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Voici le problème numéro 53.
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Toni résout cette équation en complétant le carré.
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ax au carré plus bx plus égale 0,
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avec a plus grand que 0.
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Ceci est une équation du second degré.
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Et voyons voir ce qu'ils ont fait.
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Premièrement, il a soustrait c des deux côtés et il a obtenu :
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ax au carré plus bx égale -c.
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Ok, jusqu'ici ça va.
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Et maintenant, voyons voir.
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Il a divisé des deux côtés par a.
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D'accord, ça aussi ça va.
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Il obtient: -c/a.
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Quelle devrait être l'étape 3 dans la résolution du problème?
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Il complète le carré.
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En fait, il veut que ceci devienne un carré parfait.
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Alors voyons voir comment il peut faire ça.
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Alors il a x au carré plus b/a x -- et je vais laisser
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un petit espace ici -- égale -c/a.
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Alors pour obtenir un carré parfait nous devons ajouter
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quelque chose ici, on doit ajouter un nombre.
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Nous l'avons vu dans plusieurs vidéos précédentes
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et nous l'avons pseudo-prouvé.
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D'ailleurs, j'ai plusieurs vidéos où j'ai complété
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le développement d'expressions au carré.
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En pratique, il suffit de reprendre le coefficient de x (quelle que soit sa valeur),
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d'en prendre la moitié, puis d'ajouter le carré de cette valeur.
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Et si vous ne comprenez pas bien ceci, allez voir le vidéo de Khan Academy
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sur la façon de compléter des expressions au carré.
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Quelle est la moitié de b/a?
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Eh bien, c'est b sur 2a.
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Puisque 1/2 fois b/a est égal à b sur 2a.
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Et maintenant nous voulons ajouter le carré de cette valeur.
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Ajoutons donc ceci aux deux membres de l'équation.
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Nous avions jusqu'ici x au carré plus b/a x.
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Et nous voulons ajouter cette valeur au carré :
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plus b sur 2a au carré. Et dans l'autre membre, moins c/a...
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et nous ajoutons la même valeur
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que dans le premier membre de l'équation.
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Donc, nous devons ajouter ceci des deux côtés :
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Plus b sur 2a au carré.
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Regardons si nous avons résolu le problème jusqu'ici,
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c'est ce qui est demandé
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X, b sur 2 -- D'accord
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C'est exactement ce que nous avons fait. x au carré plus b/a plus b sur
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2a au carré, et ils l'ont ajouté des deux côtés de l'équation.
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Alors D est la bonne réponse.
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Maintenant, si vous trouvez que c'est un peu confus ou si ce n'était
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pas intuitif pour vous, je ne veux pas que
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vous mémorisiez les étapes
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Regardez le vidéo de Khan Academy sur la façon de compléter des expressions au carré.
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Prochain problème, numéro 56.
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Non, numéro 54.
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D'accord, là aussi je vais faire un copier-coller.
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OK, 4 étapes pour résoudre une équation du second degré
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sont présentées ci-dessous.
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J'ai dit dans la vidéo précédente que vous pouvez résoudre une équation du second degré
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en complétant le développement d'une expression au carré.
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Et nous l'avons d'ailleurs fait dans une autre vidéo.
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Je ne veux pas donner trop de liens vers d'autres vidéos,
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mais voyons voir ce qu'ils veulent faire.
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Quel est le bon ordre pour ces étapes?
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D'abord, vous commencez avec une simple
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équation du second degré.
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Il s'agit de la première étape.
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C'est avec ça que nous avons commencé le problème précédent.
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Après, vous voulez ajouter le carré de la moitié de cette valeur
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aux deux membres de l'équation.
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Vous devez donc ajouter b sur 2a au carré des deux côtés,
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c'est ce qu'ils ont fait ici.
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Alors nous avons dans l'ordre : étape I,
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puis étape IV.
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C'est ce que nous avons fait dans le dernier problème.
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Nous avons fait IV.
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À partir d'ici, vous savez que cette expression-là
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sera égale à x plus b sur 2a au carré.
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Encore une fois, si vous ne comprenez pas cette étape,
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regardez la vidéo sur le développement d'expressions au carré.
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Mais la vraie raison pour laquelle vous ajoutez ce nombre ici,
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c'est parce que vous cherchez le nombre qui, multiplie par lui-même,
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donne b sur 2a au carré, et ajouté à lui-même donne b/a...
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Ce nombre,c'est tout simplement b sur 2a.
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Si vous l'ajoutez à lui-même, vous obtenez b sur a.
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Si vous le mettez au carré, vous obtenez cette expression.
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Vous me direz, c'est simple, c'est x plus b sur 2a au carré et
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vous savez ça.
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Et puis, dans le deuxième membre...
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ils ont calculé le carré et réduit au même dénominateur.
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Ils ont trouvé un dénominateur commun et tout le reste.
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Et donc la prochaine étape est l'étape II.
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Et puis il ne reste plus que l'étape III.
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Et vous avez résolu en somme l'équation du second degré.
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Donc, I, II, III, IV.
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La bonne réponse est A.
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Problème 55.
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Laquelle des solutions - D'accord, je vais afficher
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toutes les solutions proposées.
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Alors, quelles sont les solutions de l'équation?
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Donc, immédiatement, quand vous voyez tous les choix,
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vous voyez qu'ils comportent des racines carrées.
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Il n'est pas facile de faire une mise en facteurs.
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Vous devriez utiliser une équation du second degré ici.
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Alors allons-y.
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Donc l'équation du second degré est A fois x au carré plus
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Bx plus C égale zéro.
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Ses solutions sont -b...
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... en minuscules...
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...plus ou moins racine carrée de b au carré moins 4ac,
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le tout sur 2a.
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Tout ceci a été trouvé en complétant le développement d'une expression au carré,
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mais nous le faisons dans une autre vidéo.
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Effectuons maintenant une substitution de valeurs.
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Qu'est-ce que b?
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b vaut -1, c'est ça?
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Donc moins -1, c'est +1.
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Plus ou moins la racine carrée de b au carré...
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b vaut -1, donc b au carré vaut 1.
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...moins 4 fois a...
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a vaut 2...
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fois 2...
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fois c.
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c vaut -4.
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Donc multiplié par -4.
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Le tout sur 2a
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a vaut 2, donc 2a vaut 4.
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On obtient 1 plus ou moins cette racine carrée.
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Nous avons 1.
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Nous avons -4 fois 2 fois -4.
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Ce qui se simplifie en 4 fois 2 fois 4,
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en simplifiant ces deux signes moins.
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On a donc un plus.
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Plus de nombre négatif.
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Voyons... 4 fois 2 égale 8...
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fois 4 égale 32...
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plus 1 égale 33
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Le tout sur 4.
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Ce n'est pas tout à fait fini.
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Que proposent-ils comme solutions de l'équation?
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Voyons ça.
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Si l'on veut simplifier...
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C'est ici !
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Car nous avons 1 plus ou moins racine carrée de 33
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le tout sur 4.
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ils n'ont donné qu'une seule des solutions.
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Ils ont choisi le signe plus.
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Donc C est une des solutions.
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L'autre solution s'obtient en remplaçant ici par un signe moins.
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Passons au problème suivant.
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56.
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Là encore je vais faire un copier-coller.
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l'équation du second degré indiquée
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ne possède-t-elle pas de solutions ?
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Bon, je me doute un peu de la raison
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pour laquelle elle n'a pas de solution.
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En général, on utilise la formule quadratique.
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Mais avant de nous attaquer à ce problème,
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essayons d'avoir une intuition.
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Nous avons -b plus ou moins racine carrée de
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b au carré moins 4ac, le tout sur 2a.
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À votre avis, quand cette expression n'a-t-elle pas de sens ?
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Vous savez bien que cela marche pour tout b, pout tout 2a (puisque a n'est pas nul).
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Mais quand est-ce que la racine carrée ne fonctionne pas,
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au moins avec des nombres réels?
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C'est là qu'est la solution du problème.
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Eh bien, c'est lorsqu'il y a un nombre négatif en dessous.
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Lorsque vous trouvez un nombre négatif en dessous de la racine carrée,
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du moins si vous n'avez pas encore appris les nombres complexes,
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vous ne savez comment faire.
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il n'y a pas de solution réelle à l'équation du second degré..
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Donc, si b au carré moins 4ac est plus petit que 0,
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il y a un problème.
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Il n'y a pas de solution réelle.
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Vous ne pouvez pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif
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si vous travaillez avec des nombres réels.
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C'est donc vraisemblablement le problème ici
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Donc regardons ce que vaut b au carré moins 4ac.
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b vaut 1,
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donc 1 moins 4 fois a...
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a vaut 2...
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2 fois c , qui vaut 7
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C'est certain, 1 moins 4 fois 2 fois 7 va être
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inférieur à 0.
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Voyons donc ce qu'on nous propose ici.
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Bien... 1 au carré... d'accord
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C'est b au carré.
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D'accord, 1 au carré vaut 1
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1 au carré moins 4 fois 2 fois 7
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c'est bien un nombre négatif.
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C'est pourquoi il n'existe pas de solution réelle
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à cette équation.
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Problème suivant.
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Je n'ai plus de place.
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Bon, ils veulent l'ensemble des solutions
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de cette équation du second degré.
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Je vais simplement faire un copier-coller.
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Il s'agit de trouver l'ensemble des x
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qui vérifient cette équation.
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Donc chaque fois que vous substituez une valeur de x,
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l'expression de gauche doit être égale à zéro.
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Quels sont les x qui conviennent ?
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Ils demandent juste d'appliquer la formule quadratique.
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Nous l'avons déjà utilisée plusieurs fois,
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mais recommençons depuis le début.
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Donc -b
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b vaut 2
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Donc -2 plus ou moins
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racine carrée de b au carré...
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Donc de 2 au carré...
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Moins 4 fois a...
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a vaut 8
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... fois c, qui vaut 1.
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Le tout sur 2 fois a...
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soit 2 fois 8. Ceci nous donne donc -2 plus ou moins
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racine carrée de 4.... voyons...
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Vérifions.
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-b plus ou moins racine carrée de b au carré
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moins 4 fois a fois c.
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Bien.
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Donc, 4 moins 32...
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J'arrive ici à un nombre négatif, c'est pourquoi j'ai voulu
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vérifier si mon calcul était correct,
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Le tout sur 16.
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Et nous aboutissons au même problème que tout à l'heure.
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4 - 32 égale -28, ce qui nous donne
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2 plus ou moins racine de -28 sur 16.
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Et si nous avons affaire à des nombres réels,
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il n'y a donc pas de solution.
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Au début, j'étais inquiet.
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Je pensais que je m'étais trompé ou qu'il y avait
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une erreur dans le problème.
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Puis j'ai regardé toutes les solutions.
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Il y a la solution D.
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je vais la recopier ici.
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Solution D.
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Il n'y a pas de solution réelle.
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C'est la bonne réponse, parce que vous ne pouvez pas
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prendre la racine carrée d'un nombre négatif et rester dans l'ensemble des nombres réels.
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Voyons, ai-je le temps d'en faire un autre ?
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J'ai dépassé les 10 minutes
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J'attendrai la vidéo suivante.
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À bientôt !
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Not Synced
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N'est-ce pas?
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Pour quelles raisons
