0:00:00.380,0:00:01.902 Co chci dělat v tomto videu, 0:00:02.134,0:00:07.431 pro nějaký trojúhelník,[br]zaměřím se na tento větší trojúhelník ABC, 0:00:07.683,0:00:11.930 chci dokázat, že střed kružnice opsané… 0:00:12.079,0:00:16.612 … vzpomeňte si, střed kružnice opsané[br]je průsečík kolmých os stran… 0:00:16.830,0:00:21.383 Střed kružnice opsané, těžiště… 0:00:21.553,0:00:23.878 … těžiště je průsečík těžnic… 0:00:24.050,0:00:28.599 … a ortocentrum, to je průsečík výšek, 0:00:28.730,0:00:34.927 všechny leží na jedné přímce,[br]neboli, že OI je úsečka, 0:00:35.067,0:00:38.877 Nebo že OG a GI jsou dvě úsečky 0:00:39.047,0:00:44.476 které dají jednu delší úsečku,[br]která je částí Eulerovy přímky. 0:00:44.820,0:00:48.497 A abych to dokázal,[br]nachystal jsem si tu příčkový trojúhelník, 0:00:48.777,0:00:52.560 trojúhelník FED,[br]nebo bych měl říct DEF, 0:00:52.690,0:00:56.444 který je příčkovým trojúhelníkem k ABC. 0:00:56.596,0:01:00.131 A je plno věcí,[br]které víme o příčkovém trojúhelníku, 0:01:00.284,0:01:02.288 které jsme dokázali v minulých videích. 0:01:02.460,0:01:07.672 První věcí je, že příčkový trojúhelník DEF 0:01:07.833,0:01:13.177 bude podobný většímu trojúhelníku,[br]tomu kterému je příčkovým, 0:01:14.390,0:01:19.144 a že poměr většího trojúhelníku[br]k menšímu je 2 ku 1. 0:01:19.302,0:01:21.522 A to bude obzvláště[br]důležité pro náš důkaz. 0:01:21.790,0:01:24.946 Když jsou dva trojúhelníky[br]podobné s daným poměrem, to znamená, 0:01:25.103,0:01:29.753 že když vezmete vzdálenost mezi dvěma[br]odpovídajícími částmi trojúhelníku, 0:01:29.863,0:01:32.553 poměr bude 2 ku 1. 0:01:32.700,0:01:35.352 Další vztah, který jsme si už ukázali, 0:01:35.522,0:01:40.485 další vztah mezi příčkovým trojúhelníkem[br]a trojúhelníkem, kterému je příčkovým, je, 0:01:40.690,0:01:47.391 že ortocentrum příčkového trojúhelníku 0:01:47.528,0:01:51.856 je střed kružnice opsané[br]většího trojúhelníku. 0:01:51.980,0:01:55.420 Takže jinak, bod O, který jsme už zmínili, 0:01:55.598,0:01:58.611 je střed kružnice opsané[br]většího trojúhelníku. 0:01:58.820,0:02:05.117 Je to také ortocentrum[br]menšího trojúhelníku. 0:02:06.356,0:02:11.821 Takže bod O,[br]všimněte si je na této ose strany… 0:02:11.970,0:02:14.482 … měl jsem jich udělat více[br]v této tmavě šedé barvě… 0:02:14.622,0:02:18.084 Ale nechtěl jsem ten[br]diagram moc přeplácaný. 0:02:18.225,0:02:20.733 Je to střed kružnice opsané[br]většího trojúhelníku. 0:02:20.851,0:02:26.022 A je to také ortocentrum[br]menšího trojúhelníku DEF. 0:02:26.199,0:02:30.976 A vlastně jsme toho využili, když jsme[br]dokazovali, že ortocentra jsou průsečíky. 0:02:31.129,0:02:33.023 Začali jsme příčkovým trojúhelníkem, 0:02:33.152,0:02:38.021 řekli jsme „OK, zjistěme,[br]kde se protínají výšky,“ 0:02:38.164,0:02:42.974 a vlastně jsme zjistili, že výšky jsou[br]osy stran většího trojúhelníku, 0:02:43.115,0:02:46.516 když jsme předpokládali, že je příčkovým[br]trojúhelníkem toho většího. 0:02:46.726,0:02:49.341 Bod, který je důležitý pro náš důkaz, 0:02:49.483,0:02:56.930 je střed ABC, ale ortocentrum DEF,[br]ale o tom jsme mluvili v minulých videích. 0:02:57.120,0:03:03.997 Teď pro důkaz toho,[br]že O, G a I leží na jedné přímce 0:03:04.177,0:03:06.726 nebo na stejné úsečce v tomto případě. 0:03:06.940,0:03:10.701 Co chci udělat.[br]Chci dokázat... 0:03:10.870,0:03:15.714 Chci dokázat, že trojúhelník FOG... 0:03:15.880,0:03:19.105 Chci dokázat, že trojúhelník FOG 0:03:19.263,0:03:25.150 je podobný trojúhelníku CIG. 0:03:25.342,0:03:28.827 Je podobný trojúhelníku CIG. 0:03:28.970,0:03:30.358 Protože pokud to dokážu, 0:03:30.498,0:03:32.951 pak jejich odpovídající úhly budou shodné. 0:03:33.100,0:03:36.523 Můžete říci, že tento úhel bude[br]roven tomuto úhlu zde. 0:03:36.699,0:03:39.434 Takže OI bude muset být průsečnicí, 0:03:39.590,0:03:42.117 protože uvidíme,[br]že tyto dvě přímky jsou rovnoběžné, 0:03:42.280,0:03:44.969 nebo, pokud jsou tyto trojúhelníky podobné, 0:03:45.119,0:03:47.598 pamatujte, že se díváme[br]na tento trojúhelník, 0:03:47.740,0:03:49.072 a na tento trojúhelník zde. 0:03:49.192,0:03:50.287 Pokud jsou si podobné, 0:03:50.444,0:03:52.463 pak tento úhel bude roven tomuto úhlu, 0:03:52.634,0:03:55.700 což bude znamenat,[br]že tyhle úhly jsou vrcholové 0:03:55.840,0:03:58.815 a že tohle bude přímka. 0:03:58.980,0:04:01.011 Takže pojďme k samotnému důkazu. 0:04:01.280,0:04:05.255 Možná nepotřebuji tohle zvýraznit. 0:04:05.430,0:04:07.538 Takže jedna věc,[br]kterou jsem už napověděl: 0:04:07.690,0:04:12.074 víme, že tato přímka, přímka XC, 0:04:12.230,0:04:16.415 je kolmá na přímku AB,[br]je to výška. 0:04:16.565,0:04:24.565 Víme také, že přímka FY je kolmá k AB,[br]je to osa strany. 0:04:24.715,0:04:27.940 Takže obě mají stejné úhly k průsečnici, 0:04:28.070,0:04:29.694 můžete brát AB jako průsečnici, 0:04:29.890,0:04:31.409 takže musí být rovnoběžné, 0:04:31.524,0:04:38.710 takže víme, že FY je rovnoběžná k XC. 0:04:39.100,0:04:42.622 Úsečka FY je rovnoběžná s úsečkou XC[br]a můžeme to napsat takto: 0:04:42.798,0:04:46.573 Tahle je rovnoběžná s touto. 0:04:46.750,0:04:51.995 A to je užitečné, protože víme,[br]že střídavé úhly průsečnice, 0:04:52.155,0:04:54.052 která protíná dvě rovnoběžné přímky, 0:04:54.192,0:04:55.517 jsou shodné. 0:04:55.683,0:04:58.669 Takže víme, že tento úhel… 0:04:58.832,0:05:06.432 víme, že FC je přímka, je to těžnice[br]většího trojúhelníku ABC. 0:05:06.590,0:05:09.570 Takže máme přímku[br]protínající dvě rovnoběžné přímky, 0:05:09.733,0:05:12.515 střídavé úhly jsou shodné. 0:05:12.677,0:05:15.430 Tento úhel bude shodný s tímto úhlem. 0:05:15.560,0:05:30.038 Takže můžeme říct,[br]že úhel OFG je shodný s úhlem ICG. 0:05:30.288,0:05:37.321 Takže, další věc, co víme, je,[br]tohle je vlastnost těžnic, 0:05:37.499,0:05:40.140 že těžnice dělí, 0:05:40.289,0:05:45.107 nebo spíš těžiště dělí jinou těžnici[br]na dvě části v poměru 2 ku 1. 0:05:45.307,0:05:50.535 Nebo můžeme říct,[br]že těžiště je ve dvou třetinách těžnice. 0:05:50.757,0:05:53.468 Takže to víme,[br]to jsme dokázali v předchozím videu. 0:05:53.730,0:06:01.669 Víme, že CG je rovno dvakrát GF. 0:06:01.818,0:06:03.400 A myslím, že víte, kam tím míříme. 0:06:03.531,0:06:07.913 Máme úhel, ukázal jsem, že poměr[br]této strany k této straně je 2 ku 1, 0:06:08.010,0:06:10.640 to je vlastnost těžiště a těžnic. 0:06:10.783,0:06:16.370 A pokud ukážu, že poměr této strany[br]CI ke straně FO je 2 ku 1, 0:06:16.470,0:06:19.683 pak máme dvě odpovídající[br]strany s poměrem 2 ku 1, 0:06:19.843,0:06:21.595 máme úhel mezi nimi, 0:06:21.745,0:06:24.272 můžeme využít podobnosti sus,[br]abychom ukázali, 0:06:24.422,0:06:26.676 že tyto trojúhelníky[br]jsou si vlastně podobné. 0:06:26.835,0:06:28.333 Pojďme o tom popřemýšlet. 0:06:28.490,0:06:36.686 CI je vzdálenost mezi bodem C[br]a ortocentrem většího trojúhelníku. 0:06:36.816,0:06:39.972 I je ortocentrum většího trojúhelníku. 0:06:40.220,0:06:41.736 A co je FO? 0:06:41.997,0:06:46.920 Bod F odpovídá bodu C[br]na příčkovém trojúhelníku. 0:06:47.070,0:06:50.642 Ujistíme se, že ukazujeme[br]podobnost na správném… 0:06:50.780,0:06:53.798 Bod F odpovídá bodu C. 0:06:53.920,0:06:59.094 Takže FO je vzdálenost mezi[br]bodem F na menším trojúhelníku 0:06:59.270,0:07:02.822 a ortocentrem menšího trojúhelníku. 0:07:03.015,0:07:06.472 Takže tohle je vzdálenost mezi bodem C[br]a ortocentrem většího trojúhelníku. 0:07:06.610,0:07:12.645 Tohle je vzdálenost mezi bodem příčkového[br]trojúhelníku a jeho ortocentrem. 0:07:12.762,0:07:15.752 Takže toto je odpovídající vzdálenost 0:07:15.880,0:07:18.290 na větším trojúhelníku[br]a na příčkovém trojúhelníku 0:07:18.440,0:07:21.597 A už víme, že jsou si podobné[br]v poměru 2 ku 1. 0:07:21.830,0:07:25.555 A tedy odpovídající vzdálenosti[br]mezi libovolnými dvěma body 0:07:25.725,0:07:28.295 na trojúhelnících budou mít stejný poměr. 0:07:28.570,0:07:33.285 Takže díky té podobnosti víme, 0:07:33.455,0:07:38.739 že CI je rovno dvakrát FO. 0:07:38.869,0:07:42.820 Chci to zdůraznit, C odpovídá F, 0:07:42.960,0:07:45.838 když se podíváme na[br]oba podobné trojúhelníky. 0:07:45.960,0:07:48.164 I je ortocentrum většího trojúhelníku, 0:07:48.304,0:07:50.416 O je ortocentrum menšího trojúhelníku. 0:07:50.570,0:07:53.919 Vezmete odpovídající bod do[br]ortocentra většího trojúhelníku, 0:07:54.095,0:07:57.962 odpovídající bod menšího trojúhelníku[br]do ortocentra menšího trojúhelníku. 0:07:58.140,0:08:00.411 Trojúhelníky jsou si podobné[br]v poměru 2 ku 1. 0:08:00.571,0:08:04.787 Takže poměr této vzdálenosti k téhle[br]bude 2 ku 1. 0:08:04.940,0:08:11.747 Takže jsme ukázali,[br]že poměr této strany k této je 2 ku 1. 0:08:11.983,0:08:17.525 Ukázali jsme, že poměr této[br]vzdálenosti k této je také 2 ku 1. 0:08:17.707,0:08:23.611 A ukázali jsme,[br]že úhly mezi nimi jsou shodné. 0:08:23.879,0:08:26.734 Takže jsme za pomocí sus podobnosti… 0:08:26.960,0:08:28.962 … posunu to malinko dolů… 0:08:29.112,0:08:35.556 Takže pomocí sus podobnosti,[br]ne shodnosti, ale podobnosti, 0:08:35.732,0:08:43.165 dokázali jsme, že FOG je podobný CIG. 0:08:43.370,0:08:46.115 Víme, že odpovídající úhly jsou shodné, 0:08:46.360,0:08:51.670 víme že úhel CIG odpovídá úhlu FOG, 0:08:52.040,0:08:57.303 takže ty budou shodné.[br]Také víme, že úhel CGI… 0:08:58.517,0:09:00.453 … udělám to jinou barvou… 0:09:00.670,0:09:04.192 … úhel CGI odpovídá úhlu OGF. 0:09:04.470,0:09:06.947 Takže také budou shodné. 0:09:07.040,0:09:08.326 Takže můžete různě vidět, 0:09:08.436,0:09:10.308 že tento úhel a tento úhel je stejný, 0:09:10.411,0:09:15.369 takže můžete považovat OI za přímku,[br]průsečnici těchto dvou rovnoběžek. 0:09:15.496,0:09:17.000 Takže víte, že je to přímka. 0:09:17.110,0:09:18.848 Nebo se můžete podívat na tyto dvě, 0:09:18.930,0:09:22.681 tyto úhly se rovnají,[br]takže to musí být vrcholové úhly, 0:09:22.830,0:09:26.357 takže to doopravdy musí být přímka. 0:09:26.547,0:09:30.110 Úhel pod kterým se blíží[br]k této těžnici je stejný, 0:09:30.244,0:09:31.850 jako úhel pod kterým odchází 0:09:32.010,0:09:35.398 Takže jsou rozhodně na jedné přímce. 0:09:35.538,0:09:37.815 Je to opět velmi jednoduchý důkaz 0:09:37.998,0:09:40.348 pro velmi hlubokou myšlenku, 0:09:40.555,0:09:45.480 že ortocentrum, těžiště[br]a střed kružnice opsané 0:09:45.638,0:09:48.939 leží na této magické Eulerově přímce.