CA Algebra I: Den Kvadratiske Ligningen

Vi er på problem 53.

Det står at Toni løser denne ligningen ved
å fullføre kvadreringen.

ax opphøyd i andre pluss
bx pluss c er lik 0,

hvor a er større enn 0

Så dette er bare en tradisjonell
kvadratisk ligning.

Og la oss se hva de gjorde.

Først trakk han c fra begge sider
og fikk ax opphøyd i andre

pluss bx er lik minus c.

Greit så langt.

Og la oss så se.

Han deler begge sider med a.

Greit det.

Han får minus c/a.

Hvilket trin burde være
Trin 3 i løsningen?

Så han fullfører kvadreringen.

Så det han egentlig vil er at
dette blir et kvadrattall.

Så la oss se hvordan vi kan gjøre det.

Vi har x opphøyd i andre
pluss b/a x-- og jeg skal la være

litt plass her-- er lik minus c/a.

Så for at dette skal være et
kvadrattall må vi legge til

noe her, vi må legge til et tall.

Og vi har lært fra flere videoer
tidligere og vi har på en måte

nesten-bevist det.

Og faktisk, jeg har flere
videoer kun om hvordan

fullføre kvadreringen.

Egentlig trenger du å legge til
hva enn nummeret er, legge til

halve tallet opphøyd i andre.

Og hvis det ikke gir mening for deg,
kan du se Khan Academy sin

video om fullføring av kvadreringen.

Men hva er halvdelen av b/a?

Vel, det er b delt på 2a.

Så 1/2 ganger b/a er lik b delt på 2a.

Og så vil vi legge til
dette opphøyd i andre.

Så la os gjøre det på begge
sider av denne ligningen.

Så vi har igjen x
opphøyd i andre pluss b/a x

Og så vil vi legge til
dette opphøyd i andre.

Pluss b delt på 2a opphøyd i andre
er lik minus c/a.

Hva enn du legger til på en
side av ligningen, må du også

legge til på den andre.

Så vi må legge til det på begge sider.

Pluss b delt på 2a opphøyd i andre.

Og la oss se om vi har
løst problemet så langt,

hva de vil ha.

x, b delt på 2-- riktig.

Dette er presis hva vi har gjort.
x opphøyd i andre pluss b/a + b

delt på 2a opphøyd i andre, og de legger
det til på begge sider av ligningen.

Så D er det rette svaret.

Om du finner dette litt
forvirrende eller om det ikke var

intuitivt for deg, så
vil jeg ikke at du

memorerer trinnene.

Se Khan Academy sin video om
hvordan fullføre kvadreringen.

Neste problem, 56.

Nei, 54.

Okay, dette er enda en som
burde være klipp og lim inn.

Okay, fire trin for å derivere
den kvadratiske formel

er vist under.

Jeg fortalte i tidligere videoer at
du kan derivere den kvadratiske

formel ved å fullføre
kvadreringen.

Og vi gjør faktisk det
i en annen video.

Jeg vil ikke reklamere for
mye for andre videoer,

Men la oss se
hva de vil gjøre.

Hva er den rette rekkefølgen
for disse trinnene?

Så det første du vil
starte med er bare en

kvadratisk ligning.

Og denne er det
første trinn.

Dette er hvor vi startet
på det siste problemet.

Så hva du må gjøre er å legge til
1/2 av denne opphøyd i andre til

begge sider.

Så be delt på 2a opphøyd i andre
vil du legge til på begge sider, og

det er hva de har gjort her.

Så vår rekkefølge er I.

Og så må du gjøre IV.

Det er hva vi gjorde i siste problem.

Vi gjorde IV.

Og så herfra, du vet
at dette uttrykket

her kommer til å være lik x pluss
b delt på 2a opphøyd i andre.

Og en gang til, se videoen om
fullføring av kvadreringen

igjen om det ikke ga mening.

Men hele grunnen til hvorfor du
legger til dette her er slik at du

vet at, OK, hvilke to nummer,
når jeg ganger de

er lik b delt på 2a opphøyd i andre, og
når jeg legger de sammen er lik b/a?

Vel, det er klart b delt på 2a.

Om du legger det sammen
to ganger får du b delt på a.

Om du opphøyer det i andre,
får du hele dette uttrykket.

Så du sier, åh, dette er bare x pluss
b delt på 2a opphøyd i andre, og du

får det der.

Og så, er lik--
og så simplifiserer

de bare denne brøken.

De fant en fellesnevner
og hele resten.

Og derfor er det neste trinnet Trin II

Og da er det eneste du har igjen Trin III.

Og du har omtrent derivert
den kvadratiske ligningen.

Så I, IV, II, III.

Det er valg A.

Problem 55.

Hvilke av løsningene--
OK, jeg setter alle

valgene her.

Så hvilken er en av
løsningene til ligningen.

Så øyeblikkelig når du ser alle
disse valgene, de har

disse kvadratrøtter og alt det.

Dette er ikke noe du trenger faktorere ut.

Du ville brukt en kvadratisk ligning her.

Så la oss gjøre det.

Så den kvadratiske ligning er, så
om dette er Ax opphøyd i andre pluss

Bx pluss C er lik 0.

Den kvadratiske ligning
er minus b.

Vel, de bruker små bokstaver.

Pluss eller minus kvadratroten av
b opphøyd i andre minus 4ac, alt

delt på 2a.

Og dette er bare derivert fra
fullføring av kvadreringen med

dette, men vi gjør det i en annen video.

Og la oss substituere det inn.

Hva er b?

b er minus 1, ikke sant?

Så minus minus 1, det er positiv 1.

Pluss eller minus kvadratroten
av b opphøyd i andre.

Minus 1 opphøyd i andre er 1.

Minus 4 ganger a.

a er 2.

Ganger 2.

Ganger c.

c er minus 4.

Så ganger minus 4.

Alt dette delt på 2a.

a er 2, så 2 ganger a er 4.

Så det blir 1 pluss eller
minus kvadratroten.

Så vi har en 1.

Så vi har minus 4 ganger
en 2 ganger en minus 4.

Det er det samme som en positiv 4
ganger 2 ganger en positiv 4.

La oss bare ta det minus ut.

Så det er positiv.

Det er ikke noe minus her.

La oss se, 4 ganger 2 er 8.

Ganger 4 er 32.

Pluss 1 er 33.

Alt det delt på 4.

Skal vi se, vi er ikke helt i mål enda.

Vel, de sier, hvilken er en av
løsningene til ligningen?

Så la oss se.

Om vi ønsket å simplifisere
dette ut-- vel,

det er rett her.

Fordi vi har 1 pluss
eller minus kvadratroten

av 33 delt på 4.

Vel, de skrev kun en av de.

De skrev bare den positive.

Så C er en av løsningene.

Den andre ville vært det om
du hadde hatt et minustegn her.

Uansett, neste problem.

56.

Og dette er enda et jeg
må klippe og lime inn.

Det står, hvilken uttalelse forklarer
best hvorfor det ikke finnes en reell

løsning på den
kvadratiske ligningen.

OK, så jeg har allerede
et gjett på hvorfor dette

ikke kommer til å ha en løsning.

Men generelt sett-- vel, la oss
prøve den kvadratiske ligningen.

Før vi begynner å se på
dette problemet engang,

la oss en intuisjon.

Det er netativ b pluss eller
minus kvadratroten av b

opphøyd i andre minus
4ac, alt delt på 2a.

Mitt spørsmål til deg er, når
gir ikke dette noen mening?

Vel, du vet, dette kommer til
å virke for enhver b, enhver 2a.

Men når faller kvadratrottegnet
virkelig fra hverandre, i det

minste når vi prater om
reelle tall,

og det er hintet?

Vel, det er når du har
et negativt tall herunder.

Om du ender opp med et negativt
tall under kvadratrottegnet,

ihvertfall om vi ikke har lært
om imaginære tall enda,

da vet du ikke hva du skal gjøre.

Det er ingen reell løsning på
den kvadratiske ligning.

Så om b opphøyd i andre
minus 4ac er mindre enn

0, da har du problemer.

Det finnes ingen reell løsning.

Du kan ikke ta en kvadratrot
av et negativt tegn om du

jobber med reelle tall.

Så det kommer sannsynligvis
til å være problemet her.

Så la oss se hva b opphøyd i andre
minus 4ac er.

Du har b er 1.

Så 1 minus 4 ganger a.

a er 2.

2 ganger c er 7.

Og ganske riktig, 1 ganger 4 ganger
2 ganger 7 kommer til å være

mindre enn 0.

Så la oss bare se hva de har her.

Riktig, verdien til 1
opphøyd i andre-- riktig.

Det er b opphøyd i andre.

Vel, en opphøyd i andre er det samme som 1.

1 opphøyd i andre minus 4
ganger 2 ganger 7,

er ganske riktig negativt.

Så det er derfor vi ikke har en reell

løsning på ligningen.

Neste problem.

Jeg har faktisk løpet tom for plass.

Greit.

OK, de vil vite løsningssettet til

denne kvadratiske ligningen.

Jeg skal bare klippe og lime inn.

Så det er egentlig settet med x'ene som

tilfredsstiller denne ligningen.

Og selvsagt, for enhver x som du
setter inn i ligningen, kommer venstre

side til å være lik 0.

Så hvilke x'er er gyldige?

Og de vil bare at vi bruker
den kvadratiske ligningen.

Så vi har skrevet den et par ganger,
men la oss bare gjøre det

rett på.

Så det er negativ b.

b er 2, sant?

Så det er negativ 2 pluss eller minus

kvadratroten av b opphøyd i andre.

Vel, det er 2 opphøyd i andre.

Minus 4 ganger a.

a er 8.

Ganger c, som er 1.

Alt delt på 2 ganger a.

Så 2 ganger 8, hvilket er lik
minus 2 pluss eller minus

kvadratroten av 4-- la oss se.

Skrev jeg dette ned?

Negativ b plus eller minus kvadratroten
av b opphøyd i andre minus

4 ganger a ganger c.

Riktig.

Så du får 4 minus 32.

Det var derfor jeg dobbeltsjekket
for å se om jeg gjorde dette

riktig fordi jeg kommer til å få
et negativt tall her.

Alt delt på 16.

Og så ender vi opp med
den samme gåten vi hadde

i det forrige. 4 minus 32, vi kommer
til å ende opp med minus 2 pluss

eller minus kvadratroten av
minus 28 delt på 16.

Og om vi jobber med reelle
tall, jeg mener det er ingen

reell løsning her.

Og først var jeg bekymret.

Jeg tenkte at jeg hadde gjort en tankeløs
feil eller at det var en feil

i problemet.

Men så ser jeg på valgene.

De har valg D.

Og jeg klipper og limer inn valg D her.

Valg D.

Ingen reell løsning.

Så det er svaret, fordi
du ikke kan ta kvadratroten

av et negativt tall og forbli
i settet med reelle tall.

La oss se, har jeg tid til enda et?

Jeg er over de 10 minuttene.

Jeg venter til neste video.

Vi sees snart.