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ウィリアムとルイスはサンタ・リタ
という町でそれぞれ他の先生の
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物理のクラスをとっています。
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ルイスの先生はいつも 30 問の
問題のある試験をします。
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一方,ウィリアムの先生は 24 問の
問題のある試験をしますが,
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(ルイスの先生よりも) 試験と
試験の間隔が短いです。
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また,ルイスの先生は年に
3 回のプロジェクトを課題にだします。
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これらの 2 つのクラスでは全部の
試験の回数は違いますが,
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先生たちは,両方のクラスで --
ここは下線をひいておきましょう
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両方のクラスで毎年全部で同じ数の
問題を出すと言っています。
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ウィリアムまたはルイスの
クラスで,ある年に出題される
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最小の試験の問題数は
何でしょうか?
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では何が起きているのか
考えてみましょう。
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もしルイスの先生,30 問の問題を
1 回の試験で出す先生について
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考えてみましょう。
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最初の試験では彼は
30 問の問題を解きました。
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ここは 0 だとします。
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2 回目の試験では,彼は 60 問
解くことになります。
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3 回目の試験の後には,
90 問を解くことになるでしょう。
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4 回目の試験では
120 問です。
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5 回目の試験の後は,…。
もし 5 回目の試験があればですが,
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そうすると,これだけの
数の試験があって,
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彼は全部で 150 問の問題を
解いたことになるでしょう。
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このように 30 の倍数を
続けていくことができます。
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これが多分何を私たちが求めようと
しているかのヒントになるでしょう。
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私たちは数の倍数を見ています。
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そして,一番小さな倍数,
最小の倍数を求めようとしています。
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これがルイスについてでした。
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では,ウィリアムはどうなるでしょうか?
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ウィリアムの先生の場合,
最初の試験で,
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生徒たちは 24 問の問題を
解くことになります。
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2 回目の試験の後では,48 問の
問題を解いたことになります。
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3 回目の試験の後には
72 問になります。
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それから次は 96 問になります。
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これは 24 の倍数に
ついて言っているだけです。
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4 回目の試験の後には
96 問になります。
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5 回目の試験の
後には 120 問です。
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6 回目の試験の後は,
144 問になるでしょう。
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このように続けていくことが
できるでしょう。
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では,問題が尋ねている
ことを見てみましょう。
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ウィリアムとルイスのクラスが
ある年で解く試験の
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最小の問題数は
何になるでしょうか?
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最小の数は,一回の
試験では異なる数の
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問題があるとしても,
両方が全部で同じ数の
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試験の問題を
出した点になります。
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そして同じ数になる点が,
120 というのはわかります。
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120 で同じ問題数になります。
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両方ともちょうど 120 問の
問題になることがあります。
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ルイスの先生が 1 回の
試験で 30 問だし,
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ウィリアムの先生が 1 回の試験で
24 問出したとしてもです。
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すると答えは 120 です。
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注意して下さい。ここでは
異なる数の試験がありました。
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ルイスには 1, 2, 3, 4 回の
試験がありました。
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一方でウィリアムは 1, 2, 3,
4, 5 回の試験を受けました。
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しかし,両方とも全部で
120 問の問題がありました。
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さて,ここでちょっと数学の記法,
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前に見た最小公倍数の
記法を考えましょう。
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これは実は 30 と 24 の最小
公倍数は何かを尋ねています。
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そしてこの最小公倍数は
120 に等しいです。
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また,最小公倍数を求める
方法として,このように
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単純に倍数を書いていくのでは
ない他の方法もあります。
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これを素因数分解を通して
見ていくことができます。
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30 は 2 かける 15 で,
それ (15) は 3 かける 5 です。
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すると,30 は 2 かける 3
かける 5 に等しいと言えます。
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そして 24,これにはちょっと
青でない他の色を使います。
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24 は 2 かける 12 に等しいです。
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12 は 2 かける 6 に等しい。
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6 は 2 かける 3 に等しい。
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すると,24 は 2 かける 2 かける
2 かける 3 に等しいです。
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最小公倍数を求める他の方法は,
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もしこちらの上の方法を
使わない場合でも,ちょっと,
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この数は 30 と 24 の両方で
割り切れなくてはいけない。
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その数が 30 で割り切れるのなら,
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その素因数分解の 2 かける 3
かける 5 でも割り切れるはずです。
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これは基本的に 30 です。
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すると,これで 30 で割り
切れるようになります。
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そして,24 で割り切れるためには,
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その素因数分解には 3 個の 2 と
1 個の 3 が必要です。
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ここにはもう 3 が 1 個あり,
2 も 1 個あります。
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ですからあと 2 個の 2 が
あればいいです。
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ですから 2 かける 2 です。
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これで,…,ちょっと
上にスクロールします。
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ここにある部分で 24 で
割り切れるようになります。
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するとこれが基本的には,
30 と 24 の最小公倍数の
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素因数分解になります。
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ここからどの数を一つ取り除いても,
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もうこちらの 2 つの数の両方では
割り切れなくなります。
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もし 2 を 1 個取れば,もう 24
で割り切れなくなります。
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もし 2 を 1 個か,3 を 1 個,…
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または 3 を 1 個, 5 を 1 個
とったりすれば,
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30 では割り切れなくなります。
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するとこれらの数を全部かけると,
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2 かける 2 かける 2 は
8 で,かける 3 は 24 で,
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それかける 5 は
120 に等しいです。
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ではもう 1 問こういうものを
解いてみましょう。
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ウマイマは 21 個のバインダーの
入ったパッケージを 1 つ買いました。
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この数を書いておきましょう。
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21 個のバインダーです。
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彼女は 30 本の鉛筆の入った
パッケージを 1 つ買いました。
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30 本の鉛筆。
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彼女はこれらのバインダーと
鉛筆を全部使って,
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同じ文房具の組を彼女の
クラスメイトのために
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作りたいと思いました。
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全部の文房具を使うと,
同じ文房具の組を
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ウマイマは最大でいくつ
作ることができるでしょうか?
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ここに「最大の」とあるので,
もしかしたら最大公約数を
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考えているのかもしれないという
ヒントになっています。
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また,この問題はこれらのものを
分けていることもヒントです。
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これらの両方を,同じ組が最大の
数になるように分けたいのです。
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これについて考える
方法はいくつかあります。
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両方の数の最大公約数は
何かについて考えてみましょう。
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または,最大共因数とも
言えるでしょう。
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21 と 30 の最大公約数です。
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これらの両方を割る
最大の数は何でしょうか?
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素因数分解で考えることもできます。
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または,これらの因数 (約数) を全部書き出して,
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共通する最大のものが
何かを見ることができます。
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または,素因数分解を
見ることもできます。
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では,素因数分解の
方法でやってみましょう。
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21 は 3 かける 7 と同じです。
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これらは両方とも素数です。
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30 は,そうですね
3 …。実は,
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こういうふうにも書けます。
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これは 2 かける 15 です。
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実はさっきやりましたね。
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そして 15 は 3 かける 5 です。
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では,両方の因数分解で,共通する
最大の素数は何でしょうか?
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そうですね。ここにあるのは 3 だけです。
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3 で割るより他はありません。
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するとこれは 3 に等しいです。
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するとこれが基本的に言っているのは,
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これらの数は両方とも
3 で割ることができる。
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それが最大の同じ文
房具の組の数になります。
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ちょっと何をしているのか,
はっきりさせましょう。
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この問題の答えは 3 でした。
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しかしこの問題をちょっと
可視化してみましょう。
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21 個のバインダーを
描いてみます。
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21 個のバインダーは,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
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8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
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15, 16, 17, 18, 19, 20, 21。
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そして 30 本の鉛筆です。
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これは緑で描きます。
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すると,1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10。
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これはコピーペーストしましょう。
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続けても退屈でしょう。
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では,コピーペーストです。
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これで 20 で,
ペーストすると 30 です。
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さて,これらの両方を等しく分ける
最大の数は 3 だとわかりました。
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ですから,これらの両方を 3 個の
グループに分けることができます。
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バインダーは,7 個ずつの
グループに分けることができます。
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鉛筆は,10 本ずつのグループを
3 個にできます。
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もし,このクラスに 3 人の
生徒が来たら,
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3 人それぞれに,7 個のバインダーと
10 本の鉛筆を渡すことができます。
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それがウマイマの作ることのできる
最大の同じ文房具の組の数です。
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3 セットあるとも言えます。
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それぞれのセットには
7 個のバインダーと
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10 本の鉛筆があります。
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ここでは基本的に,
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これらの数の両方を等しい
数のグループに割けられる数で
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最大のものを考えています。