WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.330
.

00:00:00.330 --> 00:00:02.890
In de vorige video sprak ik wat theoretisch over

00:00:02.890 --> 00:00:04.690
wat een Nulruimte is en we hebben laten zien

00:00:04.690 --> 00:00:06.700
dat het een geldige deelruimte is.

00:00:06.700 --> 00:00:08.960
Maar laten we in deze video eens echt

00:00:08.960 --> 00:00:10.380
de nulruimte van een matrix berekenen.

00:00:10.380 --> 00:00:14.220
In dit geval, gaan we de de nulruimte van de een matrix A berekenen.

00:00:14.220 --> 00:00:17.420
Dus, de nulruimte is letterlijk niets meer dan de verzameling van

00:00:17.420 --> 00:00:21.230
alle vectors, zodanidg dat als ik A met een van die vectors vermenigvuldig,

00:00:21.230 --> 00:00:29.560
dus laat ik zeggen dat de vector x1, x2, x3, x4 een element is

00:00:29.560 --> 00:00:30.850
van onze nuluimte.

00:00:30.850 --> 00:00:33.410
Dus als ik deze matrix vermenigvuldig met deze vector, dan zou ik

00:00:33.410 --> 00:00:34.920
de Nul vector moeten krijgen.

00:00:34.920 --> 00:00:37.430
Ik zou de vector moeten krijgen

00:00:37.430 --> 00:00:39.450
En gewoon om een paar punten te maken, deze

00:00:39.450 --> 00:00:40.850
heeft precies 4 kolommen

00:00:40.850 --> 00:00:47.120
Dit is een 3 bij 4 matrix, dus ik heb alleen een legitieme definitie gemaakt van

00:00:47.120 --> 00:00:51.310
vermenigvuldiging van deze maal een vector met 4 componenten of een

00:00:51.310 --> 00:00:53.050
element van R^n.

00:00:53.050 --> 00:00:54.970
Laat me deze X noemen

00:00:54.970 --> 00:00:56.440
En dit is onze vector X.

00:00:56.440 --> 00:00:59.700
Deze is een element van R4.

00:00:59.700 --> 00:01:01.260
Het heeft 4 componenten.

00:01:01.260 --> 00:01:03.040
En als je deze vermenigvuldigt, moeten we

00:01:03.040 --> 00:01:04.480
een Nul vector krijgen.

00:01:04.480 --> 00:01:07.090
De Nuruimte is de set van alle vectors en als ik het

00:01:07.090 --> 00:01:09.350
vermenigvuldig met A, krijg ik de Nul vector.

00:01:09.350 --> 00:01:10.060
En wat ga ik krijgen?

00:01:10.060 --> 00:01:12.570
Ik ga een rij krijgen maal dit en dat gaat

00:01:12.570 --> 00:01:14.830
het eerste element zijn. Dan deze rij maal, dat wordt

00:01:14.830 --> 00:01:15.780
de tweede component. En dan de derde rij.

00:01:15.780 --> 00:01:21.580
Dus dan zou ik drie nullen moeten hebben. Dus mijn nul vector zal de

00:01:21.580 --> 00:01:24.070
nul vector in R^3 zijn.

00:01:24.070 --> 00:01:27.730
Dus, hoe komen we achter de verzameling van al deze x-en die

00:01:27.730 --> 00:01:28.580
hier aan voldoen.

00:01:28.580 --> 00:01:31.370
Laat me onze formele notatie opschrijven.

00:01:31.370 --> 00:01:38.260
De nulruimte van A is de verzameling van alle vectors die

00:01:38.260 --> 00:01:41.340
element zijn van -- in het algemeen zeggen we R^n, maar dit is een 3 bij 4

00:01:41.340 --> 00:01:43.720
matrix, dus dit zijn alle vectoren die een

00:01:43.720 --> 00:01:48.730
lid zijn van R^4, want ik gebruik deze specifieke A, zo

00:01:48.730 --> 00:01:52.910
dat mijn matrix A maal welke dan ook van deze vectors gelijk

00:01:52.910 --> 00:01:54.530
is aan de Nul vector.

00:01:54.530 --> 00:01:59.400
In dit geval zal het een Nul vector zijn in R^3.

00:01:59.400 --> 00:02:00.420
Nu, hoe pakken we dit aan?

00:02:00.420 --> 00:02:02.680
Nou, dit is gewoonweg een lineaire vergelijking

00:02:02.680 --> 00:02:04.100
We kunnen het op die manier noteren.

00:02:04.100 --> 00:02:06.860
Als we daadwerkelijk de matrix vermeningvuldiging uitvoren,

00:02:06.860 --> 00:02:07.830
krijgen we 1 maal x1.

00:02:07.830 --> 00:02:09.010
Laat ik het hier opschrijven.

00:02:09.010 --> 00:02:10.800
Laat ik het in een andere kleur doen.

00:02:10.800 --> 00:02:19.920
1 keer x1, plus 1 keer x2, plus 1 x x3, plus 1 keer

00:02:19.920 --> 00:02:26.460
x4 is gelijk aan deze 0 hierzo.

00:02:26.460 --> 00:02:29.580
Dus dat maal dat is gelijk aan 0.

00:02:29.580 --> 00:02:32.500
En dan dit maal dit zou gelijk moeten zijn aan die nul.

00:02:32.500 --> 00:02:41.430
Dus 1 maal x1, dus je krijgt x1, plus 2 maal x2, plus 3 maal

00:02:41.430 --> 00:02:47.710
x3, plus 4 maal x 4 zal gelijk zijn aan die 0.

00:02:47.710 --> 00:02:51.510
En dan uiteindelijk hebben we dat maal deze vector, dit zou gelijk

00:02:51.510 --> 00:02:52.990
moeten zijn aan die nul.

00:02:52.990 --> 00:02:58.770
Dus het inproduct van deze rij vector met deze kolom vector

00:02:58.770 --> 00:03:00.220
zou gelijk moeten zijn aan die 0.

00:03:00.220 --> 00:03:02.690
Dus je krijgt 4x1.

00:03:02.690 --> 00:03:21.690
4x1 plus 3x2 plus 2x1 plus 2x3 plus x4 is gelijk aan 0.

00:03:21.690 --> 00:03:26.570
4x1 plus 3x2 plus 2x3 plus x4 is gelijk aan 0.

00:03:26.570 --> 00:03:29.230
Je hoeft alleen de uitkomsten verzameling te vinden hiervan en we

00:03:29.230 --> 00:03:33.220
hebben zo'n beetje onze nulruimte.

00:03:33.220 --> 00:03:35.920
Nu, we hebben de uitkomsten verzameling gevonden van stelsels

00:03:35.920 --> 00:03:36.770
van vergelijkingen als deze.

00:03:36.770 --> 00:03:41.090
We hebben drie vergelijkingen met 4 onbekenden.

00:03:41.090 --> 00:03:41.650
We kunnen dat doen.

00:03:41.650 --> 00:03:44.610
We kunnen dit weergeven met een uitgebreide matrix en dat dan

00:03:44.610 --> 00:03:46.370
rij gereduceerde trapvorm zetten.

00:03:46.370 --> 00:03:48.080
Laten we dat doen.

00:03:48.080 --> 00:03:50.865
Ik kan dit probleem weergeven als de uitgebreide matrix

00:03:50.865 --> 00:03:54.750
.

00:03:54.750 --> 00:03:57.260
1,1,4

00:03:57.260 --> 00:04:00.070
1,2,3

00:04:00.070 --> 00:04:03.550
1,3,2

00:04:03.550 --> 00:04:07.110
en dan 1,4,1.

00:04:07.110 --> 00:04:10.495
En dan breid ik dat uit met de Nul vector

00:04:10.495 --> 00:04:12.720
En het zou je gelijk moeten opvallen dat we de

00:04:12.720 --> 00:04:16.610
moeite hebben genomen om dit maal dat de vermenigvuldingen is gelijk aan dan en we dit als een

00:04:16.610 --> 00:04:19.600
stelsel van vergelijkingen hebben geschreven, maar nu willen we

00:04:19.600 --> 00:04:21.980
het stelsel oplossen, dus we vallen terug op de wereld

00:04:21.980 --> 00:04:23.050
van uitgebreide matrices.

00:04:23.050 --> 00:04:25.290
Hoe ziet deze uitgebreide matrix er uit?

00:04:25.290 --> 00:04:29.010
Nou, dit is gewoon onze matrix A hier.

00:04:29.010 --> 00:04:31.570
Dat is gewoon matrix A daar, dat is is gewoon de

00:04:31.570 --> 00:04:32.880
Nul vector daarzo.

00:04:32.880 --> 00:04:34.980
En om dit op te lossen, en dit hebben we al eerder gedaan, gaan we

00:04:34.980 --> 00:04:38.640
gewoon deze uitgebreide matrix in rij trapvorm zetten.

00:04:38.640 --> 00:04:40.450
En wat je zult vinden is dat wanneer je het in

00:04:40.450 --> 00:04:43.230
rij trapvorm zet, dan gaat deze kant helemaal niet veranderen

00:04:43.230 --> 00:04:45.680
want waar je het ook mee vermenigvuldigt of vanaf trekt,

00:04:45.680 --> 00:04:47.930
je doet het allemaal maal 0, dus je komt telkens

00:04:47.930 --> 00:04:48.870
weer uit op 0.

00:04:48.870 --> 00:04:51.880
Dus terwijl we dit in rij gereduceerde trapvorm zetten, zetten

00:04:51.880 --> 00:04:55.760
we eigenlijk matrix A gewoon in gereduceerde trapvorm.

00:04:55.760 --> 00:04:59.110
Dus laat ik dat doen, in plaats van er alleen maar over praten.

00:04:59.110 --> 00:05:04.620
Laat ik beginen door rij 1 hetzelfde te houden.

00:05:04.620 --> 00:05:10.570
Rij 1 is, 1, 1, 1, 1, 0.

00:05:10.570 --> 00:05:14.630
En dan wil ik deze 1 hier wegwerken, dus laat ik

00:05:14.630 --> 00:05:18.820
rij 2 vervangen door rij 2 min rij 1.

00:05:18.820 --> 00:05:20.980
Dus 1 min 1 is 0.

00:05:20.980 --> 00:05:23.050
2 min 1 is 1.

00:05:23.050 --> 00:05:25.170
3 min 1 is 2.

00:05:25.170 --> 00:05:27.400
4 min 1 is 3

00:05:27.400 --> 00:05:28.970
0 min 0 is 0.

00:05:28.970 --> 00:05:31.490
Je kunt zien dat de nullen niet gaan veranderen.

00:05:31.490 --> 00:05:36.740
En laat me deze jongen vervangen door 4 keer deze jongen,

00:05:36.740 --> 00:05:38.480
min deze jongen.

00:05:38.480 --> 00:05:39.940
Dus ik kan alleen maar van deze af komen.

00:05:39.940 --> 00:05:43.610
Dus 4 keer 1 min 4 is 0.

00:05:43.610 --> 00:05:46.950
4 keer 1 min 3 is 1.

00:05:46.950 --> 00:05:49.920
4 keer 1 min 2 is 2.

00:05:49.920 --> 00:05:52.840
4 keer 1 min 1 is 3.

00:05:52.840 --> 00:05:56.750
4 keer 0 min 0 is 0.

00:05:56.750 --> 00:05:59.490
Nu wil ik van deze, als ik dit in rij gereduceerde trapvorm

00:05:59.490 --> 00:06:03.170
wil zetten, wil ik van deze term en

00:06:03.170 --> 00:06:05.660
deze term af.

00:06:05.660 --> 00:06:08.920
Dus laat ik de middelste rij gelijk houden.

00:06:08.920 --> 00:06:13.135
Mijn middelste rij is 0, 1, 2, 3

00:06:13.135 --> 00:06:16.380
.

00:06:16.380 --> 00:06:19.330
Dus dat is 0 aan de uitgebreide kant, alhoewel deze nullen

00:06:19.330 --> 00:06:21.470
nooit gaan veranderen, is het eigenlijk gewoon een beetje

00:06:21.470 --> 00:06:23.780
oefening om ze telkens weer op te schrijven.

00:06:23.780 --> 00:06:26.140
En mijn eerste rij, laat ik die vervangen door de eerste

00:06:26.140 --> 00:06:28.360
min de tweede rij, zodat ik van deze 1 af ben.

00:06:28.360 --> 00:06:30.720
Dus 1 min 0 is 1.

00:06:30.720 --> 00:06:33.410
1 min 1 is 0.

00:06:33.410 --> 00:06:36.140
1 min 2 is min 1.

00:06:36.140 --> 00:06:38.340
1 min 3 is min 2.

00:06:38.340 --> 00:06:41.390
en 0 min 0 is 0

00:06:41.390 --> 00:06:45.670
En laat ik deze laatste rij vervangen door de laatste rij min

00:06:45.670 --> 00:06:46.610
de middelste rij.

00:06:46.610 --> 00:06:48.890
Dus 0 min 0 is 0.

00:06:48.890 --> 00:06:51.440
1 min 1 is 0.

00:06:51.440 --> 00:06:52.570
2 min 2 is 0.

00:06:52.570 --> 00:06:53.770
Ik denk dat je ziet waar dit heen gaat

00:06:53.770 --> 00:06:55.510
3 min 3 is 0.

00:06:55.510 --> 00:06:58.790
En natuurlijk is 0 min 0 0.

00:06:58.790 --> 00:07:04.510
Dus dit vergelijkingenstelsel is gereduceerd, door gewoon

00:07:04.510 --> 00:07:07.560
de rij gereduceerde trapvorm te gebruiken, bij deze opgave.

00:07:07.560 --> 00:07:12.030
Als ik dit hier herschrijf, dit kan herschreven worden als

00:07:12.030 --> 00:07:21.870
een stelsel van vergelijkingen van x1 min x3 min x4, mee eens?

00:07:21.870 --> 00:07:25.110
De 0 x2's is gelijk aan 0.

00:07:25.110 --> 00:07:28.830
En dan deze tweede rij hier, er is geen x1, je hebt

00:07:28.830 --> 00:07:37.870
alleen een x2, plus 2x3, plus 3x2 is gelijk aan 0 en dit

00:07:37.870 --> 00:07:41.420
geeft me duidelijk helemaal geen informatie.

00:07:41.420 --> 00:07:43.510
En dus kan ik dit oplossen.

00:07:43.510 --> 00:07:46.160
Ik kan dit oplossen voor x1 en x2 en wat krijg ik?

00:07:46.160 --> 00:07:52.960
Ik krijg x1 is gelijk aan x3 plus x4.

00:07:52.960 --> 00:07:54.170
Eigenlijk, heb ik een fout hier gemaakt.

00:07:54.170 --> 00:08:01.000
Dit is x1 min x3 min 2 keer x4 is gelijk aan 0.

00:08:01.000 --> 00:08:05.000
Dus als ik dit herschrijf, krijg ik x1 is gelijk aan x3 plus 2 x4.

00:08:05.000 --> 00:08:07.720
.

00:08:07.720 --> 00:08:11.290
En ik krijg x2.

00:08:11.290 --> 00:08:13.280
Laat me dat in het groen doen.

00:08:13.280 --> 00:08:20.875
x2 is gelijk aan min 2 x3 min 3 x2.

00:08:20.875 --> 00:08:24.090
.

00:08:24.090 --> 00:08:28.270
Dus als ik de verzameling oplossingen van deze vergelijkingen,

00:08:28.270 --> 00:08:32.640
als vergelijking hiervan zou willen schrijven, zou ik kunnen noteren

00:08:32.640 --> 00:08:40.260
x1, x2, x3, x4 is gelijk aan -- waar is x1 gelijk aan?

00:08:40.260 --> 00:08:54.400
Het is gelijk aan x3 keer 1 plus x4 keer 2.

00:08:54.400 --> 00:08:54.720
Nietwaar?

00:08:54.720 --> 00:08:57.500
Dat haal ik uit deze vergelijking hier.

00:08:57.500 --> 00:09:01.600
x1 is gelijk aan 1 maal x3, plus 2 keer x4.

00:09:01.600 --> 00:09:03.320
Dat is gewoon dat, daarzo.

00:09:03.320 --> 00:09:10.145
Nu, x2 is gelijk aan x3 keer min 2, plus

00:09:10.145 --> 00:09:13.330
x4 keer min 3.

00:09:13.330 --> 00:09:14.410
Wat ben ik aan het doen?

00:09:14.410 --> 00:09:16.050
Ik verlies dingen uit het oog.

00:09:16.050 --> 00:09:22.800
Deze x2 hier is x2 plus 2 x3 plus 3 x4 is gelijk aan 0.

00:09:22.800 --> 00:09:27.620
Dus x2 is gelijk aan min 2 x3, min 3 x4.

00:09:27.620 --> 00:09:28.060
Dus,

00:09:28.060 --> 00:09:28.280
Zo,

00:09:28.280 --> 00:09:31.900
Sorry, mijn hoofd zit niet volledig in de opgave, ik

00:09:31.900 --> 00:09:33.730
maak van die stomme foutjes.

00:09:33.730 --> 00:09:35.270
Maar ik denk dat je dit nu begrijpt.

00:09:35.270 --> 00:09:36.990
Dus waar is x3 gelijk aan?

00:09:36.990 --> 00:09:40.840
Nou het is gewoon gelijk aan 1 maal x3.

00:09:40.840 --> 00:09:42.580
plus 0 keer x4, toch?

00:09:42.580 --> 00:09:43.800
x3 is gelijk aan x3.

00:09:43.800 --> 00:09:44.770
En waar is x4 gelijk aan?

00:09:44.770 --> 00:09:48.420
Het is gelijk aan 0 keer x3 plus 1 keer x4.

00:09:48.420 --> 00:09:53.220
Dus alle vectors in R4, deze zijn lid van R4, wat

00:09:53.220 --> 00:09:56.840
voldoet aan de vergelijking, onze originele vergelijking, Ax=0,

00:09:56.840 --> 00:10:01.210
kunnen gepresenteerd worden als een lineaire combinatie

00:10:01.210 --> 00:10:03.980
van deze twee vectoren, toch?

00:10:03.980 --> 00:10:07.020
Dit zijn slecht willekeurige scalairs die lid zijn van -- we kunnen

00:10:07.020 --> 00:10:10.210
elk reëel getal kiezen voor x3 en we kunnen elke reëel

00:10:10.210 --> 00:10:12.810
getal kiezen voor x4.

00:10:12.810 --> 00:10:16.140
Dus onze verzameling uitkomsten is gewoon een lineaire combinatie van

00:10:16.140 --> 00:10:17.200
die twee vectoren.

00:10:17.200 --> 00:10:19.060
Wat is een andere manier om te zeggen

00:10:19.060 --> 00:10:21.130
een lineaire combinatie van twee vectoren?

00:10:21.130 --> 00:10:22.470
Laat ik dit opschrijven.

00:10:22.470 --> 00:10:27.530
De nulruimte van A, wat niets meer dan de verzameling oplossing is

00:10:27.530 --> 00:10:30.600
van deze vergelijing, het is gewoon alle x-en die voldoen aan

00:10:30.600 --> 00:10:34.090
deze vergelijking, het is gelijk aan alle lineaire combinaiets van deze

00:10:34.090 --> 00:10:35.530
vector en die vector.

00:10:35.530 --> 00:10:38.780
Hoe noemen we alle lineaire combinaties van twee vectoren?

00:10:38.780 --> 00:10:41.330
Het is het opspansel van die twee vectoren.

00:10:41.330 --> 00:10:45.000
Dus het is gelijk aan het opspansel van die vector en die vector.

00:10:45.000 --> 00:10:52.290
Van de vector 1, min 2, 1, - en de vector

00:10:52.290 --> 00:10:57.840
2, min 3, 0, 1.

00:10:57.840 --> 00:11:00.490
En dit is onze nulruimte.

00:11:00.490 --> 00:11:03.050
Voor ik je laat gaan, laat me je wijzen op één interessant

00:11:03.050 --> 00:11:04.640
puntje hier.

00:11:04.640 --> 00:11:08.950
We gaven ons stelsel van vergelijkingen op deze manier weer en we

00:11:08.950 --> 00:11:11.130
plaatsten het in rij gereduceerde trapvorm dus dit is

00:11:11.130 --> 00:11:12.700
A en dit is 0.

00:11:12.700 --> 00:11:16.840
Dit hier, laat ik even zorgen dat ik wat ruimte heb,

00:11:16.840 --> 00:11:17.600
laat ik het hier zetten.

00:11:17.600 --> 00:11:22.970
Dat daar is de rij gereduceerde trapvorm van A.

00:11:22.970 --> 00:11:26.180
En deze vergelijking in weze, dit is een lineaire

00:11:26.180 --> 00:11:29.170
vergelijking die deze opgave probeert op te lossen.

00:11:29.170 --> 00:11:35.050
De rij gereduceerde trapvorm van A maal onze vector x

00:11:35.050 --> 00:11:36.530
is gelijk aan 0.

00:11:36.530 --> 00:11:40.580
Dus, alle oplossingen hiervoor zijn ook oplossingen voor onze oorgspronkelijke opgave

00:11:40.580 --> 00:11:44.290
onze oorgspronkelijke Ax=0.

00:11:44.290 --> 00:11:46.530
Dus wat is de oplossing hiervan?

00:11:46.530 --> 00:11:49.320
Alle x-en die hieraan voldoen, vormen de nulruimte van

00:11:49.320 --> 00:11:52.470
de rij gereduceerde trapvorm van A.

00:11:52.470 --> 00:11:53.110
Nietwaar?

00:11:53.110 --> 00:11:57.570
Dus hier, alle x-en, dit is de nulruimte, deze opgave

00:11:57.570 --> 00:12:02.180
al er alle x-en hier vinden, dit is de nulruimte

00:12:02.180 --> 00:12:06.315
van de rij gereduceerde trapvorm van onze matrix A,

00:12:06.315 --> 00:12:10.030
Maar als we zeggen dat deze opgave hetzelfde is als deze hier,

00:12:10.030 --> 00:12:11.790
nietwaar?

00:12:11.790 --> 00:12:17.800
Dus we mogen schrijven dat de nulruimte van A gelijk is aan

00:12:17.800 --> 00:12:22.350
de nulruimte van de rij gereduceerde trapvorm van A.

00:12:22.350 --> 00:12:25.000
En dat kan een beetje verwarrend lijken, 'hey waarom schrijf

00:12:25.000 --> 00:12:27.430
je dat nu uit?' maar het is eigenlijk erg nuttig

00:12:27.430 --> 00:12:29.860
als je nulruimtes probeert te berekenen.

00:12:29.860 --> 00:12:31.240
Dus we hoefden niet eens een grote

00:12:31.240 --> 00:12:32.180
uitgebreide matrix op te schrijven hier.

00:12:32.180 --> 00:12:35.750
We kunnen, bijvoorbeeld onze matrix A hier nemen, in rij gereduceerde trapvorm

00:12:35.750 --> 00:12:37.780
zetten en dan de nulruimte ervan berekenen.

00:12:37.780 --> 00:12:40.060
We zouden direct naar dit punt hier zijn gegaan.

00:12:40.060 --> 00:12:43.170
Dit is de rij gereduceerde trapvorm van A en dan

00:12:43.170 --> 00:12:46.950
kon ik direct deze vergelijkingen opgelost hebben, toch?

00:12:46.950 --> 00:12:49.040
Ik zou gewoon het inproduct van de rij gereduceerde

00:12:49.040 --> 00:12:51.840
trapvorm, of niet het inproduct, het product van de matrix vector

00:12:51.840 --> 00:12:55.350
van de rij gereduceerde trapvorm van A met deze

00:12:55.350 --> 00:12:57.800
vector en dan zou ik deze vergelijkingen hebben gekregen en dan

00:12:57.800 --> 00:13:00.150
zouden deze vergelijkingen gelijk, ik kan ze gewoon

00:13:00.150 --> 00:13:02.060
zo herschrijven, en ik zou onze

00:13:02.060 --> 00:13:03.890
uitkomst hebben gekregen.

00:13:03.890 --> 00:13:07.180
Maar hoe dan ook, hopelijk vond je dat enigzins nuttig.