Nulruimte 2: De nulruimte van een matrix berekenen

De nulruimte van een matrix berekenen

.

In de vorige video sprak ik wat theoretisch over

wat een Nulruimte is en we hebben laten zien

dat het een geldige deelruimte is.

Maar laten we in deze video eens echt

de nulruimte van een matrix berekenen.

In dit geval, gaan we de de nulruimte van de een matrix A berekenen.

Dus, de nulruimte is letterlijk niets meer dan de verzameling van

alle vectors, zodanidg dat als ik A met een van die vectors vermenigvuldig,

dus laat ik zeggen dat de vector x1, x2, x3, x4 een element is

van onze nuluimte.

Dus als ik deze matrix vermenigvuldig met deze vector, dan zou ik

de Nul vector moeten krijgen.

Ik zou de vector moeten krijgen

En gewoon om een paar punten te maken, deze

heeft precies 4 kolommen

Dit is een 3 bij 4 matrix, dus ik heb alleen een legitieme definitie gemaakt van

vermenigvuldiging van deze maal een vector met 4 componenten of een

element van R^n.

Laat me deze X noemen

En dit is onze vector X.

Deze is een element van R4.

Het heeft 4 componenten.

En als je deze vermenigvuldigt, moeten we

een Nul vector krijgen.

De Nuruimte is de set van alle vectors en als ik het

vermenigvuldig met A, krijg ik de Nul vector.

En wat ga ik krijgen?

Ik ga een rij krijgen maal dit en dat gaat

het eerste element zijn. Dan deze rij maal, dat wordt

de tweede component. En dan de derde rij.

Dus dan zou ik drie nullen moeten hebben. Dus mijn nul vector zal de

nul vector in R^3 zijn.

Dus, hoe komen we achter de verzameling van al deze x-en die

hier aan voldoen.

Laat me onze formele notatie opschrijven.

De nulruimte van A is de verzameling van alle vectors die

element zijn van -- in het algemeen zeggen we R^n, maar dit is een 3 bij 4

matrix, dus dit zijn alle vectoren die een

lid zijn van R^4, want ik gebruik deze specifieke A, zo

dat mijn matrix A maal welke dan ook van deze vectors gelijk

is aan de Nul vector.

In dit geval zal het een Nul vector zijn in R^3.

Nu, hoe pakken we dit aan?

Nou, dit is gewoonweg een lineaire vergelijking

We kunnen het op die manier noteren.

Als we daadwerkelijk de matrix vermeningvuldiging uitvoren,

krijgen we 1 maal x1.

Laat ik het hier opschrijven.

Laat ik het in een andere kleur doen.

1 keer x1, plus 1 keer x2, plus 1 x x3, plus 1 keer

x4 is gelijk aan deze 0 hierzo.

Dus dat maal dat is gelijk aan 0.

En dan dit maal dit zou gelijk moeten zijn aan die nul.

Dus 1 maal x1, dus je krijgt x1, plus 2 maal x2, plus 3 maal

x3, plus 4 maal x 4 zal gelijk zijn aan die 0.

En dan uiteindelijk hebben we dat maal deze vector, dit zou gelijk

moeten zijn aan die nul.

Dus het inproduct van deze rij vector met deze kolom vector

zou gelijk moeten zijn aan die 0.

Dus je krijgt 4x1.

4x1 plus 3x2 plus 2x1 plus 2x3 plus x4 is gelijk aan 0.

4x1 plus 3x2 plus 2x3 plus x4 is gelijk aan 0.

Je hoeft alleen de uitkomsten verzameling te vinden hiervan en we

hebben zo'n beetje onze nulruimte.

Nu, we hebben de uitkomsten verzameling gevonden van stelsels

van vergelijkingen als deze.

We hebben drie vergelijkingen met 4 onbekenden.

We kunnen dat doen.

We kunnen dit weergeven met een uitgebreide matrix en dat dan

rij gereduceerde trapvorm zetten.

Laten we dat doen.

Ik kan dit probleem weergeven als de uitgebreide matrix

.

1,1,4

1,2,3

1,3,2

en dan 1,4,1.

En dan breid ik dat uit met de Nul vector

En het zou je gelijk moeten opvallen dat we de

moeite hebben genomen om dit maal dat de vermenigvuldingen is gelijk aan dan en we dit als een

stelsel van vergelijkingen hebben geschreven, maar nu willen we

het stelsel oplossen, dus we vallen terug op de wereld

van uitgebreide matrices.

Hoe ziet deze uitgebreide matrix er uit?

Nou, dit is gewoon onze matrix A hier.

Dat is gewoon matrix A daar, dat is is gewoon de

Nul vector daarzo.

En om dit op te lossen, en dit hebben we al eerder gedaan, gaan we

gewoon deze uitgebreide matrix in rij trapvorm zetten.

En wat je zult vinden is dat wanneer je het in

rij trapvorm zet, dan gaat deze kant helemaal niet veranderen

want waar je het ook mee vermenigvuldigt of vanaf trekt,

je doet het allemaal maal 0, dus je komt telkens

weer uit op 0.

Dus terwijl we dit in rij gereduceerde trapvorm zetten, zetten

we eigenlijk matrix A gewoon in gereduceerde trapvorm.

Dus laat ik dat doen, in plaats van er alleen maar over praten.

Laat ik beginen door rij 1 hetzelfde te houden.

Rij 1 is, 1, 1, 1, 1, 0.

En dan wil ik deze 1 hier wegwerken, dus laat ik

rij 2 vervangen door rij 2 min rij 1.

Dus 1 min 1 is 0.

2 min 1 is 1.

3 min 1 is 2.

4 min 1 is 3

0 min 0 is 0.

Je kunt zien dat de nullen niet gaan veranderen.

En laat me deze jongen vervangen door 4 keer deze jongen,

min deze jongen.

Dus ik kan alleen maar van deze af komen.

Dus 4 keer 1 min 4 is 0.

4 keer 1 min 3 is 1.

4 keer 1 min 2 is 2.

4 keer 1 min 1 is 3.

4 keer 0 min 0 is 0.

Nu wil ik van deze, als ik dit in rij gereduceerde trapvorm

wil zetten, wil ik van deze term en

deze term af.

Dus laat ik de middelste rij gelijk houden.

Mijn middelste rij is 0, 1, 2, 3

.

Dus dat is 0 aan de uitgebreide kant, alhoewel deze nullen

nooit gaan veranderen, is het eigenlijk gewoon een beetje

oefening om ze telkens weer op te schrijven.

En mijn eerste rij, laat ik die vervangen door de eerste

min de tweede rij, zodat ik van deze 1 af ben.

Dus 1 min 0 is 1.

1 min 1 is 0.

1 min 2 is min 1.

1 min 3 is min 2.

en 0 min 0 is 0

En laat ik deze laatste rij vervangen door de laatste rij min

de middelste rij.

Dus 0 min 0 is 0.

1 min 1 is 0.

2 min 2 is 0.

Ik denk dat je ziet waar dit heen gaat

3 min 3 is 0.

En natuurlijk is 0 min 0 0.

Dus dit vergelijkingenstelsel is gereduceerd, door gewoon

de rij gereduceerde trapvorm te gebruiken, bij deze opgave.

Als ik dit hier herschrijf, dit kan herschreven worden als

een stelsel van vergelijkingen van x1 min x3 min x4, mee eens?

De 0 x2's is gelijk aan 0.

En dan deze tweede rij hier, er is geen x1, je hebt

alleen een x2, plus 2x3, plus 3x2 is gelijk aan 0 en dit

geeft me duidelijk helemaal geen informatie.

En dus kan ik dit oplossen.

Ik kan dit oplossen voor x1 en x2 en wat krijg ik?

Ik krijg x1 is gelijk aan x3 plus x4.

Eigenlijk, heb ik een fout hier gemaakt.

Dit is x1 min x3 min 2 keer x4 is gelijk aan 0.

Dus als ik dit herschrijf, krijg ik x1 is gelijk aan x3 plus 2 x4.

.

En ik krijg x2.

Laat me dat in het groen doen.

x2 is gelijk aan min 2 x3 min 3 x2.

.

Dus als ik de verzameling oplossingen van deze vergelijkingen,

als vergelijking hiervan zou willen schrijven, zou ik kunnen noteren

x1, x2, x3, x4 is gelijk aan -- waar is x1 gelijk aan?

Het is gelijk aan x3 keer 1 plus x4 keer 2.

Nietwaar?

Dat haal ik uit deze vergelijking hier.

x1 is gelijk aan 1 maal x3, plus 2 keer x4.

Dat is gewoon dat, daarzo.

Nu, x2 is gelijk aan x3 keer min 2, plus

x4 keer min 3.

Wat ben ik aan het doen?

Ik verlies dingen uit het oog.

Deze x2 hier is x2 plus 2 x3 plus 3 x4 is gelijk aan 0.

Dus x2 is gelijk aan min 2 x3, min 3 x4.

Dus,

Zo,

Sorry, mijn hoofd zit niet volledig in de opgave, ik

maak van die stomme foutjes.

Maar ik denk dat je dit nu begrijpt.

Dus waar is x3 gelijk aan?

Nou het is gewoon gelijk aan 1 maal x3.

plus 0 keer x4, toch?

x3 is gelijk aan x3.

En waar is x4 gelijk aan?

Het is gelijk aan 0 keer x3 plus 1 keer x4.

Dus alle vectors in R4, deze zijn lid van R4, wat

voldoet aan de vergelijking, onze originele vergelijking, Ax=0,

kunnen gepresenteerd worden als een lineaire combinatie

van deze twee vectoren, toch?

Dit zijn slecht willekeurige scalairs die lid zijn van -- we kunnen

elk reëel getal kiezen voor x3 en we kunnen elke reëel

getal kiezen voor x4.

Dus onze verzameling uitkomsten is gewoon een lineaire combinatie van

die twee vectoren.

Wat is een andere manier om te zeggen

een lineaire combinatie van twee vectoren?

Laat ik dit opschrijven.

De nulruimte van A, wat niets meer dan de verzameling oplossing is

van deze vergelijing, het is gewoon alle x-en die voldoen aan

deze vergelijking, het is gelijk aan alle lineaire combinaiets van deze

vector en die vector.

Hoe noemen we alle lineaire combinaties van twee vectoren?

Het is het opspansel van die twee vectoren.

Dus het is gelijk aan het opspansel van die vector en die vector.

Van de vector 1, min 2, 1, - en de vector

2, min 3, 0, 1.

En dit is onze nulruimte.

Voor ik je laat gaan, laat me je wijzen op één interessant

puntje hier.

We gaven ons stelsel van vergelijkingen op deze manier weer en we

plaatsten het in rij gereduceerde trapvorm dus dit is

A en dit is 0.

Dit hier, laat ik even zorgen dat ik wat ruimte heb,

laat ik het hier zetten.

Dat daar is de rij gereduceerde trapvorm van A.

En deze vergelijking in weze, dit is een lineaire

vergelijking die deze opgave probeert op te lossen.

De rij gereduceerde trapvorm van A maal onze vector x

is gelijk aan 0.

Dus, alle oplossingen hiervoor zijn ook oplossingen voor onze oorgspronkelijke opgave

onze oorgspronkelijke Ax=0.

Dus wat is de oplossing hiervan?

Alle x-en die hieraan voldoen, vormen de nulruimte van

de rij gereduceerde trapvorm van A.

Nietwaar?

Dus hier, alle x-en, dit is de nulruimte, deze opgave

al er alle x-en hier vinden, dit is de nulruimte

van de rij gereduceerde trapvorm van onze matrix A,

Maar als we zeggen dat deze opgave hetzelfde is als deze hier,

nietwaar?

Dus we mogen schrijven dat de nulruimte van A gelijk is aan

de nulruimte van de rij gereduceerde trapvorm van A.

En dat kan een beetje verwarrend lijken, 'hey waarom schrijf

je dat nu uit?' maar het is eigenlijk erg nuttig

als je nulruimtes probeert te berekenen.

Dus we hoefden niet eens een grote

uitgebreide matrix op te schrijven hier.

We kunnen, bijvoorbeeld onze matrix A hier nemen, in rij gereduceerde trapvorm

zetten en dan de nulruimte ervan berekenen.

We zouden direct naar dit punt hier zijn gegaan.

Dit is de rij gereduceerde trapvorm van A en dan

kon ik direct deze vergelijkingen opgelost hebben, toch?

Ik zou gewoon het inproduct van de rij gereduceerde

trapvorm, of niet het inproduct, het product van de matrix vector

van de rij gereduceerde trapvorm van A met deze

vector en dan zou ik deze vergelijkingen hebben gekregen en dan

zouden deze vergelijkingen gelijk, ik kan ze gewoon

zo herschrijven, en ik zou onze

uitkomst hebben gekregen.

Maar hoe dan ook, hopelijk vond je dat enigzins nuttig.