Як знайти дільники числа?

У цьому відео показано, як знайти всі дільники числа.
Це відео - українська версія відео «Finding Factors of a Number» Академії Хана (http://www.khanacademy.org/video?v=vcn2ruTOwFo). Переклад і дублювання виконані командою проекту «School Champion» (http://www.schoolchampion.com) за підтримки ВБО «Фонд Віктора Пінчука - соціальна ініціатива» (http://pinchukfund.org).

This video is a Ukrainian dubbed version of the Khan Academy video "Finding Factors of a Number" (http://www.khanacademy.org/video?v=vcn2ruTOwFo). The translation and sampling are made by the "School Champion" team (http://www.schoolchampion.com) with the support of the Victor Pinchuk Foundation (http://pinchukfund.org).

Наша сторінка на Facebook - https://www.facebook.com/KhanAcademyUkrainian

Вітаю!

Наше завдавання – знайти всі дільники числа 120.

Іншими словами, нам потрібно знайти всі додатні цілі числа,

на які ділиться число 120.

Почнемо з найочевиднішого.

Ми знаємо, що всі числа діляться на 1.

Отже, ми можемо записати, що 120=1*120.

Ось тут праворуч давайте одразу записувати дільники числа 120.

Тільки-но ми знайшли два дільники.

120 ділиться на 1.

Усі числа діляться на 1.

Першою ми записуємо саме одиницю.

Одиниця – це найменший дільник.

А найбільший (у даному випадку) – це 120.

Не існує числа, більшого за 120, на яке б ділилося число 120 націло.

Наприклад, 121 число 120 не кратне.

Отже, найбільшим (у цьому випадку) дільником буде число 120.

Тепер з’ясуємо, яким іншим числам кратне число 120.

Давайте подумаємо, чи ділиться 120 на 2?

Чи дорівнює 120 добутку 2 і ще якогось числа?

Якщо ми подивимося на число 120,

то очевидно, що це парне число, в розряді одиниць у нього 0.

А ми знаємо, якщо в розряді одиниць у числа 0, 2, 4, 6 або 8,

то це число є парним, а отже, воно ділиться на 2.

А щоб визначити, яке число ми повинні помножити на 2,

щоб отримати 120, міркуватимемо так.

120 – це те саме, що і 1210, або ж 2610, або 260.

А можна було просто поділити 120 на 2.

Давайте так і зробимо. 120:2. 1 на 2 не ділиться.

12 на 2 ділиться. У 12 число 2 міститься 6 разів.

6*2=12. Віднімаємо: 12-12=0. Зносимо ось цей 0.

В нулі 2 міститься 0 разів. Записуємо 0.

Таким чином, 120:2=60.

А це означає, що в нас є ще два дільники.

Наступний серед найменших дільників – це 2,

а наступний серед найбільших (у порядку зменшення) – це 60.

А як щодо 3? Чи ділиться 120 на 3?

Записуємо: 120 дорівнює 3 помножити на щось.

Можна, звичайно, з самого початку спробувати поділити 120 на 3,

проте ми знаємо ознаку подільності на 3.

Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді,

коли сума цифр цього числа ділиться на 3.

У нас число 120.

Давайте додамо цифри цього числа:

1+2+0 – це те саме, що і 1+2, а це дорівнює 3.

А 3 точно ділиться на 3.

А отже, і число 120 ділиться на 3.

А щоб з’ясувати, яке число, помножене на 3, дорівнює 120,

ми можемо поділити 120 на 3.

А можемо зробити інакше.

У 12 число 3 міститься 4 рази, але в нас число не 12, а 120,

отже, дописуємо до 4 ще 0.

І давайте все ж таки ще поділимо у стовпчик, і подивимося, що вийде. 120:3.

1 на 2 не ділиться, переходимо до 12.

У 12 число 3 міститься 4 рази. 4*3=12.

Віднімаємо і отримуємо 0. Зносимо ось цей 0.

3 міститься у нулі 0 разів. 0*3=0. 0-0=0. У залишку 0.

Таким чином, 120:3=40.

Хоча можна було з’ясувати це і подумки.

120 – це те саме, що і 12*10.

12:3=4, отже, це буде 4*10, тобто 40.

Як вам більше подобається, так і робіть.

Можна з самого початку не зважати на 0, 12:3=4,

а потім цей 0 у кінці дописати до 4.

У будь-якому випадку ми отримаємо 40.

Отже, у нас стає ще на 2 дільники більше.

З лівого боку ми записуємо 3, а з правого, відповідно, – 40.

А тепер подивимося, чи ділиться 120 на 4.

Давайте згадаємо ознаку подільності чисел на 4.

Число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли значення,

утворене двома останніми цифрами даного числа, ділиться на 4.

Чи дорівнює 120 4 помножити на якесь число?

Число, утворене двома останніми цифрами 120, – це 20.

А 20, ми знаємо, ділиться на 4.

А це означає, що і число 120 ділиться на 4.

4 є дільником числа 120.

А визначити, на яке число ми маємо помножити 4, щоб отримати 120,

ми можемо і подумки.

12:4=3, а отже, 120:4=30.

Маємо ще два дільники: 4 і 30.

Можна, звичайно, було порахувати і в стовпчик, скільки буде 120:4.

Ідемо далі.

Чи дорівнює 120 добутку 5 і ще якогось числа?

Знову ж таки згадуємо ознаку подільності чисел на 5.

Будь-яке число, що закінчується на 0 або 5, ділиться на 5.

У числа 120 в розряді одиниць 0, а отже, 120 точно ділиться на 5.

Давайте тепер подивимося, скільки разів 5 міститься у 120.

120:5. 1 на 5 не ділиться, 1 менше за 5. 12 на 5 ділиться.

Скільки разів 5 міститься у 12?

2 рази. 2*5=10. Віднімаємо 10 від 12 і отримуємо 2.

Зносимо 0. У 20 число 5 міститься рівно 4 рази. 4*5=20.

Віднімаємо 20 від 20 і у залишку отримуємо 0.

Так і має бути, адже 120 повинно націло ділитися на 5.

Усі числа, що закінчуються на 0 або 5, кратні 5.

Ділення у стовпчик ми видаляємо.

Отже, 120 також дорівнює 5 помножити на 24.

Маємо ще 2 дільники: 5 і 24.

Я, мабуть, звільню місце посередині між дільниками,

оскільки щось мені підказує, їх в нас буде ще багатенько.

Виділяємо, вирізаємо і вставляємо.

Переносимо ось сюди частину дільників.

Тепер місця, думаю, достатньо.

Отже, ми записали ще два дільники: 5 і 24.

Переходимо до числа 6.

Чи ділиться 120 на 6?

Чи дорівнює 120 добутку 6 і якогось числа?

Щоб число було кратне 6, воно одночасно має бути кратним 2 і 3.

Ми знаємо, що 120 ділиться і на 2, і на 3, а отже, воно ділиться і на 6.

Хоча можна було поділити 120 на 6 і подумки.

Тут все доволі просто, з п’ятіркою було складніше.

12:6=2, і ще потрібно дописати 0 до 2, адже ми ділимо на 6 не 12, а 120.

Отже, 120:6=20.

А можна було, звичайно, порахувати і у стовпчик.

Таким чином, 6 та 20 також є дільниками числа 120.

А як щодо числа 7?

7 – це дуже незвичайне число.

Визначити, чи кратне число 7, можна лише, поділивши 120 на 7 у стовпчик.

Отже, 120 поділити на 7. 1 на 7 не ділиться, 1 менше за 7.

12 на 7 ділиться. 7 міститься у 12 1 раз. 1*7=7.

Тепер віднімаємо: 12-7=5.

Зносимо 0. Маємо 50.

Ми знаємо, що 7*7=49. Отже, у 50 число 7 міститься 7 разів.

7*7=49. Віднімаємо і маємо у залишку 1.

Отже, 120 націло на 7 не ділиться.

А це означає, що 7 не є дільником числа 120.

А чи кратне 8 число 120? Чи ділиться 120 на 8?

Робимо так само, як і попередні рази. Ділимо 120 на 8.

На 1 число 8 не ділиться, 1 менше за 8.

У 12 число 8 міститься 1 раз. 1*8=8.

Віднімаємо: 12-8=4.

Зносимо 0. У 40 число 8 міститься рівно 5 разів. 5*8=40.

Віднімаємо і у залишку отримуємо 0.

Таким чином, 120 націло ділиться на 5.

Ось це все видаляємо.

Отже, ми можемо записати, що 120=8*15.

Додаємо 8 та 15 до нашого списку дільників: 8 та 15.

А чи ділиться 120 на 9?

Чи кратне 9 число 120?

Щоб з’ясувати, потрібно лише додати цифри числа 120. 1+2+0=3.

Це задовольняє ознаці подільності на 3,

проте не задовольняє ознаці подільності на 9.

Отже, число 120 не ділиться на 9. 9 нам не підходить.

Переходимо до числа 10. З десяткою все просто.

120 закінчується на 0, а отже, це число ділиться на 10.

Запишемо: 120 дорівнює 10 помножити… тут також все просто.

… 10 помножити на 12.

Добуток 10 та 12 насправді дорівнює 120.

Давайте запишемо ще й ці дільники: 10 та 12.

І нам залишається перевірити лише одне число – 11.

Усі інші дільники в нас вже записані.

Інших чисел, яким кратне 120, більше немає.

Ось тут записані всі дільники числа 120 у порядку зменшення.

Подивимося, чи ділиться 120 на 11. 120 поділити на 11.

1 не ділиться на 11, 1 менше за 11.

У 12 число 11 міститься 1 раз. 1*11=11.

12-11=1.

Зносимо 0. У 10 число 11 міститься 0 разів.

Записуємо 0. 0*11=0.

Віднімаємо і у залишку маємо 10.

Таким чином, 120 поділити на 11 дорівнює 10, і у залишку 10.

А це означає, що 120 націло на 11 не ділиться.

Таким чином, це і є всі дільники числа 120:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 і 120.

Ми впоралися із завданням.

А наразі все, і до зустрічі на наступному уроці!