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Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    我们知道
  • 0:02 - 0:04
    f(x)等于这个无穷级数，
  • 0:04 - 0:05
    我们需要算出
  • 0:05 - 0:10
    f的三级导数在x=0的时候是什么。
  • 0:10 - 0:12
    像往常一样，暂停一下这个视频
  • 0:12 - 0:15
    然后看看自己能不能做出来。
  • 0:15 - 0:17
    好的，有两个方法。
  • 0:17 - 0:20
    一个是我们可以在还是西格玛符号中
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    取这个表达式的导数。
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    另外一个方法是我们可以
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    展开f(x)然后取三次导数，
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    然后看看是否能够得到答案。
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    让我先用第二种方法做。
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    让我展开它。
  • 0:33 - 0:35
    看一下啊，当n=0时，F(x)等于
  • 0:35 - 0:38
    这个是-1的0次方，也就是1，
  • 0:38 - 0:42
    乘以x，乘以x的0次方加3，
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    所以它等于x的三次方
  • 0:46 - 0:50
    除以2乘以0，那么它是0加1阶乘，
  • 0:50 - 0:52
    那么它等于除以1。
  • 0:52 - 0:55
    然后下一项，当n等于1时，
  • 0:55 - 0:57
    现在它是-1的1次方，
  • 0:57 - 1:00
    所以现在我们前面有一个负号。
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    负数，它等于2乘以1加上3，
  • 1:03 - 1:07
    所以它等于x的5次方
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    除以2乘以1加1，那么它等于
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    2加1，是3的阶乘。
  • 1:16 - 1:18
    所以它等于x的5次方除以6。
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    然后当x=2时，
  • 1:21 - 1:23
    这个会再次是正数，
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    然后它等于x的7次方
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    除以5阶乘。
  • 1:32 - 1:33
    对吗？对的。
  • 1:33 - 1:35
    5阶乘。。。
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    实际上，让我写出5阶乘。
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    5阶乘是120。
  • 1:41 - 1:44
    它是5乘以4乘以6，所以是120。
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    但是我们可以继续做加减法，
  • 1:45 - 1:48
    然后它会一直一直下去。
  • 1:48 - 1:50
    好的，现在，让我们取导数。
  • 1:50 - 1:53
    F'(x)等于，
  • 1:53 - 1:55
    我们仍旧应用乘积法则，
  • 1:55 - 1:57
    它等于3x平方
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    减去5/6x的4次方，加上
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    7/5阶乘x的6次方，
  • 2:08 - 2:09
    我们用的是乘积法则，
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    加减，我们一直一直继续。
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    二阶导数，f''(x)等于
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    再次应用乘积法则，
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    它是6x减去4乘以5
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    除以6，我会把它写成20/6x的三次方，
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    加上6乘以7，所以是42除以5的阶乘
  • 2:36 - 2:39
    x的5次方，然后我们继续下去，
  • 2:39 - 2:42
    加减，继续。可能加减号会交替
  • 2:42 - 2:45
    减某个东西然后加某个东西，继续一直下去。
  • 2:45 - 2:46
    然后我们来到了三阶导数。
  • 2:46 - 2:49
    三阶导数等于，
  • 2:49 - 2:51
    让我看一下，6x的导数是6，
  • 2:51 - 2:56
    然后我们有-20乘以3是60/6，
  • 2:56 - 2:59
    也就是10，x的平方，
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    加上5乘以42，210除以5的阶乘
  • 3:04 - 3:07
    乘以x的四次方，一直
  • 3:07 - 3:09
    一直加减，然后
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    我们再计算在0的值。
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    F'''(0)，当x等于0时，
  • 3:15 - 3:18
    所有有x的这些项等于0，
  • 3:18 - 3:21
    然后你就剩下了6。
  • 3:21 - 3:23
    所以f''，0上的
  • 3:23 - 3:25
    三阶导数的值等于6。
  • 3:25 - 3:28
    现在另一种方法是
  • 3:28 - 3:30
    保持在这个Σ符号里。
  • 3:30 - 3:34
    我们说f'(x)等于
  • 3:34 - 3:39
    无限求和，让我把它们排列整齐。
  • 3:40 - 3:43
    这个是我们展开f'(x)的地方，
  • 3:43 - 3:47
    但是我们应该说f'(x)等于
  • 3:48 - 3:51
    n=0到无限大时候的和，
  • 3:53 - 3:54
    然后你取这里的导数，
  • 3:54 - 3:56
    你会得到，你会取
  • 3:56 - 3:58
    关于x的导数，所以为了这个，
  • 3:58 - 4:00
    有假设其他东西是
  • 4:00 - 4:03
    好吧，n会告诉我们的，
  • 4:03 - 4:05
    它告诉我们怎么从项到项变化，
  • 4:05 - 4:09
    所以如果我们取关于x的导数，
  • 4:09 - 4:11
    用乘积法则，把2n+3放到前面，
  • 4:11 - 4:14
    所以他等于-1的n次方
  • 4:14 - 4:18
    乘以2n加3，乘以x的递减，
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    指数，2n加上2
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    除以2n加上1阶乘。
  • 4:26 - 4:28
    然后如果你想取二阶导数，
  • 4:28 - 4:30
    这个和这个是一样的。
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    如果你取二阶导数，f''(x)，
  • 4:33 - 4:36
    现在我们求的是-1的n次方从0到
  • 4:36 - 4:40
    无限大的和。
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    让我稍微移到右边
  • 4:42 - 4:44
    这样有一些空间。
  • 4:44 - 4:47
    现在，我们把这个指数放到前面，
  • 4:47 - 4:50
    那么你会有2n加上3
  • 4:50 - 4:54
    乘以2n加上2，所有这些等于
  • 4:54 - 4:59
    1/2n+1阶乘，这个等于
  • 5:00 - 5:03
    乘以x的2n次方加1。
  • 5:05 - 5:08
    我每次做的事看似复杂，
  • 5:08 - 5:10
    实际上我只是把指数放到前面，
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    在前面做乘法然后递减。
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    所以2n+2减去1是2n+1。
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    然后如果我想取三阶导数，
  • 5:18 - 5:22
    三阶导数是n=0到无穷大
  • 5:22 - 5:25
    时的总和，-1的n次方。
  • 5:25 - 5:28
    我们取走它，带来它，乘以它，
  • 5:28 - 5:31
    所以我们会有2n+3
  • 5:31 - 5:35
    乘以2n+2，乘以2n+1，
  • 5:36 - 5:40
    所有这个除以2n+1的阶乘，
  • 5:43 - 5:46
    然后它等于
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    乘x的2n次方。
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    现在让我们算出当x=0时的值。
  • 5:59 - 6:03
    F''(0)等于-1的n次方
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    从n=0到无穷大的总和。
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    这会很有趣。
  • 6:12 - 6:13
    我们会把这整个东西，
  • 6:13 - 6:16
    2n+3乘以2n+2
  • 6:17 - 6:20
    乘以2n+1
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    除以2n+1的阶乘，
  • 6:25 - 6:27
    乘以0的2n次方。
  • 6:30 - 6:31
    你可能会说，嘿，
  • 6:31 - 6:34
    如果0到这些不同的次方，
  • 6:34 - 6:36
    可能所有东西都是0，
  • 6:36 - 6:38
    但是要记得，我们从n=0开始，
  • 6:38 - 6:41
    所以对于不等于0的n，
  • 6:41 - 6:43
    这个0到那个次方等于零
  • 6:43 - 6:45
    并且那一项会消失，
  • 6:45 - 6:47
    有点像我们之前展开它的时候的样子。
  • 6:47 - 6:48
    所以这里唯一重要的项
  • 6:48 - 6:51
    是当n=0的时候。
  • 6:51 - 6:54
    这个等于，
  • 6:54 - 6:56
    因为对于n=1，2，3，4，5，
  • 6:56 - 6:59
    一直到无穷大，这个东西将会占据主导。
  • 6:59 - 7:00
    它会做乘法，会变成0。
  • 7:00 - 7:02
    你会用0取消所有。
  • 7:02 - 7:04
    所以这个将会递减到第一项，
  • 7:04 - 7:07
    当n=0时，
  • 7:07 - 7:09
    它等于-1的0次方。
  • 7:09 - 7:12
    也就是1。
  • 7:12 - 7:15
    让我把它写成1。
  • 7:15 - 7:18
    乘以，这个是3乘以2乘以1
  • 7:21 - 7:25
    除以1的阶乘，然后乘以0的0次方，
  • 7:28 - 7:30
    也就是1。
  • 7:30 - 7:33
    所以这个等于1，所以这个是6。
  • 7:33 - 7:35
    或者，我觉得我们做的第一个方法
  • 7:35 - 7:38
    更加简单易懂，
  • 7:38 - 7:41
    更加直观，更加接近
  • 7:41 - 7:43
    你之前看到的，但是重要的是
  • 7:43 - 7:45
    意识到我们做了同一件事两次，
  • 7:45 - 7:47
    我们这次只是
  • 7:47 - 7:48
    把它放在Σ符号中。
  • 7:48 - 7:51
    这个技巧很有用，因为你会
  • 7:51 - 7:53
    在数学上见到很多，你可能
  • 7:53 - 7:56
    需要用更笼统的方法，所以
  • 7:56 - 7:58
    在Σ符号里取导数
  • 7:58 - 8:00
    可能是很有帮助的。
Title:
Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
08:02

Chinese, Simplified subtitles

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