Důkaz Eulerovy přímky

Důkaz, tak trochu mystického, faktu, že střed kružnice opsané (průsečík os stran), těžiště a ortocentrum leží na jedné přímce.

Co chci dělat v tomto videu,

pro nějaký trojúhelník,
zaměřím se na tento větší trojúhelník ABC,

chci dokázat, že střed kružnice opsané…

… vzpomeňte si, střed kružnice opsané
je průsečík kolmých os stran…

Střed kružnice opsané, těžiště…

… těžiště je průsečík těžnic…

… a ortocentrum, to je průsečík výšek,

všechny leží na jedné přímce,
neboli, že OI je úsečka,

Nebo že OG a GI jsou dvě úsečky

které dají jednu delší úsečku,
která je částí Eulerovy přímky.

A abych to dokázal,
nachystal jsem si tu příčkový trojúhelník,

trojúhelník FED,
nebo bych měl říct DEF,

který je příčkovým trojúhelníkem k ABC.

A je plno věcí,
které víme o příčkovém trojúhelníku,

které jsme dokázali v minulých videích.

První věcí je, že příčkový trojúhelník DEF

bude podobný většímu trojúhelníku,
tomu kterému je příčkovým,

a že poměr většího trojúhelníku
k menšímu je 2 ku 1.

A to bude obzvláště
důležité pro náš důkaz.

Když jsou dva trojúhelníky
podobné s daným poměrem, to znamená,

že když vezmete vzdálenost mezi dvěma
odpovídajícími částmi trojúhelníku,

poměr bude 2 ku 1.

Další vztah, který jsme si už ukázali,

další vztah mezi příčkovým trojúhelníkem
a trojúhelníkem, kterému je příčkovým, je,

že ortocentrum příčkového trojúhelníku

je střed kružnice opsané
většího trojúhelníku.

Takže jinak, bod O, který jsme už zmínili,

je střed kružnice opsané
většího trojúhelníku.

Je to také ortocentrum
menšího trojúhelníku.

Takže bod O,
všimněte si je na této ose strany…

… měl jsem jich udělat více
v této tmavě šedé barvě…

Ale nechtěl jsem ten
diagram moc přeplácaný.

Je to střed kružnice opsané
většího trojúhelníku.

A je to také ortocentrum
menšího trojúhelníku DEF.

A vlastně jsme toho využili, když jsme
dokazovali, že ortocentra jsou průsečíky.

Začali jsme příčkovým trojúhelníkem,

řekli jsme „OK, zjistěme,
kde se protínají výšky,“

a vlastně jsme zjistili, že výšky jsou
osy stran většího trojúhelníku,

když jsme předpokládali, že je příčkovým
trojúhelníkem toho většího.

Bod, který je důležitý pro náš důkaz,

je střed ABC, ale ortocentrum DEF,
ale o tom jsme mluvili v minulých videích.

Teď pro důkaz toho,
že O, G a I leží na jedné přímce

nebo na stejné úsečce v tomto případě.

Co chci udělat.
Chci dokázat...

Chci dokázat, že trojúhelník FOG...

Chci dokázat, že trojúhelník FOG

je podobný trojúhelníku CIG.

Je podobný trojúhelníku CIG.

Protože pokud to dokážu,

pak jejich odpovídající úhly budou shodné.

Můžete říci, že tento úhel bude
roven tomuto úhlu zde.

Takže OI bude muset být průsečnicí,

protože uvidíme,
že tyto dvě přímky jsou rovnoběžné,

nebo, pokud jsou tyto trojúhelníky podobné,

pamatujte, že se díváme
na tento trojúhelník,

a na tento trojúhelník zde.

Pokud jsou si podobné,

pak tento úhel bude roven tomuto úhlu,

což bude znamenat,
že tyhle úhly jsou vrcholové

a že tohle bude přímka.

Takže pojďme k samotnému důkazu.

Možná nepotřebuji tohle zvýraznit.

Takže jedna věc,
kterou jsem už napověděl:

víme, že tato přímka, přímka XC,

je kolmá na přímku AB,
je to výška.

Víme také, že přímka FY je kolmá k AB,
je to osa strany.

Takže obě mají stejné úhly k průsečnici,

můžete brát AB jako průsečnici,

takže musí být rovnoběžné,

takže víme, že FY je rovnoběžná k XC.

Úsečka FY je rovnoběžná s úsečkou XC
a můžeme to napsat takto:

Tahle je rovnoběžná s touto.

A to je užitečné, protože víme,
že střídavé úhly průsečnice,

která protíná dvě rovnoběžné přímky,

jsou shodné.

Takže víme, že tento úhel…

víme, že FC je přímka, je to těžnice
většího trojúhelníku ABC.

Takže máme přímku
protínající dvě rovnoběžné přímky,

střídavé úhly jsou shodné.

Tento úhel bude shodný s tímto úhlem.

Takže můžeme říct,
že úhel OFG je shodný s úhlem ICG.

Takže, další věc, co víme, je,
tohle je vlastnost těžnic,

že těžnice dělí,

nebo spíš těžiště dělí jinou těžnici
na dvě části v poměru 2 ku 1.

Nebo můžeme říct,
že těžiště je ve dvou třetinách těžnice.

Takže to víme,
to jsme dokázali v předchozím videu.

Víme, že CG je rovno dvakrát GF.

A myslím, že víte, kam tím míříme.

Máme úhel, ukázal jsem, že poměr
této strany k této straně je 2 ku 1,

to je vlastnost těžiště a těžnic.

A pokud ukážu, že poměr této strany
CI ke straně FO je 2 ku 1,

pak máme dvě odpovídající
strany s poměrem 2 ku 1,

máme úhel mezi nimi,

můžeme využít podobnosti sus,
abychom ukázali,

že tyto trojúhelníky
jsou si vlastně podobné.

Pojďme o tom popřemýšlet.

CI je vzdálenost mezi bodem C
a ortocentrem většího trojúhelníku.

I je ortocentrum většího trojúhelníku.

A co je FO?

Bod F odpovídá bodu C
na příčkovém trojúhelníku.

Ujistíme se, že ukazujeme
podobnost na správném…

Bod F odpovídá bodu C.

Takže FO je vzdálenost mezi
bodem F na menším trojúhelníku

a ortocentrem menšího trojúhelníku.

Takže tohle je vzdálenost mezi bodem C
a ortocentrem většího trojúhelníku.

Tohle je vzdálenost mezi bodem příčkového
trojúhelníku a jeho ortocentrem.

Takže toto je odpovídající vzdálenost

na větším trojúhelníku
a na příčkovém trojúhelníku

A už víme, že jsou si podobné
v poměru 2 ku 1.

A tedy odpovídající vzdálenosti
mezi libovolnými dvěma body

na trojúhelnících budou mít stejný poměr.

Takže díky té podobnosti víme,

že CI je rovno dvakrát FO.

Chci to zdůraznit, C odpovídá F,

když se podíváme na
oba podobné trojúhelníky.

I je ortocentrum většího trojúhelníku,

O je ortocentrum menšího trojúhelníku.

Vezmete odpovídající bod do
ortocentra většího trojúhelníku,

odpovídající bod menšího trojúhelníku
do ortocentra menšího trojúhelníku.

Trojúhelníky jsou si podobné
v poměru 2 ku 1.

Takže poměr této vzdálenosti k téhle
bude 2 ku 1.

Takže jsme ukázali,
že poměr této strany k této je 2 ku 1.

Ukázali jsme, že poměr této
vzdálenosti k této je také 2 ku 1.

A ukázali jsme,
že úhly mezi nimi jsou shodné.

Takže jsme za pomocí sus podobnosti…

… posunu to malinko dolů…

Takže pomocí sus podobnosti,
ne shodnosti, ale podobnosti,

dokázali jsme, že FOG je podobný CIG.

Víme, že odpovídající úhly jsou shodné,

víme že úhel CIG odpovídá úhlu FOG,

takže ty budou shodné.
Také víme, že úhel CGI…

… udělám to jinou barvou…

… úhel CGI odpovídá úhlu OGF.

Takže také budou shodné.

Takže můžete různě vidět,

že tento úhel a tento úhel je stejný,

takže můžete považovat OI za přímku,
průsečnici těchto dvou rovnoběžek.

Takže víte, že je to přímka.

Nebo se můžete podívat na tyto dvě,

tyto úhly se rovnají,
takže to musí být vrcholové úhly,

takže to doopravdy musí být přímka.

Úhel pod kterým se blíží
k této těžnici je stejný,

jako úhel pod kterým odchází

Takže jsou rozhodně na jedné přímce.

Je to opět velmi jednoduchý důkaz

pro velmi hlubokou myšlenku,

že ortocentrum, těžiště
a střed kružnice opsané

leží na této magické Eulerově přímce.