:17.80,Default,,0000,0000,0000,,DX al cuadrado. Ahora para que una función se maximice en x, se daría el caso en el que
Dialogue: 0,0:11:17.80,0:11:22.74,Default,,0000,0000,0000,,no podríamos encontrar un cambio pequeño, delta x -ya sea positivo o negativo-
Dialogue: 0,0:11:22.74,0:11:28.31,Default,,0000,0000,0000,,que incremente el valor de la función. Es decir, eso es lo que hace que el cambio en la función
Dialogue: 0,0:11:28.31,0:11:33.54,Default,,0000,0000,0000,,sea positivo. Pero fíjense en que si el punto x satisface las condiciones del primer orden,
Dialogue: 0,0:11:33.54,0:11:39.18,Default,,0000,0000,0000,,las condiciones necesarias, el término es cero ya que la primera derivada es igual a cero.
Dialogue: 0,0:11:39.18,0:11:44.27,Default,,0000,0000,0000,,Cabe añadir que si satisface las condiciones del segundo orden,
Dialogue: 0,0:11:44.27,0:11:50.88,Default,,0000,0000,0000,,este término es negativo. Y por lo tanto, el cambio total de la función tiene que ser
Dialogue: 0,0:11:50.88,0:11:55.32,Default,,0000,0000,0000,,menor de cero. Es decir, cuando las condiciones del primer orden y las condiciones del
Dialogue: 0,0:11:55.32,0:11:59.54,Default,,0000,0000,0000,,segundo orden se satisfacen, no es posible encontrar un cambio pequeño, y local
Dialogue: 0,0:11:59.54,0:12:07.54,Default,,0000,0000,0000,,Dx que incremente el valor de la función. Finalmente, considerando
Dialogue: 0,0:12:07.54,0:12:13.30,Default,,0000,0000,0000,,la intuición económica detrás del problema de maximización. Recuerden
Dialogue: 0,0:12:13.30,0:12:20.96,Default,,0000,0000,0000,,la interpretación de la función objetivo, T de X como cierto beneficio, al efectuar la
Dialogue: 0,0:12:20.96,0:12:28.66,Default,,0000,0000,0000,,acción X, con medida en dólares. Por ejemplo, si fueran una empresa, t de x podría denotar
Dialogue: 0,0:12:28.66,0:12:35.89,Default,,0000,0000,0000,,la ganancia de asumir la acción x. Ahora, bajo esta interpretación del problema,
Dialogue: 0,0:12:35.89,0:12:47.43,Default,,0000,0000,0000,,la derivada de la función x se llama beneficio marginal, que es un concepto que usaremos
Dialogue: 0,0:12:47.43,0:12:54.21,Default,,0000,0000,0000,,constantemente a lo largo del curso, y que abreviaré con el acrónimo MB.
Dialogue: 0,0:12:54.21,0:13:00.82,Default,,0000,0000,0000,,Ahora bien, el beneficio marginal en X es igual a ya sea el incremento en beneficio
Dialogue: 0,0:13:00.82,0:13:15.04,Default,,0000,0000,0000,,que se produce al aumentar X por una unidad o alternativamente disminuyen
Dialogue: 0,0:13:15.04,0:13:23.57,Default,,0000,0000,0000,,en beneficio que se produce al reducir X por una unidad. Ahora una propiedad importante de un
Dialogue: 0,0:13:23.57,0:13:30.00,Default,,0000,0000,0000,,óptimo, consiste en que al estar en el punto óptimo -o máximo- el beneficio marginal tiene que
Dialogue: 0,0:13:30.00,0:13:36.19,Default,,0000,0000,0000,,ser igual a cero. Ahora bien, ¿por qué se dio el caso? Bueno, supongamos que este no fue el caso.
Dialogue: 0,0:13:36.19,0:13:41.98,Default,,0000,0000,0000,,Por ejemplo, supongamos que el beneficio marginal es mayor que cero. Entonces, evidentemente,
Dialogue: 0,0:13:41.98,0:13:48.57,Default,,0000,0000,0000,,las ganancias -o beneficios- no se maximizaron en x*, ya que se podrían aumentar
Dialogue: 0,0:13:48.57,0:13:55.66,Default,,0000,0000,0000,,al incrementar X en una medida pequeña. Así que si quieren aumentar X, se aumentan las
Dialogue: 0,0:13:55.66,0:14:05.26,Default,,0000,0000,0000,,ganancias, o la función de beneficio T. De manera similar, si el beneficio marginal es menor al cero,
Dialogue: 0,0:14:05.26,0:14:11.34,Default,,0000,0000,0000,,tampoco se puede maximizar el beneficio, ya que en este caso al disminuir x,
Dialogue: 0,0:14:11.34,0:14:18.49,Default,,0000,0000,0000,,también se pueden incrementar beneficios. Siguiendo con que en el óptimo,
Dialogue: 0,0:14:18.49,0:14:25.39,Default,,0000,0000,0000,,el beneficio marginal tiene que ser igual a cero. Ahora que el último principio que hemos visto
Dialogue: 0,0:14:25.39,0:14:30.10,Default,,0000,0000,0000,,en intuición económica es tan importante que cabe reiterarlo.
Dialogue: 0,0:14:30.10,0:14:34.99,Default,,0000,0000,0000,,Un actor económico que está desempeñándo una acción óptima elegirá su nivel de
Dialogue: 0,0:14:34.99,0:14:39.95,Default,,0000,0000,0000,,actividad en el punto en el que el beneficio marginal sea igual a cero. El beneficio marginal es
Dialogue: 0,0:14:39.95,0:14:44.66,Default,,0000,0000,0000,,igual a cero, grábense eso en la memoria. Por que de no ser así,
Dialogue: 0,0:14:44.66,0:14:49.37,Default,,0000,0000,0000,,eso no constituiría optimizar. Si el beneficio marginal no fuera igual a cero podría aumentar los
Dialogue: 0,0:14:49.37,0:14:53.77,Default,,0000,0000,0000,,beneficios o ganancias ya sea aumentando su nivel de actividad o
Dialogue: 0,0:14:53.77,0:14:55.84,Default,,0000,0000,0000,,disminuyendo su nivel de actividad.