CA 대후학 I: 이차방정식

53-57, Quadratic Equation

자 53번 문제를 봅시다

토니가 제곱식으로 문제를 푼다고 하네요

a x제곱 더하기 bx 더하기 c 는 영이죠

이때 a 는 영보다 커야하구요

그냥 전형적인 이차식입니다

자 토니가 어떻게 했는지 봐봅시다

먼저, 그가 c 를 양쪽에서 빼면

ax 제곱 더하기 bx 는 마이너스 c 와 같다가 나옵니다

그래. 좋아요

그리고.. 봅시다

그는 a로 양쪽을 나눠줬군요

그래요, 좋아요

그는 C/A를 뺐군요

풀이에서 3단계에 해당하는 것은 어느 것입니까?

그래서, 토니는 제곱을 했내요.

근본적으로 그는 이것을 완전제곱식으로 만들려고 하는 군요.

자, 어떻게 완전 제곱꼴로 바꿀수 있을까요?

그래서, x 를 제곱 더하기b/a x를 더한 것은, --여기다가 약간의 공간을 두겠습니다.

-마이너스 c/a와 같습니다.

그래서 이 부분이 완전제곱식이 되기 위해서

여기에다 무엇인가를 더해야 합니다., 어떤 수를 더해야 합니다.

그리고 우리는 앞의 여러 비디오에서 배웠듯이,

가증명을 했습니다.

실제로 몇개의 비디오에서 나는 순전히 제곱식에 관해

설명을 했습니다.

여러분은 이것이 무슨 수 이든지 간에

그 절반에다 제곱을 해야 합니다.

만일 이해가 안된다면, 칸 아카데미의 비디오 중에서

완전제곱식에 관한 것을 보시기 바랍니다.

그런데, b/a의 절반은 무엇입니까?

자, 그것은 b/2a 입니다.

즉, b/a 에다가 1/2 을 곱하면 b/2a와 같습니다.

그리고 나서, 우리는 이것을 제곱하여 더합니다.

자, 이것을 등식의 양변에 더합시다.

x제곱에다 b/ax를 더한 것이 남았습니다.

우리는 이것을 제곱으로 만들려고 합니다.

더하기 (b/2a)를 제곱한 것은 마이너스 c/a와 같습니다.

등식의 한 변에 무엇을 더하든지 간에 여러분은

다른 변에도 똑같이 그만큼을 더해주어야 합니다.

그래서 양변에다

(b/2a)제곱을 더해 줍니다.

봅시다, 우리가 문제를 풀었는지를

여기까지 우리가 하고자 한 것은

x, b/a 네 맞습니다.

이것이 우리가 한 것과 일치하는 군요. x 제곱 더하기 b/a 더하기

(b/2a)제곱, 그리고 그것을 등식의 양변에 더했군요.

그래서 D가 정답입니다.

만일, 약간 혼동이 된다면 또는 금방 잘 이해가 되지 않는다면,

저는 여러분이

이 단계들을 암기하라고 권하고 싶진 않습니다.

칸아카데미의 제곱하는 것에 관한 비디오를 보기를 권합니다.

다음 문제는 56

아니, 54번입니다.

예, 이것은 또다른 복사해서 덧붙이는 것이군요.

예, 4단계의 이차방정식을 푸는 것이

아래에 있습니다.

제가 앞서 비디오에서 말했듯이,
여러분은 이차방정식을 유도 할 수 있습니다.

완전제곱식을 이용해서

그리고 다른 비디오에서 실제로 했습니다.

다른 비디오에 너무 연계를 시키고 싶진 않지만,

무엇을 원하는지 한번 봅시다.

무엇이 이들 단계에서 올바른 순서입니까?

여러분이 처음으로 시작해야하는 것은

이차방정식 입니다.

그리고, 이것이 첫 단계입니다.

이것이 앞 문제에서 시작했던 것이지요

그리고, 이것의 절반을 제곱하여

양변에 더하고

즉, (b/2a)를 제곱하여 양변에 더하기 합니다.

이것이 여기 문제에서 한 것이군요.

그다음 순서는 1,

그리고 그 다음은 4번

이것이 우리가 앞 문제에서 했던 것입니다.

우리는 4단계를 했지요.

그리고 나서 여기서부터 우리는 여기에 나타낸 것이

(x+b/2a)를 제곱한 것과 같다는 것을 알고 있습니다.

그리고 다시한번 더, 완전제곱식에 대한

비디오를 보시기 바랍니다. 만일 이해가 잘 되지 않는다면,

그러나 왜 여기에 이것을 더했는가를, 여러분이 알다시피,

자 여기 두 숫자를 여기에 곱할 때,

(b/2a)를 제곱하고내가 그것들에 (b/a)를 더하면

그것은 확실히 b/2a 입니다

만일, 그것을 두번 더한다면, b/a를 얻을 것입니다.

만일, 그것을 제곱한다면, 여러분은 이 전체 식을 얻을 것입니다.

그래서, 아, 이것은 단순히 (x +b/2a)의 제곱이구나 할 것입니다.

여기까지 이해되지요?

그리고 나서

이 분수를 간단히 한 것입니다

문제에서, 공통분모와 나머지 남은 것을 구하고,

그다음이 2번째 단계이지요.

그리고 나면 3번째 단계가 남았습니다.

그러면 여러분의 거의 이차방정식을 푼 것입니다.

그래서 1, 4, 2, 3 순서입니다.

정답은 A입니다.

55번 문제

어느 풀이가.... 오케이, 이 선택지 모두를

아래로 옮기겠습니다.

어느것이 등식의 풀이입니까?

이 문제의 선택지를 보는 순간, 이 선택지들이 (A, B, C, D),

제곱근들이라는 것을 알 수 있지요.

이것은 여러분이 영향을 미치는 것들은 아닙니다.

여러분은 이차방정식을 여기 이용할 것입니다.

자 그렇게 합시다.

그래서 이차 방정식은, 만일 이것이 Ax 제곱 +

Bx + C 는 0과 같습니다.

이차방정식은 - b 입니다.

아 문제에서는 그것을 소문자를 썼군요.

-b +, 또는- 제곱근 (b제곱 -4ac). 이 전체가 분자로 가고

분모는 2a입니다. ( 근의 공식을 설명하고 있음.)

그리고 이것은 여기 이 완전제곱식으로부터 유도된 것이지만

우리는 다른 비디오에서 했습니다.

그리고~, 그러면 대입을 합시다.

b는 무엇입니까?

b는 -1 입니다. 맞지요?

그래서 -(-1)은 +1입니다.

+/- b제곱의 제곱근

(-1)을 제곱하면 1

-4 곱하기 a

a=2

2곱하기2

곱하기 c

c=-4

그래서 (-4) 를 곱하고,

이 모든 것들이 분자로 가고 2a 는 분모로 가지요.

a=2, 2곱하기 4

그래서 1+/-제곱근

그래서 1이 됩니다.

-4X2X(-4)

즉, +4X2X(+4)

마이너스를 없애버리면

플러스 입니다.

여기 마이너스는 없습니다.

그래서 봅시다. 4X2=8

그기에다가 4를 곱하니 32

더하기 1을 하면 33입니다.

이 모든 것을 4로 나누면

아직 우리는 완전히 그곳에 도달은 못했습니다.

글쎄요, 문제에서, 방정식의 풀이를 구하라는 군요

그래서, 보니깐

만일, 우리가 간단하게 하면

여기있습니다.

우리가 4분의 (1+/- 제곱근 33)

(1+/-제곱근33)/4

자, 문제에서 두개 중에서 1개만 나타내었군요.

플러스값만 나타내었군요.

그래서 C가 둘 중 하나로 정답입니다.

다른 하나는 마이너스 부호값으로 여기 있습니다.

어째든, 다음 문제로 넘어 가겠습니다.

56

이 문제 또한 잘라내기와 붙여넣기를 해야 겠군요.

문제에 의하면, 왜 이차방정식에 대한 정확한 풀이가 없는 것을

가장 잘 설명하고 있습니까?

OK, 저는 이미 짐작하고 있지만,

왜 이것이 풀이가 없는지를

그러나 일반적으로, 자, 이차방정식을 풀어봅시다.

이문제를 보기도 전에,

잘 살펴보면,

근의 공식에서 분자 (-b 와 제곱근 안에 있는 b 제곱 +/- 4ac) 와

분몬 2a 가 있습니다.

여러분에게 던지는 질문은 언제 이 근의 공식이 성립하지 않느냔는 것입니다.

아시겠지만, 이 근의 공식은 어떤 b 와 2a 에 성립합니다.

그러나 제곱근안에 계산한 값들이

실수이라야 한다는 것입니다.

그것이 문제 풀이의 실마리 입니다.

글쎄 여기에 음수가 나오면

근호안에 계산한 값이 음수이면

아직 허수를 배우지 않았다면,

여러분은 무엇을 해야할 지 모를겁니다.

이차방정식에서 근호안에 수가 음수이면 실제 풀이는 없습니다.

그래서 만일 (b제곱-4ac<0)이면

곤란하지요 .

실제 풀이가 없습니다.

만일 근호안에 숫자가 음수이면

실수 범위에서 풀이는 없습니다.

그래서 여기서 문제는 이곳입니다.

그래서 b제곱-4ac 가 무엇이 되는지 계산해 봅시다.

여기 b는 1이고

그래서 1 마이너스 4곱하기a

a=2

2곱하기c는 7이고

충분합니다. 1곱하기 4곱하기 2곱하기 7은

0 보다 작습니다.

그래서 어디 문제에 무엇이라고 하고 있는지 봅시다.

예, 1제곱한 값이, 예

b 제곱입니다.

1을 제곱하면 똑같은 값인 1입니다.

1제곱 -427

확실히 음수이군요

그래서 왜 우리가 이 문제에서 실제로

풀이가 없는지 알수 있습니다.

다음 문제 입니다.

아 공간이 충분하지가 않군요.

오케이, 문제는 이차방정식의 풀이를

알고 싶어하군요

복사해서 붙이겠습니다.

근본적으로 이 x 값들이

이 등식을 만족해야 하는 문제입니다.

그리고 분명히, 어떤x 값이든지 여기 좌변에 대입하면

0과 같아야 합니다.

그래서 어느 x 값이 유효합니까?

그래서 이차방정식에 적용하기를 원하는 군요.

그래서 우리는 몇차례 적었습니다만, 그것을 다시

곧바로 하겠습니다.

-b.

b=2

-2+/-

제곱근안에 b제곱

자, 그것이 2의 제곱입니다.

-4곱하기 a

a=8

곱하기 c, c는 1입니다.

이 모든 것들을 계산한 것이 분자로 가고 분모는 2a

그래서 2곱하기 8은

-2+/- (-4)제곱 봅시다.

제가 여기에 썼습니다.

-b +/- ( b제곱 - 4ac)의 제곱근

--

예

그래서 여러분은 4-32

왜 제가 검산을 하는지 아시겠지요.

만일, 내가 이것을 맞게 했다면, 여기서 음수를 얻었을 것입니다.

이 모든 것이 분자이고 16이 분모입니다.

그래서, 이전에 풀었던 유사한 어려운 문제를 끝냈습니다.

마지막으로 4-32, 우리는 -2 +/- 제곱근 28

분모 16

만일 우리가 실수 범위에서 문제를 푼다면,

정답은 없습니다.

그리고 처음에 내가 우려했던 것은

내가 부주의하게 실수를 하지나 않았나, 또는 문제에 오류가

있지 않았나 하는 것이었습니다.

그러나 선택지를 보니

D가 있네요.

D를 복사해서 여기다 붙이겠습니다.

정답은 D.

풀이가 없습니다.

그것이 정답입니다. 왜냐하면, 근호안이

음수이면 실수 범위에서 풀이가 없습니다.

어디 봅시다 한 문제 더 풀 시간이 있는지요?

10분이 넘었군요.

다음 비디오에서 기다리겠습니다.

그때 보겠습니다.

--

--

---

---

---

---

---

---

AGNESQKR 번역함.

공간이동 :)