WEBVTT

00:00:00.380 --> 00:00:01.902
Co chci dělat v tomto videu,

00:00:02.134 --> 00:00:07.431
pro nějaký trojúhelník,
zaměřím se na tento větší trojúhelník ABC,

00:00:07.683 --> 00:00:11.930
chci dokázat, že střed kružnice opsané…

00:00:12.079 --> 00:00:16.612
… vzpomeňte si, střed kružnice opsané
je průsečík kolmých os stran…

00:00:16.830 --> 00:00:21.383
Střed kružnice opsané, těžiště…

00:00:21.553 --> 00:00:23.878
… těžiště je průsečík těžnic…

00:00:24.050 --> 00:00:28.599
… a ortocentrum, to je průsečík výšek,

00:00:28.730 --> 00:00:34.927
všechny leží na jedné přímce,
neboli, že OI je úsečka,

00:00:35.067 --> 00:00:38.877
Nebo že OG a GI jsou dvě úsečky

00:00:39.047 --> 00:00:44.476
které dají jednu delší úsečku,
která je částí Eulerovy přímky.

00:00:44.820 --> 00:00:48.497
A abych to dokázal,
nachystal jsem si tu příčkový trojúhelník,

00:00:48.777 --> 00:00:52.560
trojúhelník FED,
nebo bych měl říct DEF,

00:00:52.690 --> 00:00:56.444
který je příčkovým trojúhelníkem k ABC.

00:00:56.596 --> 00:01:00.131
A je plno věcí,
které víme o příčkovém trojúhelníku,

00:01:00.284 --> 00:01:02.288
které jsme dokázali v minulých videích.

00:01:02.460 --> 00:01:07.672
První věcí je, že příčkový trojúhelník DEF

00:01:07.833 --> 00:01:13.177
bude podobný většímu trojúhelníku,
tomu kterému je příčkovým,

00:01:14.390 --> 00:01:19.144
a že poměr většího trojúhelníku
k menšímu je 2 ku 1.

00:01:19.302 --> 00:01:21.522
A to bude obzvláště
důležité pro náš důkaz.

00:01:21.790 --> 00:01:24.946
Když jsou dva trojúhelníky
podobné s daným poměrem, to znamená,

00:01:25.103 --> 00:01:29.753
že když vezmete vzdálenost mezi dvěma
odpovídajícími částmi trojúhelníku,

00:01:29.863 --> 00:01:32.553
poměr bude 2 ku 1.

00:01:32.700 --> 00:01:35.352
Další vztah, který jsme si už ukázali,

00:01:35.522 --> 00:01:40.485
další vztah mezi příčkovým trojúhelníkem
a trojúhelníkem, kterému je příčkovým, je,

00:01:40.690 --> 00:01:47.391
že ortocentrum příčkového trojúhelníku

00:01:47.528 --> 00:01:51.856
je střed kružnice opsané
většího trojúhelníku.

00:01:51.980 --> 00:01:55.420
Takže jinak, bod O, který jsme už zmínili,

00:01:55.598 --> 00:01:58.611
je střed kružnice opsané
většího trojúhelníku.

00:01:58.820 --> 00:02:05.117
Je to také ortocentrum
menšího trojúhelníku.

00:02:06.356 --> 00:02:11.821
Takže bod O,
všimněte si je na této ose strany…

00:02:11.970 --> 00:02:14.482
… měl jsem jich udělat více
v této tmavě šedé barvě…

00:02:14.622 --> 00:02:18.084
Ale nechtěl jsem ten
diagram moc přeplácaný.

00:02:18.225 --> 00:02:20.733
Je to střed kružnice opsané
většího trojúhelníku.

00:02:20.851 --> 00:02:26.022
A je to také ortocentrum
menšího trojúhelníku DEF.

00:02:26.199 --> 00:02:30.976
A vlastně jsme toho využili, když jsme
dokazovali, že ortocentra jsou průsečíky.

00:02:31.129 --> 00:02:33.023
Začali jsme příčkovým trojúhelníkem,

00:02:33.152 --> 00:02:38.021
řekli jsme „OK, zjistěme,
kde se protínají výšky,“

00:02:38.164 --> 00:02:42.974
a vlastně jsme zjistili, že výšky jsou
osy stran většího trojúhelníku,

00:02:43.115 --> 00:02:46.516
když jsme předpokládali, že je příčkovým
trojúhelníkem toho většího.

00:02:46.726 --> 00:02:49.341
Bod, který je důležitý pro náš důkaz,

00:02:49.483 --> 00:02:56.930
je střed ABC, ale ortocentrum DEF,
ale o tom jsme mluvili v minulých videích.

00:02:57.120 --> 00:03:03.997
Teď pro důkaz toho,
že O, G a I leží na jedné přímce

00:03:04.177 --> 00:03:06.726
nebo na stejné úsečce v tomto případě.

00:03:06.940 --> 00:03:10.701
Co chci udělat.
Chci dokázat...

00:03:10.870 --> 00:03:15.714
Chci dokázat, že trojúhelník FOG...

00:03:15.880 --> 00:03:19.105
Chci dokázat, že trojúhelník FOG

00:03:19.263 --> 00:03:25.150
je podobný trojúhelníku CIG.

00:03:25.342 --> 00:03:28.827
Je podobný trojúhelníku CIG.

00:03:28.970 --> 00:03:30.358
Protože pokud to dokážu,

00:03:30.498 --> 00:03:32.951
pak jejich odpovídající úhly budou shodné.

00:03:33.100 --> 00:03:36.523
Můžete říci, že tento úhel bude
roven tomuto úhlu zde.

00:03:36.699 --> 00:03:39.434
Takže OI bude muset být průsečnicí,

00:03:39.590 --> 00:03:42.117
protože uvidíme,
že tyto dvě přímky jsou rovnoběžné,

00:03:42.280 --> 00:03:44.969
nebo, pokud jsou tyto trojúhelníky podobné,

00:03:45.119 --> 00:03:47.598
pamatujte, že se díváme
na tento trojúhelník,

00:03:47.740 --> 00:03:49.072
a na tento trojúhelník zde.

00:03:49.192 --> 00:03:50.287
Pokud jsou si podobné,

00:03:50.444 --> 00:03:52.463
pak tento úhel bude roven tomuto úhlu,

00:03:52.634 --> 00:03:55.700
což bude znamenat,
že tyhle úhly jsou vrcholové

00:03:55.840 --> 00:03:58.815
a že tohle bude přímka.

00:03:58.980 --> 00:04:01.011
Takže pojďme k samotnému důkazu.

00:04:01.280 --> 00:04:05.255
Možná nepotřebuji tohle zvýraznit.

00:04:05.430 --> 00:04:07.538
Takže jedna věc,
kterou jsem už napověděl:

00:04:07.690 --> 00:04:12.074
víme, že tato přímka, přímka XC,

00:04:12.230 --> 00:04:16.415
je kolmá na přímku AB,
je to výška.

00:04:16.565 --> 00:04:24.565
Víme také, že přímka FY je kolmá k AB,
je to osa strany.

00:04:24.715 --> 00:04:27.940
Takže obě mají stejné úhly k průsečnici,

00:04:28.070 --> 00:04:29.694
můžete brát AB jako průsečnici,

00:04:29.890 --> 00:04:31.409
takže musí být rovnoběžné,

00:04:31.524 --> 00:04:38.710
takže víme, že FY je rovnoběžná k XC.

00:04:39.100 --> 00:04:42.622
Úsečka FY je rovnoběžná s úsečkou XC
a můžeme to napsat takto:

00:04:42.798 --> 00:04:46.573
Tahle je rovnoběžná s touto.

00:04:46.750 --> 00:04:51.995
A to je užitečné, protože víme,
že střídavé úhly průsečnice,

00:04:52.155 --> 00:04:54.052
která protíná dvě rovnoběžné přímky,

00:04:54.192 --> 00:04:55.517
jsou shodné.

00:04:55.683 --> 00:04:58.669
Takže víme, že tento úhel…

00:04:58.832 --> 00:05:06.432
víme, že FC je přímka, je to těžnice
většího trojúhelníku ABC.

00:05:06.590 --> 00:05:09.570
Takže máme přímku
protínající dvě rovnoběžné přímky,

00:05:09.733 --> 00:05:12.515
střídavé úhly jsou shodné.

00:05:12.677 --> 00:05:15.430
Tento úhel bude shodný s tímto úhlem.

00:05:15.560 --> 00:05:30.038
Takže můžeme říct,
že úhel OFG je shodný s úhlem ICG.

00:05:30.288 --> 00:05:37.321
Takže, další věc, co víme, je,
tohle je vlastnost těžnic,

00:05:37.499 --> 00:05:40.140
že těžnice dělí,

00:05:40.289 --> 00:05:45.107
nebo spíš těžiště dělí jinou těžnici
na dvě části v poměru 2 ku 1.

00:05:45.307 --> 00:05:50.535
Nebo můžeme říct,
že těžiště je ve dvou třetinách těžnice.

00:05:50.757 --> 00:05:53.468
Takže to víme,
to jsme dokázali v předchozím videu.

00:05:53.730 --> 00:06:01.669
Víme, že CG je rovno dvakrát GF.

00:06:01.818 --> 00:06:03.400
A myslím, že víte, kam tím míříme.

00:06:03.531 --> 00:06:07.913
Máme úhel, ukázal jsem, že poměr
této strany k této straně je 2 ku 1,

00:06:08.010 --> 00:06:10.640
to je vlastnost těžiště a těžnic.

00:06:10.783 --> 00:06:16.370
A pokud ukážu, že poměr této strany
CI ke straně FO je 2 ku 1,

00:06:16.470 --> 00:06:19.683
pak máme dvě odpovídající
strany s poměrem 2 ku 1,

00:06:19.843 --> 00:06:21.595
máme úhel mezi nimi,

00:06:21.745 --> 00:06:24.272
můžeme využít podobnosti sus,
abychom ukázali,

00:06:24.422 --> 00:06:26.676
že tyto trojúhelníky
jsou si vlastně podobné.

00:06:26.835 --> 00:06:28.333
Pojďme o tom popřemýšlet.

00:06:28.490 --> 00:06:36.686
CI je vzdálenost mezi bodem C
a ortocentrem většího trojúhelníku.

00:06:36.816 --> 00:06:39.972
I je ortocentrum většího trojúhelníku.

00:06:40.220 --> 00:06:41.736
A co je FO?

00:06:41.997 --> 00:06:46.920
Bod F odpovídá bodu C
na příčkovém trojúhelníku.

00:06:47.070 --> 00:06:50.642
Ujistíme se, že ukazujeme
podobnost na správném…

00:06:50.780 --> 00:06:53.798
Bod F odpovídá bodu C.

00:06:53.920 --> 00:06:59.094
Takže FO je vzdálenost mezi
bodem F na menším trojúhelníku

00:06:59.270 --> 00:07:02.822
a ortocentrem menšího trojúhelníku.

00:07:03.015 --> 00:07:06.472
Takže tohle je vzdálenost mezi bodem C
a ortocentrem většího trojúhelníku.

00:07:06.610 --> 00:07:12.645
Tohle je vzdálenost mezi bodem příčkového
trojúhelníku a jeho ortocentrem.

00:07:12.762 --> 00:07:15.752
Takže toto je odpovídající vzdálenost

00:07:15.880 --> 00:07:18.290
na větším trojúhelníku
a na příčkovém trojúhelníku

00:07:18.440 --> 00:07:21.597
A už víme, že jsou si podobné
v poměru 2 ku 1.

00:07:21.830 --> 00:07:25.555
A tedy odpovídající vzdálenosti
mezi libovolnými dvěma body

00:07:25.725 --> 00:07:28.295
na trojúhelnících budou mít stejný poměr.

00:07:28.570 --> 00:07:33.285
Takže díky té podobnosti víme,

00:07:33.455 --> 00:07:38.739
že CI je rovno dvakrát FO.

00:07:38.869 --> 00:07:42.820
Chci to zdůraznit, C odpovídá F,

00:07:42.960 --> 00:07:45.838
když se podíváme na
oba podobné trojúhelníky.

00:07:45.960 --> 00:07:48.164
I je ortocentrum většího trojúhelníku,

00:07:48.304 --> 00:07:50.416
O je ortocentrum menšího trojúhelníku.

00:07:50.570 --> 00:07:53.919
Vezmete odpovídající bod do
ortocentra většího trojúhelníku,

00:07:54.095 --> 00:07:57.962
odpovídající bod menšího trojúhelníku
do ortocentra menšího trojúhelníku.

00:07:58.140 --> 00:08:00.411
Trojúhelníky jsou si podobné
v poměru 2 ku 1.

00:08:00.571 --> 00:08:04.787
Takže poměr této vzdálenosti k téhle
bude 2 ku 1.

00:08:04.940 --> 00:08:11.747
Takže jsme ukázali,
že poměr této strany k této je 2 ku 1.

00:08:11.983 --> 00:08:17.525
Ukázali jsme, že poměr této
vzdálenosti k této je také 2 ku 1.

00:08:17.707 --> 00:08:23.611
A ukázali jsme,
že úhly mezi nimi jsou shodné.

00:08:23.879 --> 00:08:26.734
Takže jsme za pomocí sus podobnosti…

00:08:26.960 --> 00:08:28.962
… posunu to malinko dolů…

00:08:29.112 --> 00:08:35.556
Takže pomocí sus podobnosti,
ne shodnosti, ale podobnosti,

00:08:35.732 --> 00:08:43.165
dokázali jsme, že FOG je podobný CIG.

00:08:43.370 --> 00:08:46.115
Víme, že odpovídající úhly jsou shodné,

00:08:46.360 --> 00:08:51.670
víme že úhel CIG odpovídá úhlu FOG,

00:08:52.040 --> 00:08:57.303
takže ty budou shodné.
Také víme, že úhel CGI…

00:08:58.517 --> 00:09:00.453
… udělám to jinou barvou…

00:09:00.670 --> 00:09:04.192
… úhel CGI odpovídá úhlu OGF.

00:09:04.470 --> 00:09:06.947
Takže také budou shodné.

00:09:07.040 --> 00:09:08.326
Takže můžete různě vidět,

00:09:08.436 --> 00:09:10.308
že tento úhel a tento úhel je stejný,

00:09:10.411 --> 00:09:15.369
takže můžete považovat OI za přímku,
průsečnici těchto dvou rovnoběžek.

00:09:15.496 --> 00:09:17.000
Takže víte, že je to přímka.

00:09:17.110 --> 00:09:18.848
Nebo se můžete podívat na tyto dvě,

00:09:18.930 --> 00:09:22.681
tyto úhly se rovnají,
takže to musí být vrcholové úhly,

00:09:22.830 --> 00:09:26.357
takže to doopravdy musí být přímka.

00:09:26.547 --> 00:09:30.110
Úhel pod kterým se blíží
k této těžnici je stejný,

00:09:30.244 --> 00:09:31.850
jako úhel pod kterým odchází

00:09:32.010 --> 00:09:35.398
Takže jsou rozhodně na jedné přímce.

00:09:35.538 --> 00:09:37.815
Je to opět velmi jednoduchý důkaz

00:09:37.998 --> 00:09:40.348
pro velmi hlubokou myšlenku,

00:09:40.555 --> 00:09:45.480
že ortocentrum, těžiště
a střed kružnice opsané

00:09:45.638 --> 00:09:48.939
leží na této magické Eulerově přímce.