U substitution with exponential function

Vamos ver se conseguimos calcular
a integral definida

de zero para um de x elevado ao quadrado

vezes dois elevado a x ao cubo, dx.

E agora, eu recomendo a vocês
pausar o vídeo

e ver se conseguem resolver
essa integral sozinhos.

Espero que tenham tentado

há coisas interessantes aqui.

A primeira coisa que penso é

estou acostumado a tomar a derivada
e antiderivada de e elevado a x

e não de outra base elevada a x.

Sabemos que a derivada em relação a x
de e elevado a x é e elevado a x,

ou dizemos que a antiderivada de
e elevado a x

é igual a e elevado a x mais c.

Então, como estamos tratando de
algo elevado a ...

neste caso específico, algo elevado a
uma função de x,

parece que eu gostaria de
mudar a base aqui.

Mas como eu faço isso?

Bom, a forma que eu faria isso é
reescrever dois em relação a e

E o que seria dois em relação a e?

Bem, dois é igual a e elevado a potência
cujo resultado é dois.

E qual potência de e
obtém dois?

Essa potência é o log natural de dois.

Log natural de dois é a potência que
deve elevar e para obter dois.

Então, se você elevar e a isso,
você terá dois.

Então isto é o que dois é,

agora o que é dois elevado a x ao cubo?

Se elevamos ambos os lados por x ao cubo.

Dois elevado a x ao cubo é igual a,

se elevo algo a um expoente e então
elevar isso a outro expoente,

isso será igual a

e elevado a x ao cubo vezes
logaritmo natural de dois.

Isso já parece interessante.

Vamos reescrever isso.

Vamos prestar atenção na integral
indefinida primeiro e resolve-la.

E então vamos avaliar a definida.

Vamos pensar sobre a
integral indefinida de

x ao quadrado vezes dois elevado a
x ao cubo, dx.

Eu quero encontrar a antiderivada disso.

Isso será a mesma coisa que

a integral de, escreve-se
x ao quadrado ainda

ao invés de dois elevado a x ao cubo,
escrevo todo esse negócio.

Vou copiar e colar aqui.

Nós já definimos que isso
é a mesma coisa que

dois elevado a x ao cubo.

Substituindo aqui.

E fecha-se com dx.

Então, podemos ter a função
com base e,

isso é um pouco mais confortável,

mas ainda parece complicado.

Mas, pode-se dizer que uma substituição
por u pode ser útil aqui!

Porque temos essa expressão meio doida,
x elevado cubo vezes log natural de dois.

Mas qual é a derivada disso?

Isso será igual a três x ao quadrado
vezes log natural de dois,

ou três vezes log natural de 2
vezes x ao quadrado.

Isso é uma constante vezes x ao quadrado.

Nós já temos um x ao quadrado aqui,

e talvez possamos trabalhar um pouco
para ter uma constante também.

Vamos pensar sobre isso.

Se nós definirmos isso como u.

u é igual a x ao cubo vezes
log natural de dois.

O que será du?

du será igual a, como log natural de dois
é apenas uma constante

então, será três x ao quadrado
vezes log natural de dois,

nós podemos mudar a ordem em
que estamos multiplicando.

Ou seja, isso é o mesmo que x ao quadrado
vezes três log natural de dois,

o que é o mesmo que - usando
as propriedades logaritimicas

que x ao quadrado vezes log natural
de dois elevado ao cubo.

Três log natural de dois é a mesma coisa
que log natural de dois ao cubo.

Isso é igual a x ao quadrado vezes
log natural de oito.

Vejamos, se isso é igual a u, o que é du?

E não podemos esquecer de dx.

Isso é o dx bem aqui, dx, dx, dx.

Onde está o du?

Nós temos dx, vamos destacar aqui.

Dx está aqui e aqui.

Você tem x ao quadrado aqui e aqui.

O que precisamos é de um
log natural de oito.

O ideal seria um log natural de oito aqui.

E nós podemos multiplicar
por log natural de oito

desde que seja feita a divisão
por log natural de oito.

Podemos fazer isso bem aqui, divide-se
sobre log natural de oito

mas nós sabemos que a antiderivada de uma
constante vezes uma função

é a mesma coisa que uma constante da
antiderivada daquela função.

E nós podemos passar
para fora da integral.

Então é 1 dividido pelo log natural de 8.

Escrevemos isso em termos de u e du.

Simplifica-se para 1 dividido pelo ln de 8
vezes a antiderivada de e elevado a u,

Esse é u. du.

Isso, vezes isso, vezes aquilo é du.

E isso é bem direto.

Nós sabemos resolver isso.

Isso será igual a...

Escrevemos 1 dividido pelo ln de 8 aqui

vezes e elevado a u.

E pensando em antiderivada teremos
uma constante aqui.

Então, nós revertemos a substituição,
nós já sabemos o que u é.

Isso será igual a antiderivada
dessa expressão.

É igual a 1 dividido pelo ln de 8
vezes e elevado a,

ao invés de u, sabemos que u é igual
x ao cubo vezes log natural de dois,

e colocamos mais a constante c aqui.

Agora, nós voltamos para
o problema original.

Nós precisamos avaliar a antiderivada
disso em cada um desses pontos.

Vamos reescrever isso. Considerando
o que descobrimos.

(Vou copiar e colar isso.)

Isso será igual a antiderivada
calculada para um

menos a antiderivada calculada para zero.

Não preocupe-se com as constantes
porque elas vão se cancelar.

Assim teremos - vamos
calcular primeiro em um.

Assim teremos 1 dividido pelo ln de 8
vezes e elevado a um ao cubo

o que é um.

Vezes o log natural de dois,
é o que temos em um.

E agora subtraímos o calculado para zero.

Isso é 1 dividio pelo ln de 8
vezes e elevado a,

como x é igual a zero, tudo
isso se torna zero

Então, e elevado a zero é um enquanto
e elevado a log natural de dois

isso será igual a dois.

Já vimos isso antes.
Isto é igual a dois.

Então ficamos com 2 dividido pelo ln 8
menos 1 dividido pelo ln 8

o que é igual a 1 dividido pelo ln de 8.

E está resolvido.

Legendado por [ Marcos Pereira ]
Revisado por [Rodrigo Melges]