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Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

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    我们知道
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    f(x)等于这个无穷级数，
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    我们需要算出
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    f的三级导数在x=0的时候是什么。
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    像往常一样，暂停一下这个视频
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    然后看看自己能不能做出来。
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    好的，有两个方法。
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    一个是我们可以在还是西格玛符号中
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    取这个表达式的导数。
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    另外一个方法是我们可以
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    展开f(x)然后取三次导数，
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    然后看看是否能够得到答案。
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    让我先用第二种方法做。
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    让我展开它。
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    看一下啊，当n=0时，F(x)等于
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    这个是-1的0次方，也就是1，
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    乘以x，乘以x的0次方加3，
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    所以它等于x的三次方
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    除以2乘以0，那么它是0加1阶乘，
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    那么它等于除以1。
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    然后下一项，当n等于1时，
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    现在它是-1的1次方，
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    所以现在我们前面有一个负号。
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    负数，它等于2乘以1加上3，
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    所以它等于x的5次方
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    除以2乘以1加1，那么它等于
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    2加1，是3的阶乘。
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    所以它等于x的5次方除以6。
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    然后当x=2时，
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    这个会再次是正数，
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    然后它等于x的7次方
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    除以5阶乘。
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    对吗？对的。
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    5阶乘。。。
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    实际上，让我写出5阶乘。
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    5阶乘是120。
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    它是5乘以4乘以6，所以是120。
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    但是我们可以继续做加减法，
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    然后它会一直一直下去。
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    好的，现在，让我们取导数。
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    F'(x)等于，
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    我们仍旧应用乘积法则，
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    它等于3x平方
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    减去5/6x的4次方，加上
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    7/5阶乘x的6次方，
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    我们用的是乘积法则，
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    加减，我们一直一直继续。
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    二阶导数，f''(x)等于
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    再次应用乘积法则，
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    它是6x减去4乘以5
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    除以6，我会把它写成20/6x的三次方，
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    加上6乘以7，所以是42除以5的阶乘
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    x的5次方，然后我们继续下去，
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    加减，继续。可能加减号会交替
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    减某个东西然后加某个东西，继续一直下去。
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    然后我们来到了三阶导数。
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    三阶导数等于，
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    让我看一下，6x的导数是6，
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    然后我们有-20乘以3是60/6，
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    也就是10，x的平方，
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    加上5乘以42，210除以5的阶乘
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    乘以x的四次方，一直
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    一直加减，然后
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    我们再计算在0的值。
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    F'''(0)，当x等于0时，
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    所有有x的这些项等于0，
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    然后你就剩下了6。
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    所以f''，0上的
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    三阶导数的值等于6。
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    现在另一种方法是
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    保持在这个Σ符号里。
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    我们说f'(x)等于
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    无限求和，让我把它们排列整齐。
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    这个是我们展开f'(x)的地方，
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    但是我们应该说f'(x)等于
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    n=0到无限大时候的和，
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    然后你取这里的导数，
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    你会得到，你会取
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    关于x的导数，所以为了这个，
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    有假设其他东西是
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    好吧，n会告诉我们的，
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    它告诉我们怎么从项到项变化，
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    所以如果我们取关于x的导数，
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    用乘积法则，把2n+3放到前面，
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    所以他等于-1的n次方
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    乘以2n加3，乘以x的递减，
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    指数，2n加上2
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    除以2n加上1阶乘。
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    然后如果你想取二阶导数，
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    这个和这个是一样的。
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    如果你取二阶导数，f''(x)，
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    现在我们求的是-1的n次方从0到
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    无限大的和。
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    让我稍微移到右边
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    这样有一些空间。
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    现在，我们把这个指数放到前面，
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    那么你会有2n加上3
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    乘以2n加上2，所有这些等于
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    1/2n+1阶乘，这个等于
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    乘以x的2n次方加1。
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Title:
Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
08:02

Chinese, Simplified subtitles

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