1 00:00:04,040 --> 00:00:10,816 Comenzamos nuestro estudio de los principios básicos de la optimización, al observar 2 00:00:10,816 --> 00:00:18,149 una forma muy general del problema de la optimización, que se proporciona mediante lo siguiente. Maximizando 3 00:00:18,149 --> 00:00:26,085 sobre una variable X y una función objetivo t de x. Para ofrecer cierta motivación, piensen en 4 00:00:26,085 --> 00:00:33,036 el problema como si fuera el que tenía la empresa que quería maximizar la ganancia bruta, 5 00:00:33,036 --> 00:00:43,557 representada por t de x. En una función de una acción, que puede asumir x. Siendo el "x" cualquier 6 00:00:43,557 --> 00:00:50,515 número. Un poco de terminología. En un problema general de optimización, la variable 7 00:00:50,515 --> 00:00:59,918 que podemos controlar se llama variable de control. Y se observa la variable 8 00:00:59,918 --> 00:01:05,727 que elegimos --- y la función con la que estamos tratando de maximizar, en este caso T de X 9 00:01:05,727 --> 00:01:13,558 se llama función objetivo. Usando esta terminología, la meta del problema de optimización 10 00:01:13,558 --> 00:01:18,720 consiste en seleccionar el nivel de variable de control que 11 00:01:18,720 --> 00:01:25,241 genera el valor máximo de la función objetivo. Para proporcionar 12 00:01:25,241 --> 00:01:31,460 cierta intuición-- consideren la representación gráfica del problema. Tenemos cierta función 13 00:01:33,480 --> 00:01:40,705 digamos que algo como esto, es la función T de 14 00:01:40,705 --> 00:01:47,758 X, y lo que estamos tratando de hacer es encontrar el eje de X, en este acceso que proporciona, 15 00:01:47,758 --> 00:01:54,983 el nivel máximo de la función. En esta presentación gráfica, esto sería a este nivel. 16 00:01:54,983 --> 00:02:05,682 Afortunadamente, hay una fórmula que se puede uno aprender en cálculo, que nos permita optar por 17 00:02:05,682 --> 00:02:11,164 la función "t". Aplíquense ciertas derivadas, y encontrarán el contenido general de "x" que 18 00:02:11,164 --> 00:02:17,636 maximiza la función. Y la fórmula se presenta pero en lo que se conoce como el primer orden. 19 00:02:17,636 --> 00:02:24,520 O las condiciones necesarias, y segundo orden o condiciones suficientes. 20 00:02:24,520 --> 00:02:30,747 Las condiciones de primer orden dictan que cualquier punto -que es un máximo local- debe satisfacer la 21 00:02:30,747 --> 00:02:37,828 condición en la que su derivada equivale a cero. No obstante, recordarán con base en cálculo 22 00:02:37,828 --> 00:02:43,167 que las condiciones necesarias no son suficientes. Ciertos puntos podrían 23 00:02:43,167 --> 00:02:48,436 satisfacer las condiciones y aún no ser un máximo. Y veremos un ejemplo de esto a continuación. 24 00:02:48,436 --> 00:02:54,345 No obstante, si un punto también satisface lo que llamamos segundo orden o 25 00:02:54,345 --> 00:03:00,253 condiciones suficientes, que en este caso se obtiene por su segunda derivada, siendo menos de cero. 26 00:03:00,253 --> 00:03:06,873 Entonces dicho punto es un máximo local. 27 00:03:06,880 --> 00:03:13,019 Para comenzar y practicar lo que acabamos de aprender, veamos este sencillo ejemplo: 28 00:03:13,019 --> 00:03:20,595 Considerando la función. 10 menos X menos 5 al cuadrado. Esto viene siendo la función de ganancias, 29 00:03:20,595 --> 00:03:26,912 que estamos tratando de maximizar. A fin de encontrar un máximo, será necesario.. 30 00:03:26,912 --> 00:03:33,310 aplicar las condiciones de primer orden, por lo que decimos que la derivada de la función objetivo, 31 00:03:33,310 --> 00:03:41,817 en este caso menos 2 por X menos 5 tiene que ser igual a cero. 32 00:03:41,817 --> 00:03:50,349 Y al aplicar un poco de álgebra, esto implica que... 33 00:03:50,349 --> 00:03:58,980 ...X al óptimo tiene que ser igual a cinco. Ahora, sabemos que estas condiciciones son necesarias, 34 00:03:58,980 --> 00:04:03,360 pero no suficientes, así que pensemos en las condiciones de segundo orden. Usemos las 35 00:04:03,360 --> 00:04:08,280 suficientes. Eso requiere que obtengamos una segunda derivada de la función, de la 36 00:04:08,280 --> 00:04:13,594 derivada de esto, que en este caso significa que la segunda derivada de esta función, 37 00:04:13,594 --> 00:04:19,180 da menos dos, que es menor que cero, lo cual supone que se han podido satisfacer 38 00:04:19,180 --> 00:04:25,437 las condiciones del segundo orden, y que el óptimo local único, o máximo local, 39 00:04:25,437 --> 00:04:31,643 por lo tanto el máximo global es "x" igual a 5. Permítanme proporcionarles tres tipos de 40 00:04:31,643 --> 00:04:37,064 intuiciones distintas por las que las condiciones del primer y segundo orden resultan de tal manera. 41 00:04:37,064 --> 00:04:41,982 Empecemos con la intuición gráfica de condiciones del primer orden. 42 00:04:41,982 --> 00:04:46,584 Suponiendo que tenemos una función que más o menos se representa así. 43 00:04:46,584 --> 00:04:55,351 Esa es la función objetivo que estamos tratando de maximizar. Recuerden que la condición del primer... 44 00:04:55,351 --> 00:05:01,716 ..orden dicta que en cualquier máximo local la derivada en el óptimo, dentro del máximo local 45 00:05:01,716 --> 00:05:08,002 tiene que ser igual a cero. Ahora para demostrar por qué se presenta este caso, 46 00:05:08,002 --> 00:05:14,217 consideremos un punto, por ejemplo X, en el cual la derivada definitivamente no es igual a cero. 47 00:05:14,217 --> 00:05:19,655 En este caso particular es positivo. Resulta fácil ver que el valor 48 00:05:19,655 --> 00:05:25,232 de la función en dicho punto no puede ser un máximo, es decir, 49 00:05:25,232 --> 00:05:30,810 X no se puede maximizar en la función, ya que como el denominador es positivo, 50 00:05:30,810 --> 00:05:36,317 si se mueve levemente hacia la derecha, digamos, un punto como X más Δ X, 51 00:05:36,317 --> 00:05:41,406 se puede incrementar el valor de la función, aproximadamente por el valor de la 52 00:05:41,406 --> 00:05:47,460 pendiente por Δ X. Ahora, también es fácil observar que si se está en un punto tal como... 53 00:05:47,460 --> 00:05:53,742 ..X^, en el que, en este caso el valor de la pendiente es negativo. 54 00:05:53,742 --> 00:06:00,189 También se está sin maximizar ya que al moverse aun punto como X^ menos D X 55 00:06:00,189 --> 00:06:06,306 menos Δ X, también se puede incrementar el valor de la función con resultados similares. 56 00:06:06,306 --> 00:06:11,999 Ahora, es muy fácil ver que el único punto en el que no se puede aplicar este truco de mejorar el valor 57 00:06:11,999 --> 00:06:17,715 de la función objetivo al cambiar el valor del X radica en un 58 00:06:17,715 --> 00:06:23,431 punto como x*, en el que la pendiente es cero. Ya que al moverse a nivel local ya sea a la izquierda 59 00:06:23,431 --> 00:06:29,077 o a la derecha, el valor de la función objetivo no cambiaría. Esto proporciona la intución de y. 60 00:06:29,077 --> 00:06:34,863 Las condiciones del primer orden deben satisfacer 61 00:06:34,863 --> 00:06:41,580 esta propiedad a un máximo local. Ahora, consideremos una intuición gráfica para y. 62 00:06:41,580 --> 00:06:46,767 Las otras condiciones tienen quedan de tal manera. Para recordarles, la condición del segundo orden 63 00:06:46,767 --> 00:06:52,747 se da por parte de la derivada secundaria, y el óptimo local 64 00:06:52,747 --> 00:06:58,294 tiene que ser menor a cero. Esto proporciona, en conjunto con las condiciones del primer orden, 65 00:06:58,294 --> 00:07:03,841 ...suficientes condiciones para la optimización. Ahora para 66 00:07:03,841 --> 00:07:10,108 ver por qué se presenta el caso, comparemos dos funciones. Esta es de la izquierda, 67 00:07:10,108 --> 00:07:16,692 que no satisface las condiciones del segundo orden en el punto x*. 68 00:07:16,692 --> 00:07:23,435 De hecho, es fácil ver que en este caso la segunda derivada x* es mayor al cero. 69 00:07:23,435 --> 00:07:30,350 La pendiente se torna progresivamente más positiva conforme uno recorre hacia la derecha. 70 00:07:30,350 --> 00:07:37,760 Comparemos esto a una función como la siguiente. Tal como la función anterior y en la que x*, 71 00:07:37,760 --> 00:07:44,634 nuestro candidato para ser el óptimo local, la segunda derivada 72 00:07:44,634 --> 00:07:52,301 satisface la otra condición. Veamos por qué se presenta el caso en el que x* no es el máximo, 73 00:07:52,301 --> 00:07:58,817 sino que constituye un máximo aquí y es la clave. El fundamento de la diferencia yace en la 74 00:07:58,817 --> 00:08:04,342 condición del segundo orden. Ahora bien, si se empieza en x* en la 75 00:08:04,342 --> 00:08:08,863 gráfica de la izquierda, y se mueve levemente hacia la derecha por Δx. Como la pendiente es cero, 76 00:08:08,863 --> 00:08:13,886 no se cambia realmente el valor de la función. Así que eso no nos sería de gran ayuda. 77 00:08:13,886 --> 00:08:18,783 No obstante, y aquí está la intuición clave que se tiene que ver. Como la segunda derivada es 78 00:08:18,783 --> 00:08:24,119 positiva, el valor de la pendiente cambia cuando se recorre de x a x* 79 00:08:24,433 --> 00:08:29,931 más delta x. Y se vuelve positiva, aquí en este nuevo punto. Esto significa que si 80 00:08:29,931 --> 00:08:35,110 se realiza un paso adicional, diagamos por otra delta X, ya que esta pendiente es positiva, 81 00:08:35,110 --> 00:08:41,211 estando en x* , más delta X. La función ahora ha incrementado, lo cual significa que al recorrer 82 00:08:41,211 --> 00:08:46,886 dos delta X hacia la derecha, se puede mejorar el valor de la función, lo cual significa que no puede 83 00:08:46,886 --> 00:08:52,504 ser un óptimo. En contraste, veamos qué pasa si se trata de 84 00:08:52,504 --> 00:08:58,490 realizar lo mismo en x* en la gráfica de la derecha. Tal como antes, las condiciones del primer 85 00:08:58,490 --> 00:09:04,833 orden se han podido satisfacer. Así que la pendiente es cero en x* pero si se trata de recorrer hacia la... 86 00:09:04,833 --> 00:09:10,320 ..derecha, porque digamos que por delta X, ya que la segunda derivada ahora es menor 87 00:09:10,320 --> 00:09:15,946 que cero, la pendiente en sí desciende. Se vuelve negativa. Por lo tanto, al tratar de recorrer la X a 88 00:09:15,946 --> 00:09:23,000 mayor distancia, el valor de la función disminuye. Resulta fácil observar, y les 89 00:09:23,000 --> 00:09:29,034 sugiero que se convenzan a ustedes mismos que no importa en este argumento, ya sea que el 90 00:09:29,034 --> 00:09:35,365 movimiento se realice hacia la derecha o la izquierda, en ambos casos proceden de manera análoga. 91 00:09:35,365 --> 00:09:40,505 Esto demuestra la intuición de "y", la condición de segundo orden, 92 00:09:40,505 --> 00:09:46,836 t prima doble de x* menos que cero, proporciona suficientes condiciones para que el punto sea 93 00:09:46,836 --> 00:09:54,197 un máximo local. Veamos por qué se representan así 94 00:09:54,197 --> 00:09:59,735 las condiciones de optimización, desde una perspectiva distinta. En este caso una perspectiva 95 00:09:59,735 --> 00:10:05,804 matemática. Por cierto, estoy empleando distintas intuiciones, ya que para algunos de ustedes 96 00:10:05,804 --> 00:10:11,570 algunas resultarán más naturales que otras. Ahora, recordarán que... 97 00:10:11,570 --> 00:10:17,032 ..en Cálculo básico, el valor de la función objetivo, u operación de cualquier función 98 00:10:17,032 --> 00:10:22,797 a un punto x + dx, se puede aproximar muy acertadamente por el valor de 99 00:10:22,797 --> 00:10:29,670 la función en x, más la derivada de la función x por delta x, más 100 00:10:29,670 --> 00:10:37,325 la segunda derivada de la función en x por dx al cuadrado, más varios otros términos de 101 00:10:37,325 --> 00:10:44,520 orden superior, que se aproximan a cero, hacia una leve variación en el valor de x. 102 00:10:44,520 --> 00:10:52,117 Ahora, con esto en mente, el cambio en la función objetivo que se produce en el cambio 103 00:10:52,117 --> 00:10:58,033 a delta X se puede anotar como DT, el cambio en la función, es aproximadamente 104 00:10:58,033 --> 00:11:09,937 igual a la derivada en x por delta x más la segunda derivada en x por 105 00:11:09,937 --> 00:11:17,796 DX al cuadrado. Ahora para que una función se maximice en x, se daría el caso en el que 106 00:11:17,796 --> 00:11:22,742 no podríamos encontrar un cambio pequeño, delta x -ya sea positivo o negativo- 107 00:11:22,742 --> 00:11:28,314 que incremente el valor de la función. Es decir, eso es lo que hace que el cambio en la función 108 00:11:28,314 --> 00:11:33,539 sea positivo. Pero fíjense en que si el punto x satisface las condiciones del primer orden, 109 00:11:33,539 --> 00:11:39,182 las condiciones necesarias, el término es cero ya que la primera derivada es igual a cero. 110 00:11:39,182 --> 00:11:44,267 Cabe añadir que si satisface las condiciones del segundo orden, 111 00:11:44,267 --> 00:11:50,881 este término es negativo. Y por lo tanto, el cambio total de la función tiene que ser 112 00:11:50,881 --> 00:11:55,323 menor de cero. Es decir, cuando las condiciones del primer orden y las condiciones del 113 00:11:55,323 --> 00:11:59,541 segundo orden se satisfacen, no es posible encontrar un cambio pequeño, y local 114 00:11:59,541 --> 00:12:07,542 Dx que incremente el valor de la función. Finalmente, considerando 115 00:12:07,542 --> 00:12:13,295 la intuición económica detrás del problema de maximización. Recuerden 116 00:12:13,295 --> 00:12:20,962 la interpretación de la función objetivo, T de X como cierto beneficio, al efectuar la 117 00:12:20,962 --> 00:12:28,665 acción X, con medida en dólares. Por ejemplo, si fueran una empresa, t de x podría denotar 118 00:12:28,665 --> 00:12:35,887 la ganancia de asumir la acción x. Ahora, bajo esta interpretación del problema, 119 00:12:35,887 --> 00:12:47,432 la derivada de la función x se llama beneficio marginal, que es un concepto que usaremos 120 00:12:47,432 --> 00:12:54,208 constantemente a lo largo del curso, y que abreviaré con el acrónimo MB. 121 00:12:54,208 --> 00:13:00,818 Ahora bien, el beneficio marginal en X es igual a ya sea el incremento en beneficio 122 00:13:00,818 --> 00:13:15,045 que se produce al aumentar X por una unidad o alternativamente disminuyen 123 00:13:15,045 --> 00:13:23,572 en beneficio que se produce al reducir X por una unidad. Ahora una propiedad importante de un 124 00:13:23,572 --> 00:13:30,003 óptimo, consiste en que al estar en el punto óptimo -o máximo- el beneficio marginal tiene que 125 00:13:30,003 --> 00:13:36,192 ser igual a cero. Ahora bien, ¿por qué se dio el caso? Bueno, supongamos que este no fue el caso. 126 00:13:36,192 --> 00:13:41,980 Por ejemplo, supongamos que el beneficio marginal es mayor que cero. Entonces, evidentemente, 127 00:13:41,980 --> 00:13:48,571 las ganancias -o beneficios- no se maximizaron en x*, ya que se podrían aumentar 128 00:13:48,571 --> 00:13:55,660 al incrementar X en una medida pequeña. Así que si quieren aumentar X, se aumentan las 129 00:13:55,660 --> 00:14:05,262 ganancias, o la función de beneficio T. De manera similar, si el beneficio marginal es menor al cero, 130 00:14:05,262 --> 00:14:11,345 tampoco se puede maximizar el beneficio, ya que en este caso al disminuir x, 131 00:14:11,345 --> 00:14:18,487 también se pueden incrementar beneficios. Siguiendo con que en el óptimo, 132 00:14:18,487 --> 00:14:25,386 el beneficio marginal tiene que ser igual a cero. Ahora que el último principio que hemos visto 133 00:14:25,386 --> 00:14:30,095 en intuición económica es tan importante que cabe reiterarlo. 134 00:14:30,095 --> 00:14:34,993 Un actor económico que está desempeñándo una acción óptima elegirá su nivel de 135 00:14:34,993 --> 00:14:39,953 actividad en el punto en el que el beneficio marginal sea igual a cero. El beneficio marginal es 136 00:14:39,953 --> 00:14:44,663 igual a cero, grábense eso en la memoria. Por que de no ser así, 137 00:14:44,663 --> 00:14:49,372 eso no constituiría optimizar. Si el beneficio marginal no fuera igual a cero podría aumentar los 138 00:14:49,372 --> 00:14:53,767 beneficios o ganancias ya sea aumentando su nivel de actividad o 139 00:14:53,767 --> 00:14:55,840 disminuyendo su nivel de actividad.