0부터 1까지 x² 곱하기 2의 x³제곱의 정적분 값을 계산해봅시다 항상 말하지만 영상을 멈추고 스스로 풀어보는 것을 추천합니다 식을 보면 몇 가지 특이한 점이 있는데 식을 보면 몇 가지 특이한 점이 있는데 밑을 e로 가지는 x에 대한 지수함수의 미적분은 익숙하지만 다른 밑의 지수함수의 미적분은 처음입니다 ∫eⁿdn = eⁿ+C 라는 것은 알고 있습니다 라는 것은 알고 있습니다 하지만 주어진 식의 경우 "e가 아닌 밑에 x에 대한 지수식이 있기 때문에" 밑을 변환하면 편할 것 같습니다 어떻게 밑을 변형할 수 있을까요? 2를 e에 대해 나타내면 됩니다 2는 e에 대해 어떤 형태일까요 e의 몇 제곱을 해야 2가 되는지 e의 몇 제곱을 해야 2가 되는지 생각해보면 생각해보면 바로 ln2입니다 즉 e의 지수에 ln2를 삽입해야 전체값이 2가 됩니다 식으로 나타내면 e^ln2=2 입니다 2의 x³제곱은 어떻게 e로 나타낼까요 e^ln2=2의 양변을 x³제곱하면 e^ln2=2의 양변을 x³제곱하면 2의 x³제곱은 e의 x³ln2와 같다는 결과가 나옵니다 즉 정리하면 2^x³ = e^(x³ln2) 입니다 식의 형태가 정말 흥미롭습니다 식을 다시 써보고 부정적분에만 집중해서 식이 적분 가능한지 알아봅시다 부정적분에 0과1을 대입하면 정적분은 쉽게 구해지기 때문이죠 부정적분 ∫ x²2^x³ dx 부정적분 ∫ x²2^x³ dx 에 대해 생각해봅시다 식의 역도함수를 구해야 합니다 2^x³의 자리에 앞서 변형하여 구했던 e^(x³ln2)를 그대로 대입합니다 식을 정리해보면 2^x³ = e^(x³ln2) 라는 것은 2^x³ = e^(x³ln2) 라는 것은 앞서 증명되었기 때문에 결과를 그대로 붙여넣고 적분식을 dx로 닫아줍니다 e를 밑으로 가지는 식으로 변형해 계산이 조금 수월해졌습니다 하지만 여전히 복잡합니다 이때 치환적분을 이용해 봅시다 이때 치환적분을 이용해 봅시다 e^(x³ln2)라는 복잡한 지수를 가지는 e^(x³ln2)라는 복잡한 지수를 가지는 항을 미분하면 3x²이 됩니다 3x²이 됩니다 즉 상수항에 x²을 곱한 것입니다 앞에 x²이 이미 있기 때문에 적당히 변형하여 치환 적분할 수 있습니다 x³ln2를 u라고 할 때 x³ln2를 u라고 할 때 du는 어떻게 될까요 ln2는 상수이므로 du=3x²ln2가 됩니다 du=3x²ln2가 됩니다 x²을 앞으로 빼서 곱하는 순서만 바꾸면 du=x²3ln2 입니다 du=x²3ln2 입니다 로그법칙에 의해 3ln2=ln2³ 이고 ln2³은 ln8과 같기 때문에 결국 du=x²ln8 입니다 결국 du=x²ln8 입니다 u=x³ln2일 때 적분식에서 du를 찾아볼까요 x에 대해 적분했으므로 dx를 붙여야 합니다 적분식을 du 형태로 만들어 봅시다 공통적으로 dx를 가지고 x²도 가집니다 ln8만 추가적으로 곱하면 du와 같은 형태가 됩니다 이상적인 치환적분을 위해 앞에 ln8을 곱해주고 다시 ln8로 나눠줍니다 곱했다가 나눴으므로 값에는 영향을 주지 않죠 그러므로 곱했다가 나눠줍니다 하지만 함수의 상수 배의 적분은 함수의 적분에 상수를 곱한 것과 같으므로 앞서 나눴던 ln8을 ∫ 앞으로 빼서 곱해줍니다 즉 1/ln8 ∫ ln8x²e^(x³ln2)dx 입니다 식을 u와 du의 형태로 써봅시다 1/ln8 곱하기 ∫ e의 u제곱에 du= ln8 × x² × dx 이므로 정리하면 1/ln8 ∫ e^u du 입니다 이 적분은 우리가 아는 단순한 적분으로 ∫ e^x dx = e^x 에 따라 1/ln8 e^u 입니다 1/ln8 e^u 입니다 부정적분을 다루고 있기 때문에 적분 상수 C를 잊어서는 안 됩니다 다시 치환했던 u의 자리에 x³ln2를 대입하면 1/ln8 곱하기 e^(x³ln2)이므로 정리하면 1/ln8 e^(x³ln2) +C 입니다 1/ln8 e^(x³ln2) +C 입니다 처음 주어진 문제로 돌아가 봅시다 이제 적분 결과에 양 끝의 숫자를 대입해주기만 하면 됩니다 정리한 식을 다시 써봅시다 정적분을 계산하면 적분결과 1/ln8 e^(x³ln2) 에 x=1 대입값에서 x=0 대입값을 뺍니다 C는 계산과정에서 소거되기 때문에 고려하지 않아도 됩니다 먼저 부정적분 결과에 x=1을 대입해 봅시다 x자리에 1을 대입면 e의 지수는 1³ × ln2로 1/ln8 e^ln2 가 됩니다 1/ln8 e^ln2 가 됩니다 식에서 x=0 대입값을 빼서 구합니다 x자리에 0을 대입하면 e의 지수 전체가 0이 되고 e의 0제곱은 1이므로 x=0 대입값은 1/ln8입니다 앞서 구했듯 e의 ln2제곱은 2이므로 2/ln8-1/ln8만 남아 2/ln8-1/ln8만 남아 계산하면 1/ln8입니다 이로써 드디어 답을 구했습니다