WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.200
I den her video vil vi fokusere på den store trekant her.

00:00:04.210 --> 00:00:07.680
Det er trekanten ABC.

00:00:07.690 --> 00:00:11.690
Vi vil i den her video lave et bevis for Eulerlinjen, og for at gøre det starter vi med at kigge på punkterne på Eulerlinjen.

00:00:11.700 --> 00:00:15.020
Her er det vigtigt at huske, at centrum for den omskrevne cirkel

00:00:15.030 --> 00:00:16.820
er skæringspunktet mellem de tre midtnormaler i trekanten.

00:00:16.830 --> 00:00:21.920
Udover centrum for den omskrevne cirkel, har vi også centrum for den indskrevne cirkel,

00:00:21.930 --> 00:00:24.040
og centrum for den indskrevne cirkel er skæringspunkten mellem medianerne.

00:00:24.050 --> 00:00:28.720
Til sidst har vi skæringen mellem trekantens tre højder.

00:00:28.730 --> 00:00:35.460
Alle tre punkter er på den samme linje, OI, som vi har her i en orange farve.

00:00:35.470 --> 00:00:39.200
Eller OG og GI er egentlig 2 linjestykker,

00:00:39.210 --> 00:00:44.810
der udgør den større linje, som er en del af den såkaldte Eulerlinje.

00:00:44.820 --> 00:00:48.900
For at bevise det har vi tegnet midtertrekant her.

00:00:48.910 --> 00:00:53.130
Det er trekant FED, eller den skal faktisk hedde trekant DEF,

00:00:53.140 --> 00:00:56.760
og det er altså trekanten, hvis vinkelspidser er midtpunkter på den store trekants sider.

00:00:56.770 --> 00:00:58.670
Vi ved allerede flere ting

00:00:58.680 --> 00:01:00.670
om midtertrekanten,

00:01:00.680 --> 00:01:02.640
og det har vi bevist i en tidligere video.

00:01:02.650 --> 00:01:07.010
En ting, vi ved, er, at midtertrekanten, DEF,

00:01:07.040 --> 00:01:11.300
og den store trekant ABC er ligedannede.

00:01:11.310 --> 00:01:13.410
Trekant ABC og trekant DEF er altså ligedannede.

00:01:13.420 --> 00:01:18.000
Når de to trekanter er ligedannede, kan vi tale om skalafaktoren,

00:01:18.010 --> 00:01:19.760
og i det her tilfælde er skalafaktoren 2 til 1.

00:01:19.770 --> 00:01:21.780
Det er vigtigt at bevise.

00:01:21.790 --> 00:01:24.630
Når to trekanter er ligedannede med en given skalafaktor,

00:01:24.640 --> 00:01:28.360
betyder det, at hvis man tager længden af enhver af de ensliggende dele fra de to ligedannede trekanter,

00:01:28.370 --> 00:01:32.690
så vil forholdet mellem dem være 2 til 1.

00:01:32.700 --> 00:01:35.920
Vi har også allerede vist en anden sammenhæng mellem de to trekanter.

00:01:35.930 --> 00:01:38.350
Den anden sammenhæng mellem midtertrekanten

00:01:38.360 --> 00:01:40.440
og den store trekant, som midtertrekanter er i, er,

00:01:40.450 --> 00:01:43.590
at vi har bevist skæringspunktet mellem højderne

00:01:43.600 --> 00:01:52.130
i midtertrekanten.

00:01:52.140 --> 00:01:55.110
Vi ved allerede, at punktet O er centrum for den omskrevne cirkel

00:01:55.120 --> 00:01:58.810
af den store trekant.

00:01:58.820 --> 00:02:05.560
Punktet O er også skæringspunktet mellem højderne i midtertrekanten.

00:02:05.570 --> 00:02:06.880
Det skrev vi faktisk her.

00:02:06.890 --> 00:02:12.110
Punkt O er altså på den her midtnormal.

00:02:12.120 --> 00:02:14.880
Vi skulle lave en masse andre i den her mørkegrå farve,

00:02:14.890 --> 00:02:18.640
men det ville også være dumt at lave det for rodet.

00:02:18.650 --> 00:02:21.220
Det her er centrum i den store trekants omskrevne cirkel.

00:02:57.120 --> 00:03:04.560
For at bevise at OG og I er på den samme linje

00:03:04.570 --> 00:03:07.030
eller det samme linjestykke,

00:03:07.040 --> 00:03:10.860
skal vi bevise,

00:03:10.870 --> 00:03:16.100
at trekant FOG og trekant CIG er ligedannede.

00:03:16.110 --> 00:03:19.360
Vi skal altså bevise,

00:03:19.370 --> 00:03:25.420
at FOG og CIG er ligedannede trekanter.

00:03:25.430 --> 00:03:29.180
.

00:03:29.190 --> 00:03:32.090
Hvis vi kan bevise det, vil de ensliggende vinkler

00:03:32.100 --> 00:03:33.290
være lige store.

00:03:33.300 --> 00:03:35.690
Det vil sige, at den her vinkel vil være lig den,

00:03:35.700 --> 00:03:36.940
der er herovre.

00:03:36.950 --> 00:03:39.760
OI vil så være en transversal,

00:03:39.770 --> 00:03:42.270
fordi de to linjer her er parallelle,

00:03:42.280 --> 00:03:45.390
eller hvis de her to trekanter er ligedannede.

00:03:45.400 --> 00:03:47.830
Husk at vi kigger på trekanten, der er her,

00:03:47.840 --> 00:03:49.330
og trekanten, der er her.

00:03:49.340 --> 00:03:51.400
Hvis de virkelig er ligedannede, så vil den her vinkel

00:03:51.410 --> 00:03:52.780
være ligeså stor som den her vinkel,

00:03:52.790 --> 00:03:53.740
hvilket betyder,

00:03:53.750 --> 00:03:56.180
at de her to faktisk er topvinkler.

00:03:56.190 --> 00:03:58.970
I det tilfælde vil det her være en rigtig linje.

00:03:58.980 --> 00:04:01.270
Lad os komme videre til beviset.

00:04:01.280 --> 00:04:05.550
Vi har ikke brug for at have de her to fremhævet mere.

00:04:05.560 --> 00:04:07.620
Lad os komme i gang.

00:04:07.630 --> 00:04:12.390
Vi ved, at linjen herovre, som vi kalder XC,

00:04:12.400 --> 00:04:15.580
er vinkelret på linjen AB.

00:04:15.590 --> 00:04:20.290
XC er en højde, og vi ved også, at FY, som er herovre,

00:04:20.300 --> 00:04:25.320
også er vinkelret på AB, for FY er nemlig midtnormalen.

00:04:25.330 --> 00:04:28.390
De danner altså begge to samme vinkel med en transversal,

00:04:28.400 --> 00:04:29.950
som i det her tilfælde er AB.

00:04:29.960 --> 00:04:33.240
De må altså være parallelle.

00:04:33.250 --> 00:04:39.110
Vi ved derfor, at FY og XC er parallelle.

00:04:39.120 --> 00:04:39.350
Linje FY og linje XC er parallelle.

00:04:39.360 --> 00:04:41.980
.

00:04:41.990 --> 00:04:46.740
Den her er parallel med den her,

00:04:46.750 --> 00:04:51.490
og det er ret brugbart, fordi vi ved, at indvendige vekselvinkler

00:04:51.500 --> 00:04:54.700
af en transversal er kongruente,

00:04:54.710 --> 00:04:56.070
når en transversal skærer to parallelle linjer.

00:04:56.080 --> 00:05:02.670
Vi ved, at den her linje, FC,

00:05:02.680 --> 00:05:06.740
er median i den store trekant ABC.

00:05:06.900 --> 00:05:09.900
Vi har altså en linje, der skærer to parallelle linjer,

00:05:09.910 --> 00:05:12.860
og de indvendige vekselvinkler er ens.

00:05:12.870 --> 00:05:15.890
Den her vinkel vil altså være ligeså stor som den her vinkel.

00:05:15.900 --> 00:05:24.160
Vi kan sige, at vinkel OFG og vinkel ICG er lige store.

00:05:24.170 --> 00:05:27.720
Vinkel OFG og vinkel ICG er kongruente.

00:05:27.730 --> 00:05:34.140
Vi ved også en anden ting om det her.

00:05:34.150 --> 00:05:38.280
Den anden ting, vi ved, er,

00:05:38.290 --> 00:05:41.910
at centrum i den indskrevne cirkel

00:05:41.920 --> 00:05:45.690
deler medianen op i to dele med forholdet 2 til 1.

00:05:45.700 --> 00:05:47.360
Det her er centrum i den indskrevne cirkel,

00:05:47.370 --> 00:05:50.830
og det punkt er 2 tredjedele nede af medianens længde.

00:05:50.840 --> 00:05:53.590
Vi har bevist det her i en tidligere video.

00:05:53.600 --> 00:06:02.330
Vi ved, at linjestykket CG er lig med 2 gange linjestykket GF,

00:06:02.340 --> 00:06:03.610
og måske er det til at regne ud, hvad vi gør nu.

00:06:03.620 --> 00:06:06.710
Vi har en vinkel her, og vi har vist, at forholdet mellem den her side

00:06:06.720 --> 00:06:09.480
og den her side er 2 til 1, og det er altså en egenskab ved centrum af den indskrevne cirkel

00:06:09.490 --> 00:06:10.830
og medianen.

00:06:10.840 --> 00:06:16.850
Nu kan vi prøve at vise, at forholdet mellem linjestykket CI og linjestykket FO er 2 til 1.

00:06:16.860 --> 00:06:20.240
Det vil sige, at vi har to ensliggende sider, hvor forholdet er 2 til 1,

00:06:20.250 --> 00:06:22.100
og vi har vinklerne, der er kongruente.

00:06:22.110 --> 00:06:25.920
Vi kan så bruge reglen om side-vinkel-side ligedannethed til at vise,

00:06:25.930 --> 00:06:28.570
at de to trekanter er ligedannede.

00:06:28.580 --> 00:06:34.180
Hvis vi kigger på linjen CI, kan vi se, at den er længden fra

00:06:34.190 --> 00:06:40.210
den store trekants vinkelspids C og til den store trekants skæring mellem højderne.

00:06:40.220 --> 00:06:41.830
Hvad er FO?

00:06:41.840 --> 00:06:47.220
F er et ensliggende punkt med C i midtertrekanten.

00:06:47.230 --> 00:06:51.630
Vi skal lige sikre os, at vi skriver ligedannetheden på den rigtige måde.

00:06:51.640 --> 00:06:54.040
F er ensliggende med punkt C.

00:06:54.050 --> 00:06:59.370
FO er altså længden mellem F i midtertrekanten

00:06:59.380 --> 00:07:03.130
og midtertrekantens skæring mellem højderne.

00:07:03.140 --> 00:07:04.810
Det her er længden mellem C

00:07:04.820 --> 00:07:06.740
og skæringen mellem højderne i den store trekant.

00:07:06.750 --> 00:07:09.560
Det her er længden mellem den ensliggende

00:07:09.570 --> 00:07:10.990
side i midtertrekanten

00:07:11.000 --> 00:07:13.070
og midtertrekantens skæring mellem højderne.

00:07:13.080 --> 00:07:16.190
Det her er altså den samme tilsvarende længde

00:07:16.200 --> 00:07:18.740
i den store trekant og i midtertrekanten.

00:07:18.750 --> 00:07:21.820
Vi ved allerede, at de to er ligedannede med forholdet 2 til 1.

00:07:21.830 --> 00:07:25.820
De tilsvarende længder mellem to punkter

00:07:25.830 --> 00:07:28.560
på de to trekanter vil altså have samme størrelsesforhold.

00:07:28.570 --> 00:07:32.750
På grund af ligedannetheden ved vi,

00:07:32.760 --> 00:07:39.500
at linjestykket CI er lig med 2 gange linjestykket FO.

00:07:39.510 --> 00:07:43.440
Det skal lige understreges, at C er ensliggende med punktet F,

00:07:43.450 --> 00:07:46.080
når vi kigger på de to ligedannede trekanter.

00:07:46.090 --> 00:07:48.600
I er skæringen mellem højderne i den store trekant,

00:07:48.610 --> 00:07:50.560
mens O er skæringen mellem højderne i midtertrekanten.

00:07:50.570 --> 00:07:52.470
Vi tager et ensliggende punkt

00:07:52.480 --> 00:07:54.270
med skæringen mellem højderne i den store trekant

00:07:54.280 --> 00:07:58.320
og et ensliggende punkt med skæringen mellem højderne i midtertrekanten.

00:07:58.330 --> 00:08:00.710
Trekanterne er ligedannede med forholdet 2 til 1,

00:08:00.720 --> 00:08:04.930
så forholdet mellem den her længde og den her længde skal være 2 til 1.

00:08:04.940 --> 00:08:07.910
Nu har vi altså vist,

00:08:07.920 --> 00:08:12.380
at forholdet mellem den her side og den her side er 2 til 1.

00:08:12.450 --> 00:08:17.730
Vi har vist, at forholdet mellem den her side og den her side også er 2 til 1.

00:08:17.740 --> 00:08:20.370
Vi har også vist, at vinklen imellem dem er kongruent.

00:08:20.380 --> 00:08:24.080
Vinklen imellem dem er kongruent.

00:08:24.090 --> 00:08:26.950
Vi har altså med side-vinkel-side ligedannethed bevist,

00:08:26.960 --> 00:08:33.540
og vi ruller lige lidt ned på siden.

00:08:33.550 --> 00:08:40.110
Vi har med side-vinkel-side ligedannethed bevist, at trekant FOG

00:08:40.120 --> 00:08:43.360
og trekant CIG er ligedannede.

00:08:43.370 --> 00:08:46.350
Derfor ved vi, at de ensliggende trekanter er kongruente.

00:08:46.360 --> 00:08:51.910
Vi ved, at vinkel CIG er ensliggende med vinkel FOG,

00:08:51.920 --> 00:08:57.450
og de er derfor kongruente.

00:08:57.460 --> 00:09:00.660
Vi skriver lige det her i en ny farve.

00:09:00.670 --> 00:09:04.460
Vi ved også, at vinkel CGI er ensliggende med vinkel OGF,

00:09:04.470 --> 00:09:07.270
og derfor er de altså også kongruente.

00:09:07.280 --> 00:09:09.360
Man kan se på det på forskellige måder.

00:09:09.370 --> 00:09:12.140
Hvis den her vinkel og den her vinkel er kongruente, kan man se OI som en linje,

00:09:12.150 --> 00:09:15.670
som en transversal af de her to parallelle linjer.

00:09:15.680 --> 00:09:17.390
Det fortæller os, at det er én linje.

00:09:17.400 --> 00:09:18.920
Man kan også kigge på de to herovre,

00:09:18.930 --> 00:09:21.240
og de to vinkler er lige store,

00:09:21.250 --> 00:09:23.070
så de må være topvinkler.

00:09:23.080 --> 00:09:26.800
Derfor må det her være en og samme linje.

00:09:26.810 --> 00:09:29.290
Den vinkel som nærmer sig medianen her,

00:09:29.300 --> 00:09:32.290
er den samme vinkel som forlader medianen.

00:09:32.300 --> 00:09:35.840
De her er altså allesammen på den samme linje.

00:09:35.850 --> 00:09:38.310
Det er et meget simpelt bevis, som stammer fra noget af det, vi har lært tidligere.

00:09:38.320 --> 00:09:42.260
Skæringen mellem højderne,

00:09:42.270 --> 00:09:45.930
skæringen mellem mediaerne og skæringen mellem midtnormalerne

00:09:45.940 --> 00:09:49.320
er alle på den samme linje, kaldet Eulerlinjen.