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U substitution with exponential function

  • 0:01 - 0:02
    0부터 1까지
  • 0:02 - 0:08
    x² 곱하기 2의 x³제곱의
  • 0:08 - 0:14
    정적분 값을 계산해봅시다
  • 0:14 - 0:16
    항상 말하지만 영상을 멈추고
  • 0:16 - 0:21
    스스로 풀어보는 것을 추천합니다
  • 0:21 - 0:23
    식을 보면 몇 가지 특이한 점이 있는데
  • 0:23 - 0:24
    식을 보면 몇 가지 특이한 점이 있는데
  • 0:24 - 0:26
    밑을 e로 가지는 x에 대한
  • 0:26 - 0:28
    지수함수의 미적분은 익숙하지만
  • 0:28 - 0:32
    다른 밑의 지수함수의 미적분은 처음입니다
  • 0:32 - 0:35
    ∫eⁿdn = eⁿ+C
  • 0:35 - 0:38
    라는 것은 알고 있습니다
  • 0:38 - 0:44
    라는 것은 알고 있습니다
  • 0:44 - 0:48
    하지만 주어진 식의 경우
  • 0:48 - 0:50
    "e가 아닌 밑에 x에 대한
    지수식이 있기 때문에"
  • 0:50 - 0:52
    밑을 변환하면 편할 것 같습니다
  • 0:52 - 0:56
    어떻게 밑을 변형할 수 있을까요?
  • 0:56 - 1:01
    2를 e에 대해 나타내면 됩니다
  • 1:01 - 1:03
    2는 e에 대해 어떤 형태일까요
  • 1:03 - 1:10
    e의 몇 제곱을 해야 2가 되는지
  • 1:10 - 1:13
    e의 몇 제곱을 해야 2가 되는지
  • 1:13 - 1:14
    생각해보면
  • 1:14 - 1:16
    생각해보면
  • 1:16 - 1:19
    바로 ln2입니다
  • 1:19 - 1:22
    즉 e의 지수에 ln2를 삽입해야
  • 1:22 - 1:24
    전체값이 2가 됩니다
  • 1:24 - 1:28
    식으로 나타내면
  • 1:28 - 1:30
    e^ln2=2 입니다
  • 1:30 - 1:32
    2의 x³제곱은 어떻게 e로 나타낼까요
  • 1:32 - 1:34
    e^ln2=2의 양변을 x³제곱하면
  • 1:34 - 1:38
    e^ln2=2의 양변을 x³제곱하면
  • 1:38 - 1:41
    2의 x³제곱은
  • 1:41 - 1:43
    e의 x³ln2와 같다는
  • 1:43 - 1:50
    결과가 나옵니다
  • 1:50 - 1:53
    즉 정리하면
  • 1:53 - 1:56
    2^x³ = e^(x³ln2) 입니다
  • 1:56 - 1:59
    식의 형태가 정말 흥미롭습니다
  • 1:59 - 2:02
    식을 다시 써보고
  • 2:02 - 2:04
    부정적분에만 집중해서
  • 2:04 - 2:05
    식이 적분 가능한지 알아봅시다
  • 2:05 - 2:06
    부정적분에 0과1을 대입하면
  • 2:06 - 2:09
    정적분은 쉽게 구해지기 때문이죠
  • 2:09 - 2:12
    부정적분 ∫ x²2^x³ dx
  • 2:12 - 2:15
    부정적분 ∫ x²2^x³ dx
  • 2:15 - 2:18
    에 대해 생각해봅시다
  • 2:18 - 2:21
    식의 역도함수를 구해야 합니다
  • 2:21 - 2:23
    2^x³의 자리에
  • 2:23 - 2:28
    앞서 변형하여 구했던
  • 2:28 - 2:30
    e^(x³ln2)를 그대로 대입합니다
  • 2:30 - 2:32
    식을 정리해보면
  • 2:32 - 2:34
    2^x³ = e^(x³ln2) 라는 것은
  • 2:34 - 2:35
    2^x³ = e^(x³ln2) 라는 것은
  • 2:35 - 2:38
    앞서 증명되었기 때문에
  • 2:38 - 2:43
    결과를 그대로 붙여넣고
  • 2:43 - 2:49
    적분식을 dx로 닫아줍니다
  • 2:49 - 2:52
    e를 밑으로 가지는 식으로 변형해
  • 2:52 - 2:53
    계산이 조금 수월해졌습니다
  • 2:53 - 2:55
    하지만 여전히 복잡합니다
  • 2:55 - 2:58
    이때 치환적분을 이용해 봅시다
  • 2:58 - 3:01
    이때 치환적분을 이용해 봅시다
  • 3:01 - 3:05
    e^(x³ln2)라는 복잡한 지수를 가지는
  • 3:05 - 3:08
    e^(x³ln2)라는 복잡한 지수를 가지는
  • 3:08 - 3:09
    항을 미분하면
  • 3:09 - 3:11
    3x²이 됩니다
  • 3:11 - 3:14
    3x²이 됩니다
  • 3:14 - 3:16
    즉 상수항에 x²을 곱한 것입니다
  • 3:16 - 3:19
    앞에 x²이 이미 있기 때문에
  • 3:19 - 3:23
    적당히 변형하여
  • 3:23 - 3:24
    치환 적분할 수 있습니다
  • 3:24 - 3:28
    x³ln2를 u라고 할 때
  • 3:28 - 3:33
    x³ln2를 u라고 할 때
  • 3:33 - 3:36
    du는 어떻게 될까요
  • 3:36 - 3:40
    ln2는 상수이므로
  • 3:40 - 3:42
    du=3x²ln2가 됩니다
  • 3:42 - 3:46
    du=3x²ln2가 됩니다
  • 3:46 - 3:47
    x²을 앞으로 빼서
  • 3:47 - 3:49
    곱하는 순서만 바꾸면
  • 3:49 - 3:50
    du=x²3ln2 입니다
  • 3:50 - 3:56
    du=x²3ln2 입니다
  • 3:56 - 3:59
    로그법칙에 의해
  • 3:59 - 4:04
    3ln2=ln2³ 이고
  • 4:04 - 4:05
    ln2³은 ln8과 같기 때문에
  • 4:05 - 4:07
    결국 du=x²ln8 입니다
  • 4:07 - 4:14
    결국 du=x²ln8 입니다
  • 4:14 - 4:16
    u=x³ln2일 때
    적분식에서 du를 찾아볼까요
  • 4:16 - 4:20
    x에 대해 적분했으므로
  • 4:20 - 4:26
    dx를 붙여야 합니다
  • 4:26 - 4:30
    적분식을 du 형태로 만들어 봅시다
  • 4:30 - 4:33
    공통적으로 dx를 가지고
  • 4:33 - 4:36
    x²도 가집니다
  • 4:36 - 4:38
    ln8만 추가적으로 곱하면
  • 4:38 - 4:41
    du와 같은 형태가 됩니다
  • 4:41 - 4:44
    이상적인 치환적분을 위해
  • 4:44 - 4:47
    앞에 ln8을 곱해주고
  • 4:47 - 4:49
    다시 ln8로 나눠줍니다
  • 4:49 - 4:53
    곱했다가 나눴으므로
  • 4:53 - 4:56
    값에는 영향을 주지 않죠
  • 4:56 - 4:59
    그러므로 곱했다가 나눠줍니다
  • 4:59 - 5:01
    하지만 함수의 상수 배의 적분은
  • 5:01 - 5:04
    함수의 적분에 상수를 곱한 것과 같으므로
  • 5:04 - 5:06
    앞서 나눴던 ln8을
  • 5:06 - 5:08
    ∫ 앞으로 빼서 곱해줍니다
  • 5:08 - 5:12
    즉 1/ln8 ∫ ln8x²e^(x³ln2)dx 입니다
  • 5:13 - 5:15
    식을 u와 du의 형태로 써봅시다
  • 5:15 - 5:19
    1/ln8 곱하기
  • 5:19 - 5:24
    ∫ e의 u제곱에
  • 5:24 - 5:32
    du= ln8 × x² × dx 이므로
  • 5:32 - 5:37
    정리하면 1/ln8 ∫ e^u du 입니다
  • 5:37 - 5:39
    이 적분은 우리가 아는
  • 5:39 - 5:41
    단순한 적분으로
  • 5:41 - 5:43
    ∫ e^x dx = e^x 에 따라
  • 5:43 - 5:46
    1/ln8 e^u 입니다
  • 5:46 - 5:56
    1/ln8 e^u 입니다
  • 5:56 - 5:58
    부정적분을 다루고 있기 때문에
  • 5:58 - 6:00
    적분 상수 C를 잊어서는 안 됩니다
  • 6:00 - 6:03
    다시 치환했던 u의 자리에
  • 6:03 - 6:04
    x³ln2를 대입하면
  • 6:04 - 6:07
    1/ln8 곱하기
  • 6:07 - 6:12
    e^(x³ln2)이므로
  • 6:12 - 6:15
    정리하면
  • 6:15 - 6:19
    1/ln8 e^(x³ln2) +C 입니다
  • 6:19 - 6:22
    1/ln8 e^(x³ln2) +C 입니다
  • 6:22 - 6:24
    처음 주어진 문제로 돌아가 봅시다
  • 6:24 - 6:27
    이제 적분 결과에 양 끝의 숫자를
  • 6:27 - 6:30
    대입해주기만 하면 됩니다
  • 6:30 - 6:31
    정리한 식을 다시 써봅시다
  • 6:31 - 6:36
    정적분을 계산하면
  • 6:36 - 6:40
    적분결과 1/ln8 e^(x³ln2) 에
  • 6:40 - 6:44
    x=1 대입값에서
  • 6:44 - 6:47
    x=0 대입값을 뺍니다
  • 6:47 - 6:48
    C는 계산과정에서 소거되기 때문에
  • 6:48 - 6:50
    고려하지 않아도 됩니다
  • 6:50 - 6:54
    먼저 부정적분 결과에
  • 6:54 - 6:56
    x=1을 대입해 봅시다
  • 6:57 - 7:00
    x자리에 1을 대입면
  • 7:00 - 7:05
    e의 지수는 1³ × ln2로
  • 7:05 - 7:08
    1/ln8 e^ln2 가 됩니다
  • 7:08 - 7:11
    1/ln8 e^ln2 가 됩니다
  • 7:11 - 7:15
    식에서 x=0 대입값을 빼서 구합니다
  • 7:15 - 7:18
    x자리에 0을 대입하면
  • 7:18 - 7:22
    e의 지수 전체가 0이 되고
  • 7:22 - 7:24
    e의 0제곱은 1이므로
  • 7:24 - 7:29
    x=0 대입값은 1/ln8입니다
  • 7:29 - 7:32
    앞서 구했듯
  • 7:32 - 7:34
    e의 ln2제곱은 2이므로
  • 7:34 - 7:36
    2/ln8-1/ln8만 남아
  • 7:36 - 7:39
    2/ln8-1/ln8만 남아
  • 7:39 - 7:42
    계산하면
  • 7:42 - 7:48
    1/ln8입니다
  • 7:48 - 7:52
    이로써 드디어 답을 구했습니다
Title:
U substitution with exponential function
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:53

Korean subtitles

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