1
00:00:00,000 --> 00:00:00,330
.

2
00:00:00,330 --> 00:00:02,890
In de vorige video sprak ik wat theoretisch over

3
00:00:02,890 --> 00:00:04,690
wat een Nulruimte is en we hebben laten zien

4
00:00:04,690 --> 00:00:06,700
dat het een geldige deelruimte is.

5
00:00:06,700 --> 00:00:08,960
Maar laten we in deze video eens echt

6
00:00:08,960 --> 00:00:10,380
de nulruimte van een matrix berekenen.

7
00:00:10,380 --> 00:00:14,220
In dit geval, gaan we de de nulruimte van de een matrix A berekenen.

8
00:00:14,220 --> 00:00:17,420
Dus, de nulruimte is letterlijk niets meer dan de verzameling van

9
00:00:17,420 --> 00:00:21,230
alle vectors, zodanidg dat als ik A met een van die vectors vermenigvuldig,

10
00:00:21,230 --> 00:00:29,560
dus laat ik zeggen dat de vector x1, x2, x3, x4 een element is

11
00:00:29,560 --> 00:00:30,850
van onze nuluimte.

12
00:00:30,850 --> 00:00:33,410
Dus als ik deze matrix vermenigvuldig met deze vector, dan zou ik

13
00:00:33,410 --> 00:00:34,920
de Nul vector moeten krijgen.

14
00:00:34,920 --> 00:00:37,430
Ik zou de vector moeten krijgen

15
00:00:37,430 --> 00:00:39,450
En gewoon om een paar punten te maken, deze

16
00:00:39,450 --> 00:00:40,850
heeft precies 4 kolommen

17
00:00:40,850 --> 00:00:47,120
Dit is een 3 bij 4 matrix, dus ik heb alleen een legitieme definitie gemaakt van

18
00:00:47,120 --> 00:00:51,310
vermenigvuldiging van deze maal een vector met 4 componenten of een

19
00:00:51,310 --> 00:00:53,050
element van R^n.

20
00:00:53,050 --> 00:00:54,970
Laat me deze X noemen

21
00:00:54,970 --> 00:00:56,440
En dit is onze vector X.

22
00:00:56,440 --> 00:00:59,700
Deze is een element van R4.

23
00:00:59,700 --> 00:01:01,260
Het heeft 4 componenten.

24
00:01:01,260 --> 00:01:03,040
En als je deze vermenigvuldigt, moeten we

25
00:01:03,040 --> 00:01:04,480
een Nul vector krijgen.

26
00:01:04,480 --> 00:01:07,090
De Nuruimte is de set van alle vectors en als ik het

27
00:01:07,090 --> 00:01:09,350
vermenigvuldig met A, krijg ik de Nul vector.

28
00:01:09,350 --> 00:01:10,060
En wat ga ik krijgen?

29
00:01:10,060 --> 00:01:12,570
Ik ga een rij krijgen maal dit en dat gaat

30
00:01:12,570 --> 00:01:14,830
het eerste element zijn. Dan deze rij maal, dat wordt

31
00:01:14,830 --> 00:01:15,780
de tweede component. En dan de derde rij.

32
00:01:15,780 --> 00:01:21,580
Dus dan zou ik drie nullen moeten hebben. Dus mijn nul vector zal de

33
00:01:21,580 --> 00:01:24,070
nul vector in R^3 zijn.

34
00:01:24,070 --> 00:01:27,730
Dus, hoe komen we achter de verzameling van al deze x-en die

35
00:01:27,730 --> 00:01:28,580
hier aan voldoen.

36
00:01:28,580 --> 00:01:31,370
Laat me onze formele notatie opschrijven.

37
00:01:31,370 --> 00:01:38,260
De nulruimte van A is de verzameling van alle vectors die

38
00:01:38,260 --> 00:01:41,340
element zijn van -- in het algemeen zeggen we R^n, maar dit is een 3 bij 4

39
00:01:41,340 --> 00:01:43,720
matrix, dus dit zijn alle vectoren die een

40
00:01:43,720 --> 00:01:48,730
lid zijn van R^4, want ik gebruik deze specifieke A, zo

41
00:01:48,730 --> 00:01:52,910
dat mijn matrix A maal welke dan ook van deze vectors gelijk

42
00:01:52,910 --> 00:01:54,530
is aan de Nul vector.

43
00:01:54,530 --> 00:01:59,400
In dit geval zal het een Nul vector zijn in R^3.

44
00:01:59,400 --> 00:02:00,420
Nu, hoe pakken we dit aan?

45
00:02:00,420 --> 00:02:02,680
Nou, dit is gewoonweg een lineaire vergelijking

46
00:02:02,680 --> 00:02:04,100
We kunnen het op die manier noteren.

47
00:02:04,100 --> 00:02:06,860
Als we daadwerkelijk de matrix vermeningvuldiging uitvoren,

48
00:02:06,860 --> 00:02:07,830
krijgen we 1 maal x1.

49
00:02:07,830 --> 00:02:09,010
Laat ik het hier opschrijven.

50
00:02:09,010 --> 00:02:10,800
Laat ik het in een andere kleur doen.

51
00:02:10,800 --> 00:02:19,920
1 keer x1, plus 1 keer x2, plus 1 x x3, plus 1 keer

52
00:02:19,920 --> 00:02:26,460
x4 is gelijk aan deze 0 hierzo.

53
00:02:26,460 --> 00:02:29,580
Dus dat maal dat is gelijk aan 0.

54
00:02:29,580 --> 00:02:32,500
En dan dit maal dit zou gelijk moeten zijn aan die nul.

55
00:02:32,500 --> 00:02:41,430
Dus 1 maal x1, dus je krijgt x1, plus 2 maal x2, plus 3 maal

56
00:02:41,430 --> 00:02:47,710
x3, plus 4 maal x 4 zal gelijk zijn aan die 0.

57
00:02:47,710 --> 00:02:51,510
En dan uiteindelijk hebben we dat maal deze vector, dit zou gelijk

58
00:02:51,510 --> 00:02:52,990
moeten zijn aan die nul.

59
00:02:52,990 --> 00:02:58,770
Dus het inproduct van deze rij vector met deze kolom vector

60
00:02:58,770 --> 00:03:00,220
zou gelijk moeten zijn aan die 0.

61
00:03:00,220 --> 00:03:02,690
Dus je krijgt 4x1.

62
00:03:02,690 --> 00:03:21,690
4x1 plus 3x2 plus 2x1 plus 2x3 plus x4 is gelijk aan 0.

63
00:03:21,690 --> 00:03:26,570
4x1 plus 3x2 plus 2x3 plus x4 is gelijk aan 0.

64
00:03:26,570 --> 00:03:29,230
Je hoeft alleen de uitkomsten verzameling te vinden hiervan en we

65
00:03:29,230 --> 00:03:33,220
hebben zo'n beetje onze nulruimte.

66
00:03:33,220 --> 00:03:35,920
Nu, we hebben de uitkomsten verzameling gevonden van stelsels

67
00:03:35,920 --> 00:03:36,770
van vergelijkingen als deze.

68
00:03:36,770 --> 00:03:41,090
We hebben drie vergelijkingen met 4 onbekenden.

69
00:03:41,090 --> 00:03:41,650
We kunnen dat doen.

70
00:03:41,650 --> 00:03:44,610
We kunnen dit weergeven met een uitgebreide matrix en dat dan

71
00:03:44,610 --> 00:03:46,370
rij gereduceerde trapvorm zetten.

72
00:03:46,370 --> 00:03:48,080
Laten we dat doen.

73
00:03:48,080 --> 00:03:50,865
Ik kan dit probleem weergeven als de uitgebreide matrix

74
00:03:50,865 --> 00:03:54,750
.

75
00:03:54,750 --> 00:03:57,260
1,1,4

76
00:03:57,260 --> 00:04:00,070
1,2,3

77
00:04:00,070 --> 00:04:03,550
1,3,2

78
00:04:03,550 --> 00:04:07,110
en dan 1,4,1.

79
00:04:07,110 --> 00:04:10,495
En dan breid ik dat uit met de Nul vector

80
00:04:10,495 --> 00:04:12,720
En het zou je gelijk moeten opvallen dat we de

81
00:04:12,720 --> 00:04:16,610
moeite hebben genomen om dit maal dat de vermenigvuldingen is gelijk aan dan en we dit als een

82
00:04:16,610 --> 00:04:19,600
stelsel van vergelijkingen hebben geschreven, maar nu willen we

83
00:04:19,600 --> 00:04:21,980
het stelsel oplossen, dus we vallen terug op de wereld

84
00:04:21,980 --> 00:04:23,050
van uitgebreide matrices.

85
00:04:23,050 --> 00:04:25,290
Hoe ziet deze uitgebreide matrix er uit?

86
00:04:25,290 --> 00:04:29,010
Nou, dit is gewoon onze matrix A hier.

87
00:04:29,010 --> 00:04:31,570
Dat is gewoon matrix A daar, dat is is gewoon de

88
00:04:31,570 --> 00:04:32,880
Nul vector daarzo.

89
00:04:32,880 --> 00:04:34,980
En om dit op te lossen, en dit hebben we al eerder gedaan, gaan we

90
00:04:34,980 --> 00:04:38,640
gewoon deze uitgebreide matrix in rij trapvorm zetten.

91
00:04:38,640 --> 00:04:40,450
En wat je zult vinden is dat wanneer je het in

92
00:04:40,450 --> 00:04:43,230
rij trapvorm zet, dan gaat deze kant helemaal niet veranderen

93
00:04:43,230 --> 00:04:45,680
want waar je het ook mee vermenigvuldigt of vanaf trekt,

94
00:04:45,680 --> 00:04:47,930
je doet het allemaal maal 0, dus je komt telkens

95
00:04:47,930 --> 00:04:48,870
weer uit op 0.

96
00:04:48,870 --> 00:04:51,880
Dus terwijl we dit in rij gereduceerde trapvorm zetten, zetten

97
00:04:51,880 --> 00:04:55,760
we eigenlijk matrix A gewoon in gereduceerde trapvorm.

98
00:04:55,760 --> 00:04:59,110
Dus laat ik dat doen, in plaats van er alleen maar over praten.

99
00:04:59,110 --> 00:05:04,620
Laat ik beginen door rij 1 hetzelfde te houden.

100
00:05:04,620 --> 00:05:10,570
Rij 1 is, 1, 1, 1, 1, 0.

101
00:05:10,570 --> 00:05:14,630
En dan wil ik deze 1 hier wegwerken, dus laat ik

102
00:05:14,630 --> 00:05:18,820
rij 2 vervangen door rij 2 min rij 1.

103
00:05:18,820 --> 00:05:20,980
Dus 1 min 1 is 0.

104
00:05:20,980 --> 00:05:23,050
2 min 1 is 1.

105
00:05:23,050 --> 00:05:25,170
3 min 1 is 2.

106
00:05:25,170 --> 00:05:27,400
4 min 1 is 3

107
00:05:27,400 --> 00:05:28,970
0 min 0 is 0.

108
00:05:28,970 --> 00:05:31,490
Je kunt zien dat de nullen niet gaan veranderen.

109
00:05:31,490 --> 00:05:36,740
En laat me deze jongen vervangen door 4 keer deze jongen,

110
00:05:36,740 --> 00:05:38,480
min deze jongen.

111
00:05:38,480 --> 00:05:39,940
Dus ik kan alleen maar van deze af komen.

112
00:05:39,940 --> 00:05:43,610
Dus 4 keer 1 min 4 is 0.

113
00:05:43,610 --> 00:05:46,950
4 keer 1 min 3 is 1.

114
00:05:46,950 --> 00:05:49,920
4 keer 1 min 2 is 2.

115
00:05:49,920 --> 00:05:52,840
4 keer 1 min 1 is 3.

116
00:05:52,840 --> 00:05:56,750
4 keer 0 min 0 is 0.

117
00:05:56,750 --> 00:05:59,490
Nu wil ik van deze, als ik dit in rij gereduceerde trapvorm

118
00:05:59,490 --> 00:06:03,170
wil zetten, wil ik van deze term en

119
00:06:03,170 --> 00:06:05,660
deze term af.

120
00:06:05,660 --> 00:06:08,920
Dus laat ik de middelste rij gelijk houden.

121
00:06:08,920 --> 00:06:13,135
Mijn middelste rij is 0, 1, 2, 3

122
00:06:13,135 --> 00:06:16,380
.

123
00:06:16,380 --> 00:06:19,330
Dus dat is 0 aan de uitgebreide kant, alhoewel deze nullen

124
00:06:19,330 --> 00:06:21,470
nooit gaan veranderen, is het eigenlijk gewoon een beetje

125
00:06:21,470 --> 00:06:23,780
oefening om ze telkens weer op te schrijven.

126
00:06:23,780 --> 00:06:26,140
En mijn eerste rij, laat ik die vervangen door de eerste

127
00:06:26,140 --> 00:06:28,360
min de tweede rij, zodat ik van deze 1 af ben.

128
00:06:28,360 --> 00:06:30,720
Dus 1 min 0 is 1.

129
00:06:30,720 --> 00:06:33,410
1 min 1 is 0.

130
00:06:33,410 --> 00:06:36,140
1 min 2 is min 1.

131
00:06:36,140 --> 00:06:38,340
1 min 3 is min 2.

132
00:06:38,340 --> 00:06:41,390
en 0 min 0 is 0

133
00:06:41,390 --> 00:06:45,670
En laat ik deze laatste rij vervangen door de laatste rij min

134
00:06:45,670 --> 00:06:46,610
de middelste rij.

135
00:06:46,610 --> 00:06:48,890
Dus 0 min 0 is 0.

136
00:06:48,890 --> 00:06:51,440
1 min 1 is 0.

137
00:06:51,440 --> 00:06:52,570
2 min 2 is 0.

138
00:06:52,570 --> 00:06:53,770
Ik denk dat je ziet waar dit heen gaat

139
00:06:53,770 --> 00:06:55,510
3 min 3 is 0.

140
00:06:55,510 --> 00:06:58,790
En natuurlijk is 0 min 0 0.

141
00:06:58,790 --> 00:07:04,510
Dus dit vergelijkingenstelsel is gereduceerd, door gewoon

142
00:07:04,510 --> 00:07:07,560
de rij gereduceerde trapvorm te gebruiken, bij deze opgave.

143
00:07:07,560 --> 00:07:12,030
Als ik dit hier herschrijf, dit kan herschreven worden als

144
00:07:12,030 --> 00:07:21,870
een stelsel van vergelijkingen van x1 min x3 min x4, mee eens?

145
00:07:21,870 --> 00:07:25,110
De 0 x2's is gelijk aan 0.

146
00:07:25,110 --> 00:07:28,830
En dan deze tweede rij hier, er is geen x1, je hebt

147
00:07:28,830 --> 00:07:37,870
alleen een x2, plus 2x3, plus 3x2 is gelijk aan 0 en dit

148
00:07:37,870 --> 00:07:41,420
geeft me duidelijk helemaal geen informatie.

149
00:07:41,420 --> 00:07:43,510
En dus kan ik dit oplossen.

150
00:07:43,510 --> 00:07:46,160
Ik kan dit oplossen voor x1 en x2 en wat krijg ik?

151
00:07:46,160 --> 00:07:52,960
Ik krijg x1 is gelijk aan x3 plus x4.

152
00:07:52,960 --> 00:07:54,170
Eigenlijk, heb ik een fout hier gemaakt.

153
00:07:54,170 --> 00:08:01,000
Dit is x1 min x3 min 2 keer x4 is gelijk aan 0.

154
00:08:01,000 --> 00:08:05,000
Dus als ik dit herschrijf, krijg ik x1 is gelijk aan x3 plus 2 x4.

155
00:08:05,000 --> 00:08:07,720
.

156
00:08:07,720 --> 00:08:11,290
En ik krijg x2.

157
00:08:11,290 --> 00:08:13,280
Laat me dat in het groen doen.

158
00:08:13,280 --> 00:08:20,875
x2 is gelijk aan min 2 x3 min 3 x2.

159
00:08:20,875 --> 00:08:24,090
.

160
00:08:24,090 --> 00:08:28,270
Dus als ik de verzameling oplossingen van deze vergelijkingen,

161
00:08:28,270 --> 00:08:32,640
als vergelijking hiervan zou willen schrijven, zou ik kunnen noteren

162
00:08:32,640 --> 00:08:40,260
x1, x2, x3, x4 is gelijk aan -- waar is x1 gelijk aan?

163
00:08:40,260 --> 00:08:54,400
Het is gelijk aan x3 keer 1 plus x4 keer 2.

164
00:08:54,400 --> 00:08:54,720
Nietwaar?

165
00:08:54,720 --> 00:08:57,500
Dat haal ik uit deze vergelijking hier.

166
00:08:57,500 --> 00:09:01,600
x1 is gelijk aan 1 maal x3, plus 2 keer x4.

167
00:09:01,600 --> 00:09:03,320
Dat is gewoon dat, daarzo.

168
00:09:03,320 --> 00:09:10,145
Nu, x2 is gelijk aan x3 keer min 2, plus

169
00:09:10,145 --> 00:09:13,330
x4 keer min 3.

170
00:09:13,330 --> 00:09:14,410
Wat ben ik aan het doen?

171
00:09:14,410 --> 00:09:16,050
Ik verlies dingen uit het oog.

172
00:09:16,050 --> 00:09:22,800
Deze x2 hier is x2 plus 2 x3 plus 3 x4 is gelijk aan 0.

173
00:09:22,800 --> 00:09:27,620
Dus x2 is gelijk aan min 2 x3, min 3 x4.

174
00:09:27,620 --> 00:09:28,060
Dus,

175
00:09:28,060 --> 00:09:28,280
Zo,

176
00:09:28,280 --> 00:09:31,900
Sorry, mijn hoofd zit niet volledig in de opgave, ik

177
00:09:31,900 --> 00:09:33,730
maak van die stomme foutjes.

178
00:09:33,730 --> 00:09:35,270
Maar ik denk dat je dit nu begrijpt.

179
00:09:35,270 --> 00:09:36,990
Dus waar is x3 gelijk aan?

180
00:09:36,990 --> 00:09:40,840
Nou het is gewoon gelijk aan 1 maal x3.

181
00:09:40,840 --> 00:09:42,580
plus 0 keer x4, toch?

182
00:09:42,580 --> 00:09:43,800
x3 is gelijk aan x3.

183
00:09:43,800 --> 00:09:44,770
En waar is x4 gelijk aan?

184
00:09:44,770 --> 00:09:48,420
Het is gelijk aan 0 keer x3 plus 1 keer x4.

185
00:09:48,420 --> 00:09:53,220
Dus alle vectors in R4, deze zijn lid van R4, wat

186
00:09:53,220 --> 00:09:56,840
voldoet aan de vergelijking, onze originele vergelijking, Ax=0,

187
00:09:56,840 --> 00:10:01,210
kunnen gepresenteerd worden als een lineaire combinatie

188
00:10:01,210 --> 00:10:03,980
van deze twee vectoren, toch?

189
00:10:03,980 --> 00:10:07,020
Dit zijn slecht willekeurige scalairs die lid zijn van -- we kunnen

190
00:10:07,020 --> 00:10:10,210
elk reëel getal kiezen voor x3 en we kunnen elke reëel

191
00:10:10,210 --> 00:10:12,810
getal kiezen voor x4.

192
00:10:12,810 --> 00:10:16,140
Dus onze verzameling uitkomsten is gewoon een lineaire combinatie van

193
00:10:16,140 --> 00:10:17,200
die twee vectoren.

194
00:10:17,200 --> 00:10:19,060
Wat is een andere manier om te zeggen

195
00:10:19,060 --> 00:10:21,130
een lineaire combinatie van twee vectoren?

196
00:10:21,130 --> 00:10:22,470
Laat ik dit opschrijven.

197
00:10:22,470 --> 00:10:27,530
De nulruimte van A, wat niets meer dan de verzameling oplossing is

198
00:10:27,530 --> 00:10:30,600
van deze vergelijing, het is gewoon alle x-en die voldoen aan

199
00:10:30,600 --> 00:10:34,090
deze vergelijking, het is gelijk aan alle lineaire combinaiets van deze

200
00:10:34,090 --> 00:10:35,530
vector en die vector.

201
00:10:35,530 --> 00:10:38,780
Hoe noemen we alle lineaire combinaties van twee vectoren?

202
00:10:38,780 --> 00:10:41,330
Het is het opspansel van die twee vectoren.

203
00:10:41,330 --> 00:10:45,000
Dus het is gelijk aan het opspansel van die vector en die vector.

204
00:10:45,000 --> 00:10:52,290
Van de vector 1, min 2, 1, - en de vector

205
00:10:52,290 --> 00:10:57,840
2, min 3, 0, 1.

206
00:10:57,840 --> 00:11:00,490
En dit is onze nulruimte.

207
00:11:00,490 --> 00:11:03,050
Voor ik je laat gaan, laat me je wijzen op één interessant

208
00:11:03,050 --> 00:11:04,640
puntje hier.

209
00:11:04,640 --> 00:11:08,950
We gaven ons stelsel van vergelijkingen op deze manier weer en we

210
00:11:08,950 --> 00:11:11,130
plaatsten het in rij gereduceerde trapvorm dus dit is

211
00:11:11,130 --> 00:11:12,700
A en dit is 0.

212
00:11:12,700 --> 00:11:16,840
Dit hier, laat ik even zorgen dat ik wat ruimte heb,

213
00:11:16,840 --> 00:11:17,600
laat ik het hier zetten.

214
00:11:17,600 --> 00:11:22,970
Dat daar is de rij gereduceerde trapvorm van A.

215
00:11:22,970 --> 00:11:26,180
En deze vergelijking in weze, dit is een lineaire

216
00:11:26,180 --> 00:11:29,170
vergelijking die deze opgave probeert op te lossen.

217
00:11:29,170 --> 00:11:35,050
De rij gereduceerde trapvorm van A maal onze vector x

218
00:11:35,050 --> 00:11:36,530
is gelijk aan 0.

219
00:11:36,530 --> 00:11:40,580
Dus, alle oplossingen hiervoor zijn ook oplossingen voor onze oorgspronkelijke opgave

220
00:11:40,580 --> 00:11:44,290
onze oorgspronkelijke Ax=0.

221
00:11:44,290 --> 00:11:46,530
Dus wat is de oplossing hiervan?

222
00:11:46,530 --> 00:11:49,320
Alle x-en die hieraan voldoen, vormen de nulruimte van

223
00:11:49,320 --> 00:11:52,470
de rij gereduceerde trapvorm van A.

224
00:11:52,470 --> 00:11:53,110
Nietwaar?

225
00:11:53,110 --> 00:11:57,570
Dus hier, alle x-en, dit is de nulruimte, deze opgave

226
00:11:57,570 --> 00:12:02,180
al er alle x-en hier vinden, dit is de nulruimte

227
00:12:02,180 --> 00:12:06,315
van de rij gereduceerde trapvorm van onze matrix A,

228
00:12:06,315 --> 00:12:10,030
Maar als we zeggen dat deze opgave hetzelfde is als deze hier,

229
00:12:10,030 --> 00:12:11,790
nietwaar?

230
00:12:11,790 --> 00:12:17,800
Dus we mogen schrijven dat de nulruimte van A gelijk is aan

231
00:12:17,800 --> 00:12:22,350
de nulruimte van de rij gereduceerde trapvorm van A.

232
00:12:22,350 --> 00:12:25,000
En dat kan een beetje verwarrend lijken, 'hey waarom schrijf

233
00:12:25,000 --> 00:12:27,430
je dat nu uit?' maar het is eigenlijk erg nuttig

234
00:12:27,430 --> 00:12:29,860
als je nulruimtes probeert te berekenen.

235
00:12:29,860 --> 00:12:31,240
Dus we hoefden niet eens een grote

236
00:12:31,240 --> 00:12:32,180
uitgebreide matrix op te schrijven hier.

237
00:12:32,180 --> 00:12:35,750
We kunnen, bijvoorbeeld onze matrix A hier nemen, in rij gereduceerde trapvorm

238
00:12:35,750 --> 00:12:37,780
zetten en dan de nulruimte ervan berekenen.

239
00:12:37,780 --> 00:12:40,060
We zouden direct naar dit punt hier zijn gegaan.

240
00:12:40,060 --> 00:12:43,170
Dit is de rij gereduceerde trapvorm van A en dan

241
00:12:43,170 --> 00:12:46,950
kon ik direct deze vergelijkingen opgelost hebben, toch?

242
00:12:46,950 --> 00:12:49,040
Ik zou gewoon het inproduct van de rij gereduceerde

243
00:12:49,040 --> 00:12:51,840
trapvorm, of niet het inproduct, het product van de matrix vector

244
00:12:51,840 --> 00:12:55,350
van de rij gereduceerde trapvorm van A met deze

245
00:12:55,350 --> 00:12:57,800
vector en dan zou ik deze vergelijkingen hebben gekregen en dan

246
00:12:57,800 --> 00:13:00,150
zouden deze vergelijkingen gelijk, ik kan ze gewoon

247
00:13:00,150 --> 00:13:02,060
zo herschrijven, en ik zou onze

248
00:13:02,060 --> 00:13:03,890
uitkomst hebben gekregen.

249
00:13:03,890 --> 00:13:07,180
Maar hoe dan ook, hopelijk vond je dat enigzins nuttig.