Comenzamos nuestro estudio de los principios básicos de la optimización, al observar
una forma muy general del problema de la optimización, que se proporciona mediante lo siguiente. Maximizando
sobre una variable X y una función objetivo t de x. Para ofrecer cierta motivación, piensen en
el problema como si fuera el que tenía la empresa que quería maximizar la ganancia bruta,
representada por t de x. En una función de una acción, que puede asumir x. Siendo el "x" cualquier
número. Un poco de terminología. En un problema general de optimización, la variable
que podemos controlar se llama variable de control. Y se observa la variable
que elegimos --- y la función con la que estamos tratando de maximizar, en este caso T de X
se llama función objetivo. Usando esta terminología, la meta del problema de optimización
consiste en seleccionar el nivel de variable de control que
genera el valor máximo de la función objetivo. Para proporcionar
cierta intuición-- consideren la representación gráfica del problema. Tenemos cierta función
digamos que algo como esto, es la función T de
X, y lo que estamos tratando de hacer es encontrar el eje de X, en este acceso que proporciona,
el nivel máximo de la función. En esta presentación gráfica, esto sería a este nivel.
Afortunadamente, hay una fórmula que se puede uno aprender en cálculo, que nos permita optar por
la función "t". Aplíquense ciertas derivadas, y encontrarán el contenido general de "x" que
maximiza la función. Y la fórmula se presenta pero en lo que se conoce como el primer orden.
O las condiciones necesarias, y segundo orden o condiciones suficientes.
Las condiciones de primer orden dictan que cualquier punto -que es un máximo local- debe satisfacer la
condición en la que su derivada equivale a cero. No obstante, recordarán con base en cálculo
que las condiciones necesarias no son suficientes. Ciertos puntos podrían
satisfacer las condiciones y aún no ser un máximo. Y veremos un ejemplo de esto a continuación.
No obstante, si un punto también satisface lo que llamamos segundo orden o
condiciones suficientes, que en este caso se obtiene por su segunda derivada, siendo menos de cero.
Entonces dicho punto es un máximo local.
Para comenzar y practicar lo que acabamos de aprender, veamos este sencillo ejemplo:
Considerando la función. 10 menos X menos 5 al cuadrado. Esto viene siendo la función de ganancias,
que estamos tratando de maximizar. A fin de encontrar un máximo, será necesario..
aplicar las condiciones de primer orden, por lo que decimos que la derivada de la función objetivo,
en este caso menos 2 por X menos 5 tiene que ser igual a cero.
Y al aplicar un poco de álgebra, esto implica que...
...X al óptimo tiene que ser igual a cinco. Ahora, sabemos que estas condiciciones son necesarias,
pero no suficientes, así que pensemos en las condiciones de segundo orden. Usemos las
suficientes. Eso requiere que obtengamos una segunda derivada de la función, de la
derivada de esto, que en este caso significa que la segunda derivada de esta función,
da menos dos, que es menor que cero, lo cual supone que se han podido satisfacer
las condiciones del segundo orden, y que el óptimo local único, o máximo local,
por lo tanto el máximo global es "x" igual a 5. Permítanme proporcionarles tres tipos de
intuiciones distintas por las que las condiciones del primer y segundo orden resultan de tal manera.
Empecemos con la intuición gráfica de condiciones del primer orden.
Suponiendo que tenemos una función que más o menos se representa así.
Esa es la función objetivo que estamos tratando de maximizar. Recuerden que la condición del primer...
..orden dicta que en cualquier máximo local la derivada en el óptimo, dentro del máximo local
tiene que ser igual a cero. Ahora para demostrar por qué se presenta este caso,
consideremos un punto, por ejemplo X, en el cual la derivada definitivamente no es igual a cero.
En este caso particular es positivo. Resulta fácil ver que el valor
de la función en dicho punto no puede ser un máximo, es decir,
X no se puede maximizar en la función, ya que como el denominador es positivo,
si se mueve levemente hacia la derecha, digamos, un punto como X más Δ X,
se puede incrementar el valor de la función, aproximadamente por el valor de la
pendiente por Δ X. Ahora, también es fácil observar que si se está en un punto tal como...
..X^, en el que, en este caso el valor de la pendiente es negativo.
También se está sin maximizar ya que al moverse aun punto como X^ menos D X
menos Δ X, también se puede incrementar el valor de la función con resultados similares.
Ahora, es muy fácil ver que el único punto en el que no se puede aplicar este truco de mejorar el valor
de la función objetivo al cambiar el valor del X radica en un
punto como x*, en el que la pendiente es cero. Ya que al moverse a nivel local ya sea a la izquierda
o a la derecha, el valor de la función objetivo no cambiaría. Esto proporciona la intución de y.
Las condiciones del primer orden deben satisfacer
esta propiedad a un máximo local. Ahora, consideremos una intuición gráfica para y.
Las otras condiciones tienen quedan de tal manera. Para recordarles, la condición del segundo orden
se da por parte de la derivada secundaria, y el óptimo local
tiene que ser menor a cero. Esto proporciona, en conjunto con las condiciones del primer orden,
...suficientes condiciones para la optimización. Ahora para
ver por qué se presenta el caso, comparemos dos funciones. Esta es de la izquierda,
que no satisface las condiciones del segundo orden en el punto x*.
De hecho, es fácil ver que en este caso la segunda derivada x* es mayor al cero.
La pendiente se torna progresivamente más positiva conforme uno recorre hacia la derecha.
Comparemos esto a una función como la siguiente. Tal como la función anterior y en la que x*,
nuestro candidato para ser el óptimo local, la segunda derivada
satisface la otra condición. Veamos por qué se presenta el caso en el que x* no es el máximo,
sino que constituye un máximo aquí y es la clave. El fundamento de la diferencia yace en la
condición del segundo orden. Ahora bien, si se empieza en x* en la
gráfica de la izquierda, y se mueve levemente hacia la derecha por Δx. Como la pendiente es cero,
no se cambia realmente el valor de la función. Así que eso no nos sería de gran ayuda.
No obstante, y aquí está la intuición clave que se tiene que ver. Como la segunda derivada es
positiva, el valor de la pendiente cambia cuando se recorre de x a x*
más delta x. Y se vuelve positiva, aquí en este nuevo punto. Esto significa que si
se realiza un paso adicional, diagamos por otra delta X, ya que esta pendiente es positiva,
estando en x* , más delta X. La función ahora ha incrementado, lo cual significa que al recorrer
dos delta X hacia la derecha, se puede mejorar el valor de la función, lo cual significa que no puede
ser un óptimo. En contraste, veamos qué pasa si se trata de
realizar lo mismo en x* en la gráfica de la derecha. Tal como antes, las condiciones del primer
orden se han podido satisfacer. Así que la pendiente es cero en x* pero si se trata de recorrer hacia la...
..derecha, porque digamos que por delta X, ya que la segunda derivada ahora es menor
que cero, la pendiente en sí desciende. Se vuelve negativa. Por lo tanto, al tratar de recorrer la X a
mayor distancia, el valor de la función disminuye. Resulta fácil observar, y les
sugiero que se convenzan a ustedes mismos que no importa en este argumento, ya sea que el
movimiento se realice hacia la derecha o la izquierda, en ambos casos proceden de manera análoga.
Esto demuestra la intuición de "y", la condición de segundo orden,
t prima doble de x* menos que cero, proporciona suficientes condiciones para que el punto sea
un máximo local. Veamos por qué se representan así
las condiciones de optimización, desde una perspectiva distinta. En este caso una perspectiva
matemática. Por cierto, estoy empleando distintas intuiciones, ya que para algunos de ustedes
algunas resultarán más naturales que otras. Ahora, recordarán que...
..en Cálculo básico, el valor de la función objetivo, u operación de cualquier función
a un punto x + dx, se puede aproximar muy acertadamente por el valor de
la función en x, más la derivada de la función x por delta x, más
la segunda derivada de la función en x por dx al cuadrado, más varios otros términos de
orden superior, que se aproximan a cero, hacia una leve variación en el valor de x.
Ahora, con esto en mente, el cambio en la función objetivo que se produce en el cambio
a delta X se puede anotar como DT, el cambio en la función, es aproximadamente
igual a la derivada en x por delta x más la segunda derivada en x por
DX al cuadrado. Ahora para que una función se maximice en x, se daría el caso en el que
no podríamos encontrar un cambio pequeño, delta x -ya sea positivo o negativo-
que incremente el valor de la función. Es decir, eso es lo que hace que el cambio en la función
sea positivo. Pero fíjense en que si el punto x satisface las condiciones del primer orden,
las condiciones necesarias, el término es cero ya que la primera derivada es igual a cero.
Cabe añadir que si satisface las condiciones del segundo orden,
este término es negativo. Y por lo tanto, el cambio total de la función tiene que ser
menor de cero. Es decir, cuando las condiciones del primer orden y las condiciones del
segundo orden se satisfacen, no es posible encontrar un cambio pequeño, y local
Dx que incremente el valor de la función. Finalmente, considerando
la intuición económica detrás del problema de maximización. Recuerden
la interpretación de la función objetivo, T de X como cierto beneficio, al efectuar la
acción X, con medida en dólares. Por ejemplo, si fueran una empresa, t de x podría denotar
la ganancia de asumir la acción x. Ahora, bajo esta interpretación del problema,
la derivada de la función x se llama beneficio marginal, que es un concepto que usaremos
constantemente a lo largo del curso, y que abreviaré con el acrónimo MB.
Ahora bien, el beneficio marginal en X es igual a ya sea el incremento en beneficio
que se produce al aumentar X por una unidad o alternativamente disminuyen
en beneficio que se produce al reducir X por una unidad. Ahora una propiedad importante de un
óptimo, consiste en que al estar en el punto óptimo -o máximo- el beneficio marginal tiene que
ser igual a cero. Ahora bien, ¿por qué se dio el caso? Bueno, supongamos que este no fue el caso.
Por ejemplo, supongamos que el beneficio marginal es mayor que cero. Entonces, evidentemente,
las ganancias -o beneficios- no se maximizaron en x*, ya que se podrían aumentar
al incrementar X en una medida pequeña. Así que si quieren aumentar X, se aumentan las
ganancias, o la función de beneficio T. De manera similar, si el beneficio marginal es menor al cero,
tampoco se puede maximizar el beneficio, ya que en este caso al disminuir x,
también se pueden incrementar beneficios. Siguiendo con que en el óptimo,
el beneficio marginal tiene que ser igual a cero. Ahora que el último principio que hemos visto
en intuición económica es tan importante que cabe reiterarlo.
Un actor económico que está desempeñándo una acción óptima elegirá su nivel de
actividad en el punto en el que el beneficio marginal sea igual a cero. El beneficio marginal es
igual a cero, grábense eso en la memoria. Por que de no ser así,
eso no constituiría optimizar. Si el beneficio marginal no fuera igual a cero podría aumentar los
beneficios o ganancias ya sea aumentando su nivel de actividad o
disminuyendo su nivel de actividad.