Vamos ver se conseguimos calcular
a integral definida
de zero para um de x elevado ao quadrado
vezes dois elevado a x ao cubo, dx.
E agora, eu recomendo a vocês
pausar o vídeo
e ver se conseguem resolver
essa integral sozinhos.
Espero que tenham tentado
há coisas interessantes aqui.
A primeira coisa que penso é
estou acostumado a tomar a derivada
e antiderivada de e elevado a x
e não de outra base elevada a x.
Sabemos que a derivada em relação a x
de e elevado a x é e elevado a x,
ou dizemos que a antiderivada de
e elevado a x
é igual a e elevado a x mais c.
Então, como estamos tratando de
algo elevado a ...
neste caso específico, algo elevado a
uma função de x,
parece que eu gostaria de
mudar a base aqui.
Mas como eu faço isso?
Bom, a forma que eu faria isso é
reescrever dois em relação a e
E o que seria dois em relação a e?
Bem, dois é igual a e elevado a potência
cujo resultado é dois.
E qual potência de e
obtém dois?
Essa potência é o log natural de dois.
Log natural de dois é a potência que
deve elevar e para obter dois.
Então, se você elevar e a isso,
você terá dois.
Então isto é o que dois é,
agora o que é dois elevado a x ao cubo?
Se elevamos ambos os lados por x ao cubo.
Dois elevado a x ao cubo é igual a,
se elevo algo a um expoente e então
elevar isso a outro expoente,
isso será igual a
e elevado a x ao cubo vezes
logaritmo natural de dois.
Isso já parece interessante.
Vamos reescrever isso.
Vamos prestar atenção na integral
indefinida primeiro e resolve-la.
E então vamos avaliar a definida.
Vamos pensar sobre a
integral indefinida de
x ao quadrado vezes dois elevado a
x ao cubo, dx.
Eu quero encontrar a antiderivada disso.
Isso será a mesma coisa que
a integral de, escreve-se
x ao quadrado ainda
ao invés de dois elevado a x ao cubo,
escrevo todo esse negócio.
Vou copiar e colar aqui.
Nós já definimos que isso
é a mesma coisa que
dois elevado a x ao cubo.
Substituindo aqui.
E fecha-se com dx.
Então, podemos ter a função
com base e,
isso é um pouco mais confortável,
mas ainda parece complicado.
Mas, pode-se dizer que uma substituição
por u pode ser útil aqui!
Porque temos essa expressão meio doida,
x elevado cubo vezes log natural de dois.
Mas qual é a derivada disso?
Isso será igual a três x ao quadrado
vezes log natural de dois,
ou três vezes log natural de 2
vezes x ao quadrado.
Isso é uma constante vezes x ao quadrado.
Nós já temos um x ao quadrado aqui,
e talvez possamos trabalhar um pouco
para ter uma constante também.
Vamos pensar sobre isso.
Se nós definirmos isso como u.
u é igual a x ao cubo vezes
log natural de dois.
O que será du?
du será igual a, como log natural de dois
é apenas uma constante
então, será três x ao quadrado
vezes log natural de dois,
nós podemos mudar a ordem em
que estamos multiplicando.
Ou seja, isso é o mesmo que x ao quadrado
vezes três log natural de dois,
o que é o mesmo que - usando
as propriedades logaritimicas
que x ao quadrado vezes log natural
de dois elevado ao cubo.
Três log natural de dois é a mesma coisa
que log natural de dois ao cubo.
Isso é igual a x ao quadrado vezes
log natural de oito.
Vejamos, se isso é igual a u, o que é du?
E não podemos esquecer de dx.
Isso é o dx bem aqui, dx, dx, dx.
Onde está o du?
Nós temos dx, vamos destacar aqui.
Dx está aqui e aqui.
Você tem x ao quadrado aqui e aqui.
O que precisamos é de um
log natural de oito.
O ideal seria um log natural de oito aqui.
E nós podemos multiplicar
por log natural de oito
desde que seja feita a divisão
por log natural de oito.
Podemos fazer isso bem aqui, divide-se
sobre log natural de oito
mas nós sabemos que a antiderivada de uma
constante vezes uma função
é a mesma coisa que uma constante da
antiderivada daquela função.
E nós podemos passar
para fora da integral.
Então é 1 dividido pelo log natural de 8.
Escrevemos isso em termos de u e du.
Simplifica-se para 1 dividido pelo ln de 8
vezes a antiderivada de e elevado a u,
Esse é u. du.
Isso, vezes isso, vezes aquilo é du.
E isso é bem direto.
Nós sabemos resolver isso.
Isso será igual a...
Escrevemos 1 dividido pelo ln de 8 aqui
vezes e elevado a u.
E pensando em antiderivada teremos
uma constante aqui.
Então, nós revertemos a substituição,
nós já sabemos o que u é.
Isso será igual a antiderivada
dessa expressão.
É igual a 1 dividido pelo ln de 8
vezes e elevado a,
ao invés de u, sabemos que u é igual
x ao cubo vezes log natural de dois,
e colocamos mais a constante c aqui.
Agora, nós voltamos para
o problema original.
Nós precisamos avaliar a antiderivada
disso em cada um desses pontos.
Vamos reescrever isso. Considerando
o que descobrimos.
(Vou copiar e colar isso.)
Isso será igual a antiderivada
calculada para um
menos a antiderivada calculada para zero.
Não preocupe-se com as constantes
porque elas vão se cancelar.
Assim teremos - vamos
calcular primeiro em um.
Assim teremos 1 dividido pelo ln de 8
vezes e elevado a um ao cubo
o que é um.
Vezes o log natural de dois,
é o que temos em um.
E agora subtraímos o calculado para zero.
Isso é 1 dividio pelo ln de 8
vezes e elevado a,
como x é igual a zero, tudo
isso se torna zero
Então, e elevado a zero é um enquanto
e elevado a log natural de dois
isso será igual a dois.
Já vimos isso antes.
Isto é igual a dois.
Então ficamos com 2 dividido pelo ln 8
menos 1 dividido pelo ln 8
o que é igual a 1 dividido pelo ln de 8.
E está resolvido.
Legendado por [ Marcos Pereira ]
Revisado por [Rodrigo Melges]