წრფივი განტოლებები დახრილობა-გადაკვეთის ფორმით

ამ ვიდეოში ვისაუბრებთ,
თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ

წრფის განტოლება
"დახრილობა-გადაკვეთის" ფორმაში.

გამეორებისთვის, ეს ნიშნავს
წრფის განტოლებას ისეთი ფორმით,

სადაც y უდრის mx პლუს b, დახრილობა
არის m, b კი გადაკვეთის წერტილი y ღერძზე.

გავაკეთოთ რამდენიმე ასეთი მაგალითი.

ვიცით, რომ წრფეს აქვს
მინუს ხუთი დახრილობა,

ესე იგი, m უდრის მინუს ხუთს,

ხოლო გადაკვეთის
წერტილი y ღერძზე არის ექვსი.

ანუ, b უდრის ექვსს.

ეს საკმაოდ მარტივია.

ამ წრფის განტოლება
იქნება - y უდრის მინუს 5x პლუს 6-ს.

არც ისე ცუდია.

შემდეგი აქ გავაკეთოთ.

წრფეს აქვს დახრილობა
მინუს ერთი და გადის წერტილზე (4/5, 0)

ესე იგი, ვიცით დახრილობა, მინუს ერთი.

ანუ, ვიცით, რომ m უდრის მინუს ერთს,

მაგრამ ზუსტად არ ვიცით,
თუ სად არის y ღერძის გადაკვეთა

ესე იგი, ვიცით, რომ ეს
განტოლება იქნება ასეთი ფორმის:

y უდრის მინუს ერთჯერ x-ს პლუს b,
სადაც b არის y ღერძის გადაკვეთის წერტილი.

შეგვიძლია, ეს ინფორმაცია,
ანუ, ის ფაქტი, რომ წრფე ამ წერტილს შეიცავს

b-ს საპოვნელად გამოვიყენოთ.

ფაქტი, რომ წრფე ამ
წერტილს შეიცავს, ნიშნავს იმას,

რომ x უდრის 4/5-ს და y უდრის
ნულს, აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

შევიტანოთ განტოლებაში, y
უდრის ნულს, როცა x უდრის 4/5-ს.

ესე იგი, ნული უდრის
მინუს ერჯერ 4/5-ს პლუს b.

-- ცოტა ქვემოთ ჩამოვწევ --

ნული უდრის მინუს 4/5 პლუს b.

შეგვიძლია, ორივე მხარეს
დავუმატოთ მინუს 4/5.

დავუმატოთ 4/5 აქ და აქეთაც.

ეს გავაკეთე, რათა აქ ეს გაბათილებულიყო

და მივიღეთ, რომ b უდრის 4/5-ს.

მივიღეთ წრფის განტოლება.

y უდრის მინუს ერთჯერ x-ს,
(რომელსაც უარყოფით x-ად დავწერთ) პლუს b.

ახლა ეს გავაკეთოთ.

წრფე გადის წერტილებზე (2, 6) და (5, 0).

ამ შემთხვევაში წრფის დახრილობა ან y ღერძის
გადაკვეთის წერტილი მოცემული არ გვაქვს,

მაგრამ ეს კოორდინატები
საკმარის ინფორმაციას გვაძლევს.

პირველ რიგში, უნდა გავიგოთ დახრილობა.

m უდრის y-ის ცვლილებას შეფარდებული
x-ის ცვლილებასთან, რაც უდრის --

რამდენია y-ის ცვლილება?

ამით დავიწყოთ.

ექვსს მინუს ნული.

-- ასე ვიზამ --

ესე იგი, ეს არის ექვსს -- ფერების
მიხედვით გავმიჯნავ -- მინუს ნული.

ექვსს მინუს ნული, ესაა ცვლილება y-ში.

x-ის ცვლილება იქნება ორს მინუს ხუთი.

ფერების მიხედვით
განვასხვავე, რათა მეჩვენებინა,

რომ ჯერ y-ის ეს მნიშვნელობა
გამოვიყენე, ანუ, ექვსიანი აქედან,

და შესაბამისად, ჯერ x-ის ეს
მნიშვნელობა უნდა ავიღო.

ეს არის (2, 6)
კოორდინატი, ეს კი (5, 0) კოორდინატი.

ორისა და ხუთისთვის
ადგილები რომ შემეცვალა,

პასუხს უარყოფითს მივიღებდი.

აქ რას ვიღებთ?

ეს უდრის ექვსს მინუს ნულს, ანუ, ექვსს.

ორს მინუს ხუთი არის მინუს სამი.

ესე იგი, გვაქვს მინუს ექვსი
შეფარდებული სამთან, რაც უდრის მინუს ორს.

ესაა დახრილობა.

აქამდე ის ვიცით, რომ წრფე
იქნება - y უდრის დახრილობა..

-- სტაფილოსფრად ვიზამ --
მინუს ორი გამრავლებული x-ზე,

პლუს y ღერძის გადაკვეთის წერტილი.

ახლა შეგვიძლია, ზუსტად
ისე მოვიქცეთ, როგორც წინა ამოცანაში.

ერთ-ერთი წერტილის
გამოყენებით ვიპოვით b-ს.

ორივეს გამოყენება შეიძლება,

ორივე წრფეზეა, ამიტომ,
ორივე აკმაყოფილებს განტოლებას.

(5, 0)-ს გამოვიყენებ,
რადგან ნული ყოველთვის ამარტივებს საქმეს.

ჩავსვათ (5, 0) აქ.

ესე იგი, y უდრის ნულს, როცა x უდრის ხუთს.

ესე იგი, y უდრის ნულს, როცა გვაქვს მინუს
ორჯერ ხუთს პლუს b (როცა x უდრის ხუთს)

ანუ, ნული უდრის მინუს ათს პლუს b.

თუ ორივე მხარეს
დავუამტებთ ათს, -- დავუმატოთ --

ესენი გაბათილდება.

მივიღებთ, რომ b უდრის
ათს პლუს ნულს, ანუ, უდრის ათს.

b უდრის ათს.

წრფის განტოლება ვიპოვეთ.

განტოლება ასეთია: y -- სხვა ფერს ავიღებ --
y უდრის მინუს 2x პლუს b ანუ, პლუს ათი.

დავასრულეთ.

კიდევ გავაკეთოთ მსგავსი.

წრფე შეიცავს წერტილებს (3, 5) და (-3, 0).

წინა ამოცანის მსგავსად, ჯერ
გავარკვიოთ, თუ რას უდრის დახრილობა,

რომელსაც აღვნიშნავთ m-ით.

ეს იგივეა, რაც y-ის ნაზრდი
გაყოფილი x-ის ნაზრდზე, რაც იგივეა, რაც

y-ის ცვლილება გაყოფილი x-ის ცვლილებაზე.

ყველაფრის ასე წერა არაა აუცილებელი,

უბრალოდ მინდა, რომ კარგად აითვისოთ მასალა.

მაშინ, რისი ტოლია y-ის
ცვლილება შეფარდებული x-ის ცვლილებასთან?

ეს უდრის -- ამჯერად
აქედან დავიწყოთ, რათა გამოჩნდეს,

რომ მნიშვნელობა არ აქვს,
რომელ წერტილს გამოვიყენებთ.

ვთქვათ, იყოს ნულს მინუს ხუთი,

ანუ, ჯერ ამ კოორდინატს
ვიყენებ, თითქოს საბოლოო წერტილია.

მახსოვს, როცა პირველად ეს ვისწავლე,
ყოველთვის x-ის დაწერა მრციხველში მინდოდა.

გახსოვდეთ, რომ მრიცხველში y უნდა იყოს.

ესეც მეორე ნაწილი კოორდინატების,

ეს იქნება გაყოფილი მინუს სამს მინუს სამზე.

ეს არის (-3, 0) კოორდინატი.
ეს კი (3, 5) კოორდინატია.

ამას ვაკლებთ.

რას მივიღებთ?

ეს ტოლი იქნება
-- ბუნებრივ ფერში გავაკეთებ --

ეს ტოლი იქნება

მინუს ხუთი შეფარდებული მინუს ექვსთან,

უარყოფითები იკვეცება და მივიღებთ 5/6-ს.

ესე იგი, ვიცით, რომ
განტოლებას ექნება შემდეგი ფორმა:

y უდრის 5/6-ჯერ x-ს პლუს b.

უკვე შეგვიძლია, ერთ-ერთი
კოორდინატი შევიტანოთ b-ს გასაგებად.

ნულიანი კოორდინატის გამოყენება მირჩევნია.

ესე იგი, y უდრის ნულს,
როცა x უდრის მინუს სამს პლუს b-ს.

მე მხოლოდ მინუს სამი ჩავსვი
x-ის ადილას, y-ის ადგილას კი - ნული.

ამის გაკეთება შემიძლია,
რადგან ვიცი, რომ ეს წერტილი წრფეზეა,

ამიტომ, წრფის განტოლებას აკმაყოფილებს.

ვიპოვოთ b.

ნული უდრის -- თუ გავყოფთ
მინუს სამს მინუს სამზე, მივიღებთ ერთს --

თუ გავყოფთ ექვსს სამზე, მივიღებთ ორს.

ესე იგი, გამოდის მინუს 5/2-ს პლუს b.

მივუმატოთ 5/2 განტოლების ორივე მხარეს,

პლუს 5/2, პლუს 5/2

მინდა, აღნიშვნები ვცვალო,
რომ ორივენაირს მიეჩვიოთ

განტოლება გამოვა:
5/2 უდრის -- ეს ნულია -- უდრის b-ს.

b უდრის 5/2-ს.

წრფის განტოლებაა y უდრის 5/6x პლუს b,

რაც უკვე გავიგეთ, რომ 5/2-ს უდრის.

დავასრულეთ.

კიდევ ერთი გავაკეთოთ.

აქ გვაქვს გრაფიკი,

მივიღოთ ამ გრაფიკის განტოლება.

ეს შედარებით მარტივია. რა არის დახრილობა?

დახრილობა არის
y-ის ცვლილება გაყოფილი x-ის ცვლილებაზე.

ვნახოთ, რა გამოვა.

x-ზე გადაადგილებისას, როცა
x-ის ცვლილებაა ერთი, -- ესაა x-ის ცვლილება,

ესე იგი, x-ის ცვლილებაა ერთი,

უბრალოდ x-ს ვზრდი ერთით,

რა გამოდის მაშინ y-ის ცვლილება?

როგორც ჩანს, y იცვლება ოთხით.

როგორც ჩანს, დელტა y,
ანუ, y ის ცვლილება არის ოთხი,

როცა დელტა x უდრის ერთს.

ესე იგი, y-ის ცვლილება გაყოფილი x-ის
ცვლილებაზე, ანუ, ოთხი გაყოფილი ერთზე,

უდრის ოთხს, ანუ, დახრა ტოლია ოთხის.

რა იქნება y-ის გადაკვეთის წერტილი?

აქ შეგვიძლია, გრაფიკს შევხედოთ.

როგორც ჩანს, y-ღერძის
გადაკვეთის წერტილია მინუს ექვსი,

ანუ, ნულ წერტილში y უდრის მინუს ექვსს.

ესე იგი, b უდრის მინუს ექვსს.

წრფის განტოლება ვიპოვეთ.

წრფის განტოლებაა: y უდრის
დახრილობაჯერ x პლუს y-ღერძის გადაკვეთა,

დავწეროთ.

მინუს ექვსი, ანუ, პლუს მინუს ექვსი.

ესაა ჩვენი წრფის განტოლება.

მოდით, კიდევ გავაკეთოთ მსგავსი.

ესე იგი, ვიცით, რომ 1.5 წერტილში
ფუნქციის მნიშვნელობაა მინუს სამი,

მინუს ერთში კი უდრის ორს.

ეს რას ნიშნავს?

ეს უბრალოდ სხვა გზაა იმის თქმისა, რომ

როცა x უდრის 1.5-ს,
როცა ფუნქციაში ჩავსვამთ 1.5-ს,

ფუნქცია მიიღებს მნიშვნელობას - სამი.

ესე იგი, კოორდინატი
(1.5, -3) წრფეზეა მოთავსებული.

ეს კი გვეუბნება, რომ როცა
x უდრის მინუს ერთს, f(x) უდრის ორს.

ანუ, უბრალოდ გვეუბნებიან, რომ ორივე
წერტილი წრფეზეა, არაფერი განსაკუთრებული.

ალბათ ამ ამოცანის
მიზანია, აღნიშვნებს მიეჩვიოთ

და არ შეშინდეთ, როცა ასეთ რამეს დაინახავთ.

თუ ვნახავთ ფუნქციის
მნიშვნელობას 1.5-ში, მივიღებთ მინუს სამს.

ეს იქნება კოორდინატი,
თუ ჩავთვლით, რომ y არის f(x).

ესაა y-კოორდინატი,

ტოლი იქნება სამის, როცა x უდრის 1.5-ს.

უკვე რამდენჯერმე ვთქვი,

გამოვთვალოთ ამ წრფის დახრილობა.

დახრილობა არის y-ის ცვლილება
გაყოფილი x-ის ცვლილებაზე და უდრის

-- ორს მინუს ამით
დავიწყოთ, უარყოფითი სამი --

ეს y-ის მნიშვნელობებია --
გაყოფილი მინუს ერთს მინუს ამაზე.

ასე დავწერ, მინუს ერთს მინუს 1.5.

სხვადასხვა ფერს ვიყენებ,

რათა დაინახოთ, რომ
მინუს ერთიც და ორიც აქედან მოდის,

პირველად ამიტომ ვიყენებ ამათ. პირველად
რომ ერთ-ერთი ყვითელი დამეწერა,

პირველად დაწერა
მომიწევდა მეორე ყვითლისიც.

სწორედ ამიტომ ვიყენებ
ფერებს მათ გასამიჯნად.

ესე იგი, ეს ტოლი
იქნება ორს მინუს მინუს სამის,

ეს იგივეა, რაც ორს პლუს სამი, ანუ, ხუთი.

მინუს ერთს მინუს 1.5 უდრის მინუს 2.5-ს.

ხუთი გაყოფილი 2.5-ზე უდრის ორს.

ესე იგი, დახრილობა არის მინუს ორი.

მოდით, გიჩვენებთ,
რომ არ აქვს მინშვნელობა თანმიმდევრობას.

თუ ჯერ ამ კოორდინატს გამოვიყენებ, მაშინ ამ
კოორდინატის გამოყენებაც პირვლად მომიწევს.

რომ დამეწერა, როგორც მინუს სამს მინუს
ორი გაყოფილი 1.5-ს მინუს მინუს ერთზე,

მივიღებდი იგივე პასუხს.

რისი ტოლი არის ეს?

მინუს სამს მინუს ორი არის მინუს
ხუთი. გაყოფილი 1.5-ს მინუს მინუს ერთზე,

ანუ, 1.5 პლუს ერთზე, რაც 2.5-ს უდრის,

პასუხი არის მინუს ორი.

წერტილების არჩევის
თანმიმდევრობას არ აქვს მნიშვნელობა,

მთავარია, უშეცდომოდ ვაკეთოთ გამოთვლები.

თუ ესაა საწყისი y,
მაშინ ეს იქნება საწყისი x.

თუ ესაა საბოლოო y,
მაშინ ეს იქნება საბოლოო x.

ვიცით, რომ დახრილობა უდრის მინუს ორს.

ესე იგი, განტოლებაა y უდრის მინუს
2x პლუს რაღაც y გადაკვეთის წერტილი.

გამოვიყენოთ ერთ-ერთი კოორდინატი.

ამას გამოვიყენებ, რადგან ათწილადი არაა.

ვიცით, რომ y უდრის ორს.

ესე იგი, y უდრის ორს,
როცა x უდრის მინუს ერთს.

ცხადია, პლუს b-ც გვაქვს.

ესე იგი, ორი უდრის ორს პლუს b,

თუ ორივე მხარეს გამოვაკლებთ ორს,

-- ორივე მხარეს ვაკლებთ --

მარცხენა მხარეს მივიღებთ
ნულს და გამოვა, რომ b ნულის ტოლია.

b უდრის ნულს.

ესე იგი, წრფის
განტოლებაა y უდრის მინუს 2x-ს.

თუ გნებავთ ფუნქციის სახით ჩაწერა,

მაშინ f(x) ტოლი იქნებოდა მინუს 2x-ის.

უბრალოდ y გავუტოლე f(x)-ს,

თუმცა ეს ნამდვილად წრფის
განტოლებაა, y არსადაა ნახსენები.

შეგვეძლო, დაგვეწერა f(x) უდრის 2x-ს.

თითოეული კოორდინატი
არის x-ისა და f(x)-ის კოორდინატი.

შეგიძლიათ, დახრილობის განმარტებად აიღოთ

f(x) ფუნქციის ცვლილება
შეფარდებული x-ის ცვლილებასთან.

ეს ერთი და იგივე
რაღაცის დანახვის რამდენიმე გზაა.