Bevis for Eulerlinjen

Bevis for at centrum af den omskrevne cirkel, centrum af den indskrevne cirkel og skæringen mellem højderne alle er på den samme linje.

I den her video vil vi fokusere på den store trekant her.

Det er trekanten ABC.

Vi vil i den her video lave et bevis for Eulerlinjen, og for at gøre det starter vi med at kigge på punkterne på Eulerlinjen.

Her er det vigtigt at huske, at centrum for den omskrevne cirkel

er skæringspunktet mellem de tre midtnormaler i trekanten.

Udover centrum for den omskrevne cirkel, har vi også centrum for den indskrevne cirkel,

og centrum for den indskrevne cirkel er skæringspunkten mellem medianerne.

Til sidst har vi skæringen mellem trekantens tre højder.

Alle tre punkter er på den samme linje, OI, som vi har her i en orange farve.

Eller OG og GI er egentlig 2 linjestykker,

der udgør den større linje, som er en del af den såkaldte Eulerlinje.

For at bevise det har vi tegnet midtertrekant her.

Det er trekant FED, eller den skal faktisk hedde trekant DEF,

og det er altså trekanten, hvis vinkelspidser er midtpunkter på den store trekants sider.

Vi ved allerede flere ting

om midtertrekanten,

og det har vi bevist i en tidligere video.

En ting, vi ved, er, at midtertrekanten, DEF,

og den store trekant ABC er ligedannede.

Trekant ABC og trekant DEF er altså ligedannede.

Når de to trekanter er ligedannede, kan vi tale om skalafaktoren,

og i det her tilfælde er skalafaktoren 2 til 1.

Det er vigtigt at bevise.

Når to trekanter er ligedannede med en given skalafaktor,

betyder det, at hvis man tager længden af enhver af de ensliggende dele fra de to ligedannede trekanter,

så vil forholdet mellem dem være 2 til 1.

Vi har også allerede vist en anden sammenhæng mellem de to trekanter.

Den anden sammenhæng mellem midtertrekanten

og den store trekant, som midtertrekanter er i, er,

at vi har bevist skæringspunktet mellem højderne

i midtertrekanten.

Vi ved allerede, at punktet O er centrum for den omskrevne cirkel

af den store trekant.

Punktet O er også skæringspunktet mellem højderne i midtertrekanten.

Det skrev vi faktisk her.

Punkt O er altså på den her midtnormal.

Vi skulle lave en masse andre i den her mørkegrå farve,

men det ville også være dumt at lave det for rodet.

Det her er centrum i den store trekants omskrevne cirkel.

For at bevise at OG og I er på den samme linje

eller det samme linjestykke,

skal vi bevise,

at trekant FOG og trekant CIG er ligedannede.

Vi skal altså bevise,

at FOG og CIG er ligedannede trekanter.

.

Hvis vi kan bevise det, vil de ensliggende vinkler

være lige store.

Det vil sige, at den her vinkel vil være lig den,

der er herovre.

OI vil så være en transversal,

fordi de to linjer her er parallelle,

eller hvis de her to trekanter er ligedannede.

Husk at vi kigger på trekanten, der er her,

og trekanten, der er her.

Hvis de virkelig er ligedannede, så vil den her vinkel

være ligeså stor som den her vinkel,

hvilket betyder,

at de her to faktisk er topvinkler.

I det tilfælde vil det her være en rigtig linje.

Lad os komme videre til beviset.

Vi har ikke brug for at have de her to fremhævet mere.

Lad os komme i gang.

Vi ved, at linjen herovre, som vi kalder XC,

er vinkelret på linjen AB.

XC er en højde, og vi ved også, at FY, som er herovre,

også er vinkelret på AB, for FY er nemlig midtnormalen.

De danner altså begge to samme vinkel med en transversal,

som i det her tilfælde er AB.

De må altså være parallelle.

Vi ved derfor, at FY og XC er parallelle.

Linje FY og linje XC er parallelle.

.

Den her er parallel med den her,

og det er ret brugbart, fordi vi ved, at indvendige vekselvinkler

af en transversal er kongruente,

når en transversal skærer to parallelle linjer.

Vi ved, at den her linje, FC,

er median i den store trekant ABC.

Vi har altså en linje, der skærer to parallelle linjer,

og de indvendige vekselvinkler er ens.

Den her vinkel vil altså være ligeså stor som den her vinkel.

Vi kan sige, at vinkel OFG og vinkel ICG er lige store.

Vinkel OFG og vinkel ICG er kongruente.

Vi ved også en anden ting om det her.

Den anden ting, vi ved, er,

at centrum i den indskrevne cirkel

deler medianen op i to dele med forholdet 2 til 1.

Det her er centrum i den indskrevne cirkel,

og det punkt er 2 tredjedele nede af medianens længde.

Vi har bevist det her i en tidligere video.

Vi ved, at linjestykket CG er lig med 2 gange linjestykket GF,

og måske er det til at regne ud, hvad vi gør nu.

Vi har en vinkel her, og vi har vist, at forholdet mellem den her side

og den her side er 2 til 1, og det er altså en egenskab ved centrum af den indskrevne cirkel

og medianen.

Nu kan vi prøve at vise, at forholdet mellem linjestykket CI og linjestykket FO er 2 til 1.

Det vil sige, at vi har to ensliggende sider, hvor forholdet er 2 til 1,

og vi har vinklerne, der er kongruente.

Vi kan så bruge reglen om side-vinkel-side ligedannethed til at vise,

at de to trekanter er ligedannede.

Hvis vi kigger på linjen CI, kan vi se, at den er længden fra

den store trekants vinkelspids C og til den store trekants skæring mellem højderne.

Hvad er FO?

F er et ensliggende punkt med C i midtertrekanten.

Vi skal lige sikre os, at vi skriver ligedannetheden på den rigtige måde.

F er ensliggende med punkt C.

FO er altså længden mellem F i midtertrekanten

og midtertrekantens skæring mellem højderne.

Det her er længden mellem C

og skæringen mellem højderne i den store trekant.

Det her er længden mellem den ensliggende

side i midtertrekanten

og midtertrekantens skæring mellem højderne.

Det her er altså den samme tilsvarende længde

i den store trekant og i midtertrekanten.

Vi ved allerede, at de to er ligedannede med forholdet 2 til 1.

De tilsvarende længder mellem to punkter

på de to trekanter vil altså have samme størrelsesforhold.

På grund af ligedannetheden ved vi,

at linjestykket CI er lig med 2 gange linjestykket FO.

Det skal lige understreges, at C er ensliggende med punktet F,

når vi kigger på de to ligedannede trekanter.

I er skæringen mellem højderne i den store trekant,

mens O er skæringen mellem højderne i midtertrekanten.

Vi tager et ensliggende punkt

med skæringen mellem højderne i den store trekant

og et ensliggende punkt med skæringen mellem højderne i midtertrekanten.

Trekanterne er ligedannede med forholdet 2 til 1,

så forholdet mellem den her længde og den her længde skal være 2 til 1.

Nu har vi altså vist,

at forholdet mellem den her side og den her side er 2 til 1.

Vi har vist, at forholdet mellem den her side og den her side også er 2 til 1.

Vi har også vist, at vinklen imellem dem er kongruent.

Vinklen imellem dem er kongruent.

Vi har altså med side-vinkel-side ligedannethed bevist,

og vi ruller lige lidt ned på siden.

Vi har med side-vinkel-side ligedannethed bevist, at trekant FOG

og trekant CIG er ligedannede.

Derfor ved vi, at de ensliggende trekanter er kongruente.

Vi ved, at vinkel CIG er ensliggende med vinkel FOG,

og de er derfor kongruente.

Vi skriver lige det her i en ny farve.

Vi ved også, at vinkel CGI er ensliggende med vinkel OGF,

og derfor er de altså også kongruente.

Man kan se på det på forskellige måder.

Hvis den her vinkel og den her vinkel er kongruente, kan man se OI som en linje,

som en transversal af de her to parallelle linjer.

Det fortæller os, at det er én linje.

Man kan også kigge på de to herovre,

og de to vinkler er lige store,

så de må være topvinkler.

Derfor må det her være en og samme linje.

Den vinkel som nærmer sig medianen her,

er den samme vinkel som forlader medianen.

De her er altså allesammen på den samme linje.

Det er et meget simpelt bevis, som stammer fra noget af det, vi har lært tidligere.

Skæringen mellem højderne,

skæringen mellem mediaerne og skæringen mellem midtnormalerne

er alle på den samme linje, kaldet Eulerlinjen.