.
In de vorige video sprak ik wat theoretisch over
wat een Nulruimte is en we hebben laten zien
dat het een geldige deelruimte is.
Maar laten we in deze video eens echt
de nulruimte van een matrix berekenen.
In dit geval, gaan we de de nulruimte van de een matrix A berekenen.
Dus, de nulruimte is letterlijk niets meer dan de verzameling van
alle vectors, zodanidg dat als ik A met een van die vectors vermenigvuldig,
dus laat ik zeggen dat de vector x1, x2, x3, x4 een element is
van onze nuluimte.
Dus als ik deze matrix vermenigvuldig met deze vector, dan zou ik
de Nul vector moeten krijgen.
Ik zou de vector moeten krijgen
En gewoon om een paar punten te maken, deze
heeft precies 4 kolommen
Dit is een 3 bij 4 matrix, dus ik heb alleen een legitieme definitie gemaakt van
vermenigvuldiging van deze maal een vector met 4 componenten of een
element van R^n.
Laat me deze X noemen
En dit is onze vector X.
Deze is een element van R4.
Het heeft 4 componenten.
En als je deze vermenigvuldigt, moeten we
een Nul vector krijgen.
De Nuruimte is de set van alle vectors en als ik het
vermenigvuldig met A, krijg ik de Nul vector.
En wat ga ik krijgen?
Ik ga een rij krijgen maal dit en dat gaat
het eerste element zijn. Dan deze rij maal, dat wordt
de tweede component. En dan de derde rij.
Dus dan zou ik drie nullen moeten hebben. Dus mijn nul vector zal de
nul vector in R^3 zijn.
Dus, hoe komen we achter de verzameling van al deze x-en die
hier aan voldoen.
Laat me onze formele notatie opschrijven.
De nulruimte van A is de verzameling van alle vectors die
element zijn van -- in het algemeen zeggen we R^n, maar dit is een 3 bij 4
matrix, dus dit zijn alle vectoren die een
lid zijn van R^4, want ik gebruik deze specifieke A, zo
dat mijn matrix A maal welke dan ook van deze vectors gelijk
is aan de Nul vector.
In dit geval zal het een Nul vector zijn in R^3.
Nu, hoe pakken we dit aan?
Nou, dit is gewoonweg een lineaire vergelijking
We kunnen het op die manier noteren.
Als we daadwerkelijk de matrix vermeningvuldiging uitvoren,
krijgen we 1 maal x1.
Laat ik het hier opschrijven.
Laat ik het in een andere kleur doen.
1 keer x1, plus 1 keer x2, plus 1 x x3, plus 1 keer
x4 is gelijk aan deze 0 hierzo.
Dus dat maal dat is gelijk aan 0.
En dan dit maal dit zou gelijk moeten zijn aan die nul.
Dus 1 maal x1, dus je krijgt x1, plus 2 maal x2, plus 3 maal
x3, plus 4 maal x 4 zal gelijk zijn aan die 0.
En dan uiteindelijk hebben we dat maal deze vector, dit zou gelijk
moeten zijn aan die nul.
Dus het inproduct van deze rij vector met deze kolom vector
zou gelijk moeten zijn aan die 0.
Dus je krijgt 4x1.
4x1 plus 3x2 plus 2x1 plus 2x3 plus x4 is gelijk aan 0.
4x1 plus 3x2 plus 2x3 plus x4 is gelijk aan 0.
Je hoeft alleen de uitkomsten verzameling te vinden hiervan en we
hebben zo'n beetje onze nulruimte.
Nu, we hebben de uitkomsten verzameling gevonden van stelsels
van vergelijkingen als deze.
We hebben drie vergelijkingen met 4 onbekenden.
We kunnen dat doen.
We kunnen dit weergeven met een uitgebreide matrix en dat dan
rij gereduceerde trapvorm zetten.
Laten we dat doen.
Ik kan dit probleem weergeven als de uitgebreide matrix
.
1,1,4
1,2,3
1,3,2
en dan 1,4,1.
En dan breid ik dat uit met de Nul vector
En het zou je gelijk moeten opvallen dat we de
moeite hebben genomen om dit maal dat de vermenigvuldingen is gelijk aan dan en we dit als een
stelsel van vergelijkingen hebben geschreven, maar nu willen we
het stelsel oplossen, dus we vallen terug op de wereld
van uitgebreide matrices.
Hoe ziet deze uitgebreide matrix er uit?
Nou, dit is gewoon onze matrix A hier.
Dat is gewoon matrix A daar, dat is is gewoon de
Nul vector daarzo.
En om dit op te lossen, en dit hebben we al eerder gedaan, gaan we
gewoon deze uitgebreide matrix in rij trapvorm zetten.
En wat je zult vinden is dat wanneer je het in
rij trapvorm zet, dan gaat deze kant helemaal niet veranderen
want waar je het ook mee vermenigvuldigt of vanaf trekt,
je doet het allemaal maal 0, dus je komt telkens
weer uit op 0.
Dus terwijl we dit in rij gereduceerde trapvorm zetten, zetten
we eigenlijk matrix A gewoon in gereduceerde trapvorm.
Dus laat ik dat doen, in plaats van er alleen maar over praten.
Laat ik beginen door rij 1 hetzelfde te houden.
Rij 1 is, 1, 1, 1, 1, 0.
En dan wil ik deze 1 hier wegwerken, dus laat ik
rij 2 vervangen door rij 2 min rij 1.
Dus 1 min 1 is 0.
2 min 1 is 1.
3 min 1 is 2.
4 min 1 is 3
0 min 0 is 0.
Je kunt zien dat de nullen niet gaan veranderen.
En laat me deze jongen vervangen door 4 keer deze jongen,
min deze jongen.
Dus ik kan alleen maar van deze af komen.
Dus 4 keer 1 min 4 is 0.
4 keer 1 min 3 is 1.
4 keer 1 min 2 is 2.
4 keer 1 min 1 is 3.
4 keer 0 min 0 is 0.
Nu wil ik van deze, als ik dit in rij gereduceerde trapvorm
wil zetten, wil ik van deze term en
deze term af.
Dus laat ik de middelste rij gelijk houden.
Mijn middelste rij is 0, 1, 2, 3
.
Dus dat is 0 aan de uitgebreide kant, alhoewel deze nullen
nooit gaan veranderen, is het eigenlijk gewoon een beetje
oefening om ze telkens weer op te schrijven.
En mijn eerste rij, laat ik die vervangen door de eerste
min de tweede rij, zodat ik van deze 1 af ben.
Dus 1 min 0 is 1.
1 min 1 is 0.
1 min 2 is min 1.
1 min 3 is min 2.
en 0 min 0 is 0
En laat ik deze laatste rij vervangen door de laatste rij min
de middelste rij.
Dus 0 min 0 is 0.
1 min 1 is 0.
2 min 2 is 0.
Ik denk dat je ziet waar dit heen gaat
3 min 3 is 0.
En natuurlijk is 0 min 0 0.
Dus dit vergelijkingenstelsel is gereduceerd, door gewoon
de rij gereduceerde trapvorm te gebruiken, bij deze opgave.
Als ik dit hier herschrijf, dit kan herschreven worden als
een stelsel van vergelijkingen van x1 min x3 min x4, mee eens?
De 0 x2's is gelijk aan 0.
En dan deze tweede rij hier, er is geen x1, je hebt
alleen een x2, plus 2x3, plus 3x2 is gelijk aan 0 en dit
geeft me duidelijk helemaal geen informatie.
En dus kan ik dit oplossen.
Ik kan dit oplossen voor x1 en x2 en wat krijg ik?
Ik krijg x1 is gelijk aan x3 plus x4.
Eigenlijk, heb ik een fout hier gemaakt.
Dit is x1 min x3 min 2 keer x4 is gelijk aan 0.
Dus als ik dit herschrijf, krijg ik x1 is gelijk aan x3 plus 2 x4.
.
En ik krijg x2.
Laat me dat in het groen doen.
x2 is gelijk aan min 2 x3 min 3 x2.
.
Dus als ik de verzameling oplossingen van deze vergelijkingen,
als vergelijking hiervan zou willen schrijven, zou ik kunnen noteren
x1, x2, x3, x4 is gelijk aan -- waar is x1 gelijk aan?
Het is gelijk aan x3 keer 1 plus x4 keer 2.
Nietwaar?
Dat haal ik uit deze vergelijking hier.
x1 is gelijk aan 1 maal x3, plus 2 keer x4.
Dat is gewoon dat, daarzo.
Nu, x2 is gelijk aan x3 keer min 2, plus
x4 keer min 3.
Wat ben ik aan het doen?
Ik verlies dingen uit het oog.
Deze x2 hier is x2 plus 2 x3 plus 3 x4 is gelijk aan 0.
Dus x2 is gelijk aan min 2 x3, min 3 x4.
Dus,
Zo,
Sorry, mijn hoofd zit niet volledig in de opgave, ik
maak van die stomme foutjes.
Maar ik denk dat je dit nu begrijpt.
Dus waar is x3 gelijk aan?
Nou het is gewoon gelijk aan 1 maal x3.
plus 0 keer x4, toch?
x3 is gelijk aan x3.
En waar is x4 gelijk aan?
Het is gelijk aan 0 keer x3 plus 1 keer x4.
Dus alle vectors in R4, deze zijn lid van R4, wat
voldoet aan de vergelijking, onze originele vergelijking, Ax=0,
kunnen gepresenteerd worden als een lineaire combinatie
van deze twee vectoren, toch?
Dit zijn slecht willekeurige scalairs die lid zijn van -- we kunnen
elk reëel getal kiezen voor x3 en we kunnen elke reëel
getal kiezen voor x4.
Dus onze verzameling uitkomsten is gewoon een lineaire combinatie van
die twee vectoren.
Wat is een andere manier om te zeggen
een lineaire combinatie van twee vectoren?
Laat ik dit opschrijven.
De nulruimte van A, wat niets meer dan de verzameling oplossing is
van deze vergelijing, het is gewoon alle x-en die voldoen aan
deze vergelijking, het is gelijk aan alle lineaire combinaiets van deze
vector en die vector.
Hoe noemen we alle lineaire combinaties van twee vectoren?
Het is het opspansel van die twee vectoren.
Dus het is gelijk aan het opspansel van die vector en die vector.
Van de vector 1, min 2, 1, - en de vector
2, min 3, 0, 1.
En dit is onze nulruimte.
Voor ik je laat gaan, laat me je wijzen op één interessant
puntje hier.
We gaven ons stelsel van vergelijkingen op deze manier weer en we
plaatsten het in rij gereduceerde trapvorm dus dit is
A en dit is 0.
Dit hier, laat ik even zorgen dat ik wat ruimte heb,
laat ik het hier zetten.
Dat daar is de rij gereduceerde trapvorm van A.
En deze vergelijking in weze, dit is een lineaire
vergelijking die deze opgave probeert op te lossen.
De rij gereduceerde trapvorm van A maal onze vector x
is gelijk aan 0.
Dus, alle oplossingen hiervoor zijn ook oplossingen voor onze oorgspronkelijke opgave
onze oorgspronkelijke Ax=0.
Dus wat is de oplossing hiervan?
Alle x-en die hieraan voldoen, vormen de nulruimte van
de rij gereduceerde trapvorm van A.
Nietwaar?
Dus hier, alle x-en, dit is de nulruimte, deze opgave
al er alle x-en hier vinden, dit is de nulruimte
van de rij gereduceerde trapvorm van onze matrix A,
Maar als we zeggen dat deze opgave hetzelfde is als deze hier,
nietwaar?
Dus we mogen schrijven dat de nulruimte van A gelijk is aan
de nulruimte van de rij gereduceerde trapvorm van A.
En dat kan een beetje verwarrend lijken, 'hey waarom schrijf
je dat nu uit?' maar het is eigenlijk erg nuttig
als je nulruimtes probeert te berekenen.
Dus we hoefden niet eens een grote
uitgebreide matrix op te schrijven hier.
We kunnen, bijvoorbeeld onze matrix A hier nemen, in rij gereduceerde trapvorm
zetten en dan de nulruimte ervan berekenen.
We zouden direct naar dit punt hier zijn gegaan.
Dit is de rij gereduceerde trapvorm van A en dan
kon ik direct deze vergelijkingen opgelost hebben, toch?
Ik zou gewoon het inproduct van de rij gereduceerde
trapvorm, of niet het inproduct, het product van de matrix vector
van de rij gereduceerde trapvorm van A met deze
vector en dan zou ik deze vergelijkingen hebben gekregen en dan
zouden deze vergelijkingen gelijk, ik kan ze gewoon
zo herschrijven, en ik zou onze
uitkomst hebben gekregen.
Maar hoe dan ook, hopelijk vond je dat enigzins nuttig.