1
00:00:00,000 --> 00:00:04,200
I den her video vil vi fokusere på den store trekant her.

2
00:00:04,210 --> 00:00:07,680
Det er trekanten ABC.

3
00:00:07,690 --> 00:00:11,690
Vi vil i den her video lave et bevis for Eulerlinjen, og for at gøre det starter vi med at kigge på punkterne på Eulerlinjen.

4
00:00:11,700 --> 00:00:15,020
Her er det vigtigt at huske, at centrum for den omskrevne cirkel

5
00:00:15,030 --> 00:00:16,820
er skæringspunktet mellem de tre midtnormaler i trekanten.

6
00:00:16,830 --> 00:00:21,920
Udover centrum for den omskrevne cirkel, har vi også centrum for den indskrevne cirkel,

7
00:00:21,930 --> 00:00:24,040
og centrum for den indskrevne cirkel er skæringspunkten mellem medianerne.

8
00:00:24,050 --> 00:00:28,720
Til sidst har vi skæringen mellem trekantens tre højder.

9
00:00:28,730 --> 00:00:35,460
Alle tre punkter er på den samme linje, OI, som vi har her i en orange farve.

10
00:00:35,470 --> 00:00:39,200
Eller OG og GI er egentlig 2 linjestykker,

11
00:00:39,210 --> 00:00:44,810
der udgør den større linje, som er en del af den såkaldte Eulerlinje.

12
00:00:44,820 --> 00:00:48,900
For at bevise det har vi tegnet midtertrekant her.

13
00:00:48,910 --> 00:00:53,130
Det er trekant FED, eller den skal faktisk hedde trekant DEF,

14
00:00:53,140 --> 00:00:56,760
og det er altså trekanten, hvis vinkelspidser er midtpunkter på den store trekants sider.

15
00:00:56,770 --> 00:00:58,670
Vi ved allerede flere ting

16
00:00:58,680 --> 00:01:00,670
om midtertrekanten,

17
00:01:00,680 --> 00:01:02,640
og det har vi bevist i en tidligere video.

18
00:01:02,650 --> 00:01:07,010
En ting, vi ved, er, at midtertrekanten, DEF,

19
00:01:07,040 --> 00:01:11,300
og den store trekant ABC er ligedannede.

20
00:01:11,310 --> 00:01:13,410
Trekant ABC og trekant DEF er altså ligedannede.

21
00:01:13,420 --> 00:01:18,000
Når de to trekanter er ligedannede, kan vi tale om skalafaktoren,

22
00:01:18,010 --> 00:01:19,760
og i det her tilfælde er skalafaktoren 2 til 1.

23
00:01:19,770 --> 00:01:21,780
Det er vigtigt at bevise.

24
00:01:21,790 --> 00:01:24,630
Når to trekanter er ligedannede med en given skalafaktor,

25
00:01:24,640 --> 00:01:28,360
betyder det, at hvis man tager længden af enhver af de ensliggende dele fra de to ligedannede trekanter,

26
00:01:28,370 --> 00:01:32,690
så vil forholdet mellem dem være 2 til 1.

27
00:01:32,700 --> 00:01:35,920
Vi har også allerede vist en anden sammenhæng mellem de to trekanter.

28
00:01:35,930 --> 00:01:38,350
Den anden sammenhæng mellem midtertrekanten

29
00:01:38,360 --> 00:01:40,440
og den store trekant, som midtertrekanter er i, er,

30
00:01:40,450 --> 00:01:43,590
at vi har bevist skæringspunktet mellem højderne

31
00:01:43,600 --> 00:01:52,130
i midtertrekanten.

32
00:01:52,140 --> 00:01:55,110
Vi ved allerede, at punktet O er centrum for den omskrevne cirkel

33
00:01:55,120 --> 00:01:58,810
af den store trekant.

34
00:01:58,820 --> 00:02:05,560
Punktet O er også skæringspunktet mellem højderne i midtertrekanten.

35
00:02:05,570 --> 00:02:06,880
Det skrev vi faktisk her.

36
00:02:06,890 --> 00:02:12,110
Punkt O er altså på den her midtnormal.

37
00:02:12,120 --> 00:02:14,880
Vi skulle lave en masse andre i den her mørkegrå farve,

38
00:02:14,890 --> 00:02:18,640
men det ville også være dumt at lave det for rodet.

39
00:02:18,650 --> 00:02:21,220
Det her er centrum i den store trekants omskrevne cirkel.

40
00:02:57,120 --> 00:03:04,560
For at bevise at OG og I er på den samme linje

41
00:03:04,570 --> 00:03:07,030
eller det samme linjestykke,

42
00:03:07,040 --> 00:03:10,860
skal vi bevise,

43
00:03:10,870 --> 00:03:16,100
at trekant FOG og trekant CIG er ligedannede.

44
00:03:16,110 --> 00:03:19,360
Vi skal altså bevise,

45
00:03:19,370 --> 00:03:25,420
at FOG og CIG er ligedannede trekanter.

46
00:03:25,430 --> 00:03:29,180
.

47
00:03:29,190 --> 00:03:32,090
Hvis vi kan bevise det, vil de ensliggende vinkler

48
00:03:32,100 --> 00:03:33,290
være lige store.

49
00:03:33,300 --> 00:03:35,690
Det vil sige, at den her vinkel vil være lig den,

50
00:03:35,700 --> 00:03:36,940
der er herovre.

51
00:03:36,950 --> 00:03:39,760
OI vil så være en transversal,

52
00:03:39,770 --> 00:03:42,270
fordi de to linjer her er parallelle,

53
00:03:42,280 --> 00:03:45,390
eller hvis de her to trekanter er ligedannede.

54
00:03:45,400 --> 00:03:47,830
Husk at vi kigger på trekanten, der er her,

55
00:03:47,840 --> 00:03:49,330
og trekanten, der er her.

56
00:03:49,340 --> 00:03:51,400
Hvis de virkelig er ligedannede, så vil den her vinkel

57
00:03:51,410 --> 00:03:52,780
være ligeså stor som den her vinkel,

58
00:03:52,790 --> 00:03:53,740
hvilket betyder,

59
00:03:53,750 --> 00:03:56,180
at de her to faktisk er topvinkler.

60
00:03:56,190 --> 00:03:58,970
I det tilfælde vil det her være en rigtig linje.

61
00:03:58,980 --> 00:04:01,270
Lad os komme videre til beviset.

62
00:04:01,280 --> 00:04:05,550
Vi har ikke brug for at have de her to fremhævet mere.

63
00:04:05,560 --> 00:04:07,620
Lad os komme i gang.

64
00:04:07,630 --> 00:04:12,390
Vi ved, at linjen herovre, som vi kalder XC,

65
00:04:12,400 --> 00:04:15,580
er vinkelret på linjen AB.

66
00:04:15,590 --> 00:04:20,290
XC er en højde, og vi ved også, at FY, som er herovre,

67
00:04:20,300 --> 00:04:25,320
også er vinkelret på AB, for FY er nemlig midtnormalen.

68
00:04:25,330 --> 00:04:28,390
De danner altså begge to samme vinkel med en transversal,

69
00:04:28,400 --> 00:04:29,950
som i det her tilfælde er AB.

70
00:04:29,960 --> 00:04:33,240
De må altså være parallelle.

71
00:04:33,250 --> 00:04:39,110
Vi ved derfor, at FY og XC er parallelle.

72
00:04:39,120 --> 00:04:39,350
Linje FY og linje XC er parallelle.

73
00:04:39,360 --> 00:04:41,980
.

74
00:04:41,990 --> 00:04:46,740
Den her er parallel med den her,

75
00:04:46,750 --> 00:04:51,490
og det er ret brugbart, fordi vi ved, at indvendige vekselvinkler

76
00:04:51,500 --> 00:04:54,700
af en transversal er kongruente,

77
00:04:54,710 --> 00:04:56,070
når en transversal skærer to parallelle linjer.

78
00:04:56,080 --> 00:05:02,670
Vi ved, at den her linje, FC,

79
00:05:02,680 --> 00:05:06,740
er median i den store trekant ABC.

80
00:05:06,900 --> 00:05:09,900
Vi har altså en linje, der skærer to parallelle linjer,

81
00:05:09,910 --> 00:05:12,860
og de indvendige vekselvinkler er ens.

82
00:05:12,870 --> 00:05:15,890
Den her vinkel vil altså være ligeså stor som den her vinkel.

83
00:05:15,900 --> 00:05:24,160
Vi kan sige, at vinkel OFG og vinkel ICG er lige store.

84
00:05:24,170 --> 00:05:27,720
Vinkel OFG og vinkel ICG er kongruente.

85
00:05:27,730 --> 00:05:34,140
Vi ved også en anden ting om det her.

86
00:05:34,150 --> 00:05:38,280
Den anden ting, vi ved, er,

87
00:05:38,290 --> 00:05:41,910
at centrum i den indskrevne cirkel

88
00:05:41,920 --> 00:05:45,690
deler medianen op i to dele med forholdet 2 til 1.

89
00:05:45,700 --> 00:05:47,360
Det her er centrum i den indskrevne cirkel,

90
00:05:47,370 --> 00:05:50,830
og det punkt er 2 tredjedele nede af medianens længde.

91
00:05:50,840 --> 00:05:53,590
Vi har bevist det her i en tidligere video.

92
00:05:53,600 --> 00:06:02,330
Vi ved, at linjestykket CG er lig med 2 gange linjestykket GF,

93
00:06:02,340 --> 00:06:03,610
og måske er det til at regne ud, hvad vi gør nu.

94
00:06:03,620 --> 00:06:06,710
Vi har en vinkel her, og vi har vist, at forholdet mellem den her side

95
00:06:06,720 --> 00:06:09,480
og den her side er 2 til 1, og det er altså en egenskab ved centrum af den indskrevne cirkel

96
00:06:09,490 --> 00:06:10,830
og medianen.

97
00:06:10,840 --> 00:06:16,850
Nu kan vi prøve at vise, at forholdet mellem linjestykket CI og linjestykket FO er 2 til 1.

98
00:06:16,860 --> 00:06:20,240
Det vil sige, at vi har to ensliggende sider, hvor forholdet er 2 til 1,

99
00:06:20,250 --> 00:06:22,100
og vi har vinklerne, der er kongruente.

100
00:06:22,110 --> 00:06:25,920
Vi kan så bruge reglen om side-vinkel-side ligedannethed til at vise,

101
00:06:25,930 --> 00:06:28,570
at de to trekanter er ligedannede.

102
00:06:28,580 --> 00:06:34,180
Hvis vi kigger på linjen CI, kan vi se, at den er længden fra

103
00:06:34,190 --> 00:06:40,210
den store trekants vinkelspids C og til den store trekants skæring mellem højderne.

104
00:06:40,220 --> 00:06:41,830
Hvad er FO?

105
00:06:41,840 --> 00:06:47,220
F er et ensliggende punkt med C i midtertrekanten.

106
00:06:47,230 --> 00:06:51,630
Vi skal lige sikre os, at vi skriver ligedannetheden på den rigtige måde.

107
00:06:51,640 --> 00:06:54,040
F er ensliggende med punkt C.

108
00:06:54,050 --> 00:06:59,370
FO er altså længden mellem F i midtertrekanten

109
00:06:59,380 --> 00:07:03,130
og midtertrekantens skæring mellem højderne.

110
00:07:03,140 --> 00:07:04,810
Det her er længden mellem C

111
00:07:04,820 --> 00:07:06,740
og skæringen mellem højderne i den store trekant.

112
00:07:06,750 --> 00:07:09,560
Det her er længden mellem den ensliggende

113
00:07:09,570 --> 00:07:10,990
side i midtertrekanten

114
00:07:11,000 --> 00:07:13,070
og midtertrekantens skæring mellem højderne.

115
00:07:13,080 --> 00:07:16,190
Det her er altså den samme tilsvarende længde

116
00:07:16,200 --> 00:07:18,740
i den store trekant og i midtertrekanten.

117
00:07:18,750 --> 00:07:21,820
Vi ved allerede, at de to er ligedannede med forholdet 2 til 1.

118
00:07:21,830 --> 00:07:25,820
De tilsvarende længder mellem to punkter

119
00:07:25,830 --> 00:07:28,560
på de to trekanter vil altså have samme størrelsesforhold.

120
00:07:28,570 --> 00:07:32,750
På grund af ligedannetheden ved vi,

121
00:07:32,760 --> 00:07:39,500
at linjestykket CI er lig med 2 gange linjestykket FO.

122
00:07:39,510 --> 00:07:43,440
Det skal lige understreges, at C er ensliggende med punktet F,

123
00:07:43,450 --> 00:07:46,080
når vi kigger på de to ligedannede trekanter.

124
00:07:46,090 --> 00:07:48,600
I er skæringen mellem højderne i den store trekant,

125
00:07:48,610 --> 00:07:50,560
mens O er skæringen mellem højderne i midtertrekanten.

126
00:07:50,570 --> 00:07:52,470
Vi tager et ensliggende punkt

127
00:07:52,480 --> 00:07:54,270
med skæringen mellem højderne i den store trekant

128
00:07:54,280 --> 00:07:58,320
og et ensliggende punkt med skæringen mellem højderne i midtertrekanten.

129
00:07:58,330 --> 00:08:00,710
Trekanterne er ligedannede med forholdet 2 til 1,

130
00:08:00,720 --> 00:08:04,930
så forholdet mellem den her længde og den her længde skal være 2 til 1.

131
00:08:04,940 --> 00:08:07,910
Nu har vi altså vist,

132
00:08:07,920 --> 00:08:12,380
at forholdet mellem den her side og den her side er 2 til 1.

133
00:08:12,450 --> 00:08:17,730
Vi har vist, at forholdet mellem den her side og den her side også er 2 til 1.

134
00:08:17,740 --> 00:08:20,370
Vi har også vist, at vinklen imellem dem er kongruent.

135
00:08:20,380 --> 00:08:24,080
Vinklen imellem dem er kongruent.

136
00:08:24,090 --> 00:08:26,950
Vi har altså med side-vinkel-side ligedannethed bevist,

137
00:08:26,960 --> 00:08:33,540
og vi ruller lige lidt ned på siden.

138
00:08:33,550 --> 00:08:40,110
Vi har med side-vinkel-side ligedannethed bevist, at trekant FOG

139
00:08:40,120 --> 00:08:43,360
og trekant CIG er ligedannede.

140
00:08:43,370 --> 00:08:46,350
Derfor ved vi, at de ensliggende trekanter er kongruente.

141
00:08:46,360 --> 00:08:51,910
Vi ved, at vinkel CIG er ensliggende med vinkel FOG,

142
00:08:51,920 --> 00:08:57,450
og de er derfor kongruente.

143
00:08:57,460 --> 00:09:00,660
Vi skriver lige det her i en ny farve.

144
00:09:00,670 --> 00:09:04,460
Vi ved også, at vinkel CGI er ensliggende med vinkel OGF,

145
00:09:04,470 --> 00:09:07,270
og derfor er de altså også kongruente.

146
00:09:07,280 --> 00:09:09,360
Man kan se på det på forskellige måder.

147
00:09:09,370 --> 00:09:12,140
Hvis den her vinkel og den her vinkel er kongruente, kan man se OI som en linje,

148
00:09:12,150 --> 00:09:15,670
som en transversal af de her to parallelle linjer.

149
00:09:15,680 --> 00:09:17,390
Det fortæller os, at det er én linje.

150
00:09:17,400 --> 00:09:18,920
Man kan også kigge på de to herovre,

151
00:09:18,930 --> 00:09:21,240
og de to vinkler er lige store,

152
00:09:21,250 --> 00:09:23,070
så de må være topvinkler.

153
00:09:23,080 --> 00:09:26,800
Derfor må det her være en og samme linje.

154
00:09:26,810 --> 00:09:29,290
Den vinkel som nærmer sig medianen her,

155
00:09:29,300 --> 00:09:32,290
er den samme vinkel som forlader medianen.

156
00:09:32,300 --> 00:09:35,840
De her er altså allesammen på den samme linje.

157
00:09:35,850 --> 00:09:38,310
Det er et meget simpelt bevis, som stammer fra noget af det, vi har lært tidligere.

158
00:09:38,320 --> 00:09:42,260
Skæringen mellem højderne,

159
00:09:42,270 --> 00:09:45,930
skæringen mellem mediaerne og skæringen mellem midtnormalerne

160
00:09:45,940 --> 00:09:49,320
er alle på den samme linje, kaldet Eulerlinjen.