Return to Video

Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    สิ่งที่ผมอยากให้พวกเราทำ
  • 0:02 - 0:06
    ในวิดีโอนี้คือการหารูปอนุกรมกำลัง
  • 0:06 - 0:11
    หรือการประมาณด้วยอนุกรมกำลัง
  • 0:11 - 0:14
    การประมาณอนุกรมกำลังของอาร์คแทนเจนต์
  • 0:14 - 0:17
    ของ 2x ที่มีศูนย์กลางที่ 0
  • 0:17 - 0:21
    และสมมุติว่าเราอยากได้
    เทอมที่ไม่ใชศูนย์ 4 เทอมแรก
  • 0:21 - 0:24
    ของการประมาณอนุกรมกำลัง
    ของอาร์คแทนเจนต์
  • 0:24 - 0:26
    ของ 2x ที่มีศูนย์กลางที่ 0
  • 0:26 - 0:29
    มันก็คืออนุกรมแมคคลอรินของอาร์คแทนเจนต์
  • 0:29 - 0:32
    ของ 2x จำนวน 4 เทอมแรกที่ไม่ใช่ศูนย์
  • 0:32 - 0:34
    ถ้าคุณรู้สึกว่าทำได้
  • 0:34 - 0:35
    ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอ
  • 0:35 - 0:37
    แล้วลองทำด้วยตัวเอง
  • 0:38 - 0:41
    คุณคงได้ลอง
  • 0:41 - 0:42
    และคุณอาจจะหาอนุพันธ์
  • 0:42 - 0:43
    อันดับหนึ่งของมัน
  • 0:43 - 0:46
    คุณอาจจะเห็นว่า เฮ้ อนุพันธ์
  • 0:46 - 0:50
    เทียบกับ x ของอาร์คแทนเจนต์
  • 0:50 - 0:54
    ของ 2x เท่ากับ อันนี้เป็นการทบทวน
  • 0:54 - 0:56
    ถ้าคุณนึกไม่ออกตอนแรก
  • 0:56 - 0:58
    มันจะเท่ากับอนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์ของ x
  • 0:58 - 1:01
    คือ 1 ส่วน 1 บวก x กำลังสอง
  • 1:01 - 1:03
    มันจึงเท่ากับ
  • 1:03 - 1:06
    อนุพันธ์ของตัวนี้ซึ่งก็คือ 2
  • 1:06 - 1:09
    ส่วน 1 บวกพจน์ทั้งหมดนี้กำลังสอง
  • 1:09 - 1:14
    1 บวก, ผมควรบอกว่า 1 บวก 4x กำลังสอง
  • 1:14 - 1:18
    แล้วเมื่อคุณพยายามหาเทอมต่างๆ
  • 1:18 - 1:20
    ของอนุกรมแมคคลอริน
  • 1:20 - 1:22
    คุณก็หาอนุพันธ์ต่ออีกได้
  • 1:22 - 1:24
    มันจะยุ่งขึ้นมาก
  • 1:24 - 1:26
    อย่างรวดเร็ว ยิ่งถ้าคุณหา
  • 1:26 - 1:28
    เทอมที่ไม่ใช่ศูนย์ 4 เทอมแรก
  • 1:28 - 1:30
    คุณน่าจะสังเกตว่า เฮ้
  • 1:30 - 1:31
    มันต้องมีเรื่องอะไร
  • 1:31 - 1:34
    ที่ฉันยังไม่ได้ใช้แน่
  • 1:34 - 1:36
    ตอนฉันต้องใช้กำลัง
  • 1:36 - 1:39
    ไม่ได้เล่นคำนะ ใช้กำลัง
  • 1:39 - 1:40
    เพื่อหาอนุกรมกำลัง
  • 1:40 - 1:43
    หาเทอมที่ไม่ใช่ศูนย์ 4 เทอมแรก
    ของอนุกรมกำลัง
  • 1:43 - 1:45
    ที่มีศูนย์กลางที่ 0 ของอาร์คแทนเจนต์ของ 2x
  • 1:45 - 1:48
    คุณพูดถูก มันมีแนวคิดสำคัญอยู่ตรงนี้
  • 1:48 - 1:50
    ประเด็นตรงนี้คือว่า
  • 1:50 - 1:52
    แทนที่จะคิดโดยตรง
  • 1:52 - 1:54
    ลองดูว่าเราหาอนุกรมกำลัง
  • 1:54 - 1:58
    4 เทอมแรกของตัวนี้
  • 1:58 - 2:01
    ตรงนี้ได้ไหม แล้วเราก็หาปฏิยานุพันธ์
  • 2:01 - 2:03
    ของอนุกรมนั้น เพื่อหาอนุกรมอนันต์
  • 2:03 - 2:05
    ของอาร์คแทนต์ของ 2x โดย
  • 2:05 - 2:06
    จัดให้ค่าคงที่
  • 2:06 - 2:09
    ตรงนั้นเป็นไปตามค่าที่เราตั้งศูนย์กลาง
  • 2:09 - 2:12
    ไว้ที่ 0, ผมรู้ว่าคุณคิดอะไรอยู่
  • 2:12 - 2:14
    มันดูเหมือนว่า
  • 2:14 - 2:15
    เราจะเจอปัญหาเดิม
  • 2:15 - 2:18
    ถ้าผมอยากหารูปอนุกรมกำลังของพจน์นี้
  • 2:18 - 2:19
    สี่เทอมแรก
  • 2:19 - 2:21
    ผมยังคงต้องหาอนุพันธ์ของพจน์นี้
  • 2:21 - 2:23
    หลายครั้ง และมันดูยาก
  • 2:23 - 2:26
    แต่แนวคิดสำคัญ
  • 2:26 - 2:29
    แนวคิดสำคัญสำคัญ คือสมมุติว่า f ของ x
  • 2:30 - 2:32
    ซึ่งแน่นอน คืออนุพันธ์
  • 2:32 - 2:33
    ของอาร์คแทนต์ของ 2x
  • 2:33 - 2:35
    คือ 2 ส่วน 1
  • 2:35 - 2:38
    บวก 4x กำลังสอง
  • 2:39 - 2:43
    ทีนี้ ถ้าเรามีฟังก์ชันอีกตัว
  • 2:43 - 2:44
    ที่เรียบร้อยขึ้นหน่อย
  • 2:44 - 2:46
    เราจะได้ไม่ต้องเจออะไรยุ่งๆ
  • 2:46 - 2:48
    เวลาหาอนุพันธ์
  • 2:48 - 2:50
    สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน g ของ x
  • 2:50 - 2:52
    ผมจะใช้สีที่ผมยังไม่ได้ใช้นะ
  • 2:53 - 2:56
    สมมุติว่าผมมี g ของ x
  • 2:56 - 3:00
    เท่ากับ 1 ส่วน 1 บวก x
  • 3:00 - 3:03
    อันนี้น่าสนใจเพราะมันง่าย
  • 3:03 - 3:07
    และอันนี้เหมือนกับ 1 บวก x
  • 3:07 - 3:08
    กำลังลบ 1
  • 3:08 - 3:11
    g ของ x น่าสนใจเพราะมันหาอนุพันธ์
  • 3:11 - 3:14
    ได้ง่าย
  • 3:14 - 3:16
    ตัวอย่างเช่น g ไพรม์ของ x
  • 3:16 - 3:18
    จะเท่ากับกฎลูกโซ่
  • 3:18 - 3:20
    อนุพันธ์ของ 1 บวก x ก็แค่ 1
  • 3:20 - 3:23
    มันจะเท่ากับลบ 1 บวก x
  • 3:23 - 3:24
    ยกกำลังลบ 2
  • 3:24 - 3:26
    ถ้าผมอยากหาอนุพันธ์อันดับสองของมัน
  • 3:26 - 3:29
    g ไพรม์ ไพรม์ของ x จะเท่ากับลบ 2
  • 3:29 - 3:32
    คูณลบ 1 นั่นคือ 2 คูณ 1 บวก x
  • 3:32 - 3:34
    กำลังลบ 3
  • 3:34 - 3:38
    ถ้าผมอยากหาอนุพันธ์อันดับสามของมัน
  • 3:38 - 3:40
    มันจะเท่ากับ ลองดู
  • 3:40 - 3:42
    ลบ 3 คูณ 2 ได้ลบ 6
  • 3:42 - 3:45
    คูณ 1 บวก x ยกกำลังลบ 4
  • 3:45 - 3:46
    ผมรู้คุณจะบอกว่า ซาล
  • 3:46 - 3:47
    ทำไมเราต้องสนใจมันด้วย?
  • 3:47 - 3:48
    ทำไมนายถึงทำอย่างนี้?
  • 3:48 - 3:50
    ทนไปกับผมหน่อย
  • 3:50 - 3:52
    ตอนนี้ผมหา
  • 3:52 - 3:54
    อนุพันธ์สามตัวแรกของ g ของ x ได้ง่ายๆ
  • 3:54 - 3:57
    และมันหา 4 เทอมแรก
  • 3:57 - 3:59
    ของรูปอนุกรมกำลังได้
  • 3:59 - 4:00
    มันก็คือแมคคลอริน
  • 4:00 - 4:01
    อนุกรมแมคคลอริน
  • 4:01 - 4:03
    ถ้าอนุกรมกำลังอยู่ที่ 0
  • 4:03 - 4:05
    เราก็หาค่ามันที่ 0
  • 4:05 - 4:09
    g ของ 0 เท่ากับ 1
  • 4:09 - 4:11
    g ไพรม์ของ 0
  • 4:12 - 4:14
    เท่ากับลบ 1
  • 4:14 - 4:16
    g ไพรม์ไพรม์ของ 0
  • 4:18 - 4:19
    1 บวก 0 แล้วก็ลบ 3
  • 4:19 - 4:21
    มันจะเท่ากับ 1 คูณ 2 เท่ากับ 2
  • 4:21 - 4:26
    แล้วเทอมที่สามหาค่าที่ 0
  • 4:26 - 4:28
    เท่ากับลบ 6
  • 4:28 - 4:31
    ผมเขียน g ของ x ได้
  • 4:33 - 4:34
    ประมาณเท่ากับ
  • 4:34 - 4:36
    ผมจะใช้สี่เทอมแรกตรงนี้
  • 4:36 - 4:39
    จะได้ g ของ 0 ซึ่งก็คือ 1
  • 4:39 - 4:42
    ลบ g ไพรม์ของ 0 คูณ x
  • 4:42 - 4:46
    มันคือลบ 1 คูณ x มันก็คือลบ x
  • 4:48 - 4:51
    บวก g ไพรม์ไพรม์ของ 0
  • 4:51 - 4:55
    2 ส่วน 2 แฟคทอเรียลคูณ x กำลังสอง
  • 4:55 - 4:57
    มันก็คือ 1 คูณ x กำลังสอง
  • 4:57 - 4:58
    ขอผมเขียนมันลงไปนะ
  • 4:58 - 5:03
    มันก็คือ บวก x กำลังสอง
  • 5:03 - 5:08
    แล้วเรามีบวก g ไพรม์ ไพรม์ ไพรม์ของ 0
  • 5:08 - 5:11
    ซึ่งก็คือลบ 6 ส่วน 3 แฟคทอเรียล
  • 5:11 - 5:12
    คูณ x กำลังสาม
  • 5:12 - 5:14
    3 แฟคทอเรียลคือ 6
  • 5:14 - 5:16
    ลบ 6 หารด้วย 6 ก็คือลบ 1
  • 5:16 - 5:19
    มันจึงเท่ากับลบ x กำลัง 3
  • 5:20 - 5:24
    ลบ x กำลัง 3 และผมรู้ว่าคุณคิดอะไรอยู่
  • 5:24 - 5:26
    เอาล่ะ ซาล นายเริ่มด้วยปัญหายากๆ
  • 5:26 - 5:28
    และนายตั้งปัญหาที่ง่ายกว่ามาก
  • 5:28 - 5:30
    หารูปอนุกรมกำลังมา
  • 5:30 - 5:31
    มันจะมีประโยชน์อะไร?
  • 5:31 - 5:33
    นี่คือแนวคิดสำคัญที่ผมสัญญาไว้
  • 5:33 - 5:35
    ในวิดีโอนี้
  • 5:35 - 5:40
    แนวคิดสำคัญ แนวคิดสำคัญ
    ที่สัญญาไว้นานมาก
  • 5:40 - 5:43
    คือว่า -- ผมจะหาสีที่เหมาะสมสำหรับแนวคิดนี้
  • 5:43 - 5:45
    คือว่าเราเขียน f ของ x
  • 5:45 - 5:48
    สังเกตว่า f ของ x ก็แค่ 2 คูณ
  • 5:48 - 5:51
    f ของ x คือ 2 คูณ
  • 5:51 - 5:55
    g ของ 4x กำลังสอง
  • 5:55 - 5:59
    สังเกตว่าคุณแทนที่ x ด้วย 4x กำลังสองได้
  • 5:59 - 6:01
    คุณจะได้ 1 ส่วน 1 บวก 4x กำลังสอง
  • 6:01 - 6:03
    แล้วคุณคูณทั้งหมดนั้นด้วย 2
  • 6:03 - 6:05
    คุณจะได้ค่านี่ตรงนี้
  • 6:06 - 6:08
    ถ้า f ของ x เท่ากับพจน์นั้น
  • 6:08 - 6:10
    แล้ว f ของ x จะเป็นรูปอนุกรมกำลัง
  • 6:10 - 6:13
    มันก็คือการหาอนุกรมกำลังนี้
  • 6:13 - 6:15
    หรืออย่างน้อยคือ สี่เทอมแรกของมัน
  • 6:15 - 6:17
    แล้วแทนที่ x ด้วย 4x กำลังสอง
  • 6:17 - 6:20
    แล้วคูณทั้งหมดนั้นด้วย 2
  • 6:20 - 6:21
    ลองทำกันดู
  • 6:22 - 6:25
    เราเขียน
  • 6:25 - 6:26
    f ของ x ได้
  • 6:27 - 6:29
    เราเขียน f ของ x ได้
  • 6:30 - 6:32
    ประมาณเท่ากับ
  • 6:34 - 6:37
    2 คูณทั้งหมดนี้
  • 6:37 - 6:40
    ค่าเมื่อ x เท่ากับ 4x กำลังสอง
  • 6:40 - 6:44
    มันคือ 1 ลบ แทนที่จะเป็น x
  • 6:44 - 6:46
    ผมจะเขียน 4x กำลังสอง
  • 6:46 - 6:49
    บวก x กำลังสอง แต่แทนที่จะเป็น x
  • 6:49 - 6:51
    ผมมี 4x กำลังสอง กำลังสอง
  • 6:51 - 6:54
    นี่คือบวก 4x กำลังสอง กำลังสอง
  • 6:54 - 6:57
    มันจะเท่ากับ 16x กำลังสี่
  • 6:57 - 6:58
    ขอผมเขียนลงไปนะ
  • 6:58 - 7:02
    มันจะเท่ากับ 16x กำลังสี่
  • 7:02 - 7:04
    แล้วสุดท้ายลบ x กำลังสาม
  • 7:04 - 7:06
    แต่ตอนนี้ x คือ 4x กำลังสอง
  • 7:06 - 7:10
    มันจึงเป็นลบ 4x กำลังสอง ยกกำลังสาม
  • 7:10 - 7:13
    มันจึงเท่ากับ 64x กำลังหก
  • 7:13 - 7:17
    ขอผมเขียนนะ ลบ 64
  • 7:17 - 7:19
    x กำลังหก
  • 7:19 - 7:21
    แล้วเราบอกได้ว่า ตัวนี้จะ
  • 7:21 - 7:23
    f ของ x จะประมาณเท่ากับ
  • 7:23 - 7:28
    แจกแจง 2, 2 ลบ 8x กำลังสอง
  • 7:28 - 7:31
    บวก 32x กำลังสี่
  • 7:31 - 7:35
    ลบ 128x กำลังหก
  • 7:35 - 7:38
    อย่างนั้น แค่แทนที่นิดหน่อย
  • 7:38 - 7:41
    ผมสามารถหาเทอมที่ไม่ใช่ศูนย์
  • 7:41 - 7:44
    สี่เทอมแรกได้ไม่ยากเย็นนัก
  • 7:44 - 7:48
    เป็นอนุกรมกำลังของ 2
    ส่วน 1 บวก 4x กำลังสอง
  • 7:48 - 7:50
    ซึ่งก็คืออนุพันธ์
  • 7:50 - 7:51
    ซึ่งก็คืออนุพันธ์
  • 7:51 - 7:55
    ของอนุกรมกำลังของอาร์คแทนเจนต์
  • 7:55 - 7:57
    ของ 2x
  • 7:57 - 8:00
    ขอผมเขียนมันลงไปนะ ผมจะเขียน
  • 8:00 - 8:01
    ผมจะเขียนลงไป
  • 8:02 - 8:04
    อาร์คแทนเจนต์ของ 2x
  • 8:05 - 8:09
    อาร์คแทนเจนต์ของ 2x
  • 8:10 - 8:13
    ซึ่งเท่ากับปฏิยานุพันธ์
  • 8:13 - 8:15
    ของ f ของ x
  • 8:17 - 8:21
    dx ซึ่งเท่ากับปฏิยานุพันธ์
  • 8:21 - 8:23
    ของพจน์ทั้งหมดนี้
  • 8:23 - 8:28
    มันคือปฏิยานุพันธ์ของ 2 ลบ 8
  • 8:28 - 8:32
    ลบ 8x กำลังสองบวก 32
  • 8:32 - 8:35
    x กำลังสี่ลบ 128
  • 8:35 - 8:36
    x กำลังหก
  • 8:36 - 8:39
    ที่จริง ขอผมใช้เครื่องหมายประมาณ
  • 8:39 - 8:42
    เพราะตอนนี้เรากำลังประมาณ
  • 8:42 - 8:43
    ด้วยอนุกรมกำลัง
  • 8:43 - 8:47
    dx แล้วอันนี้จะเท่ากับอะไร?
  • 8:47 - 8:51
    เราได้ประมาณเท่ากับ
  • 8:51 - 8:53
    ผมจะมีค่าคงที่ตรงนั้น
  • 8:53 - 8:54
    ขอผมเขียนค่าคงที่ก่อน
  • 8:54 - 8:56
    เพราะเมื่อเราเขียนอนุกรมกำลัง
    หรืออนุกรมแมคคลอริน
  • 8:56 - 8:58
    เทอมแรกคือค่าคงที่
  • 8:58 - 9:01
    มันคือฟังก์ชันของเราหค่าที่ 0
  • 9:01 - 9:02
    เราจะมีค่าคงที่
  • 9:02 - 9:04
    ถ้าผมหาปฏิยานุพันธ์ของ 2
  • 9:04 - 9:07
    มันจะเท่ากับบวก 2x
  • 9:07 - 9:10
    ปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้ ลองดู x กำลังสาม
  • 9:10 - 9:12
    หาร 8 ด้วย 3
  • 9:12 - 9:16
    มันจะเป็นลบ 8/3 ยกกำลัง 3
  • 9:16 - 9:21
    แล้วบวก 32x กำลัง 5
  • 9:21 - 9:23
    ส่วน 5
  • 9:23 - 9:28
    ลบ 128x กำลัง 7
  • 9:28 - 9:30
    ส่วน 7
  • 9:30 - 9:32
    เราใกล้ถึงเส้นชัยแล้ว
  • 9:32 - 9:35
    เราได้เทอมที่ไม่ใช่ศูนย์อย่างน้อยสี่เทอม
  • 9:35 - 9:36
    ถ้าเทอมนี้ไม่ใช่ศูนย์
  • 9:36 - 9:38
    มันจะได้เทอมที่ไม่ใช่ศูนย์ห้าเทอม
  • 9:38 - 9:39
    แต่ลองดูให้แน่ใจ
  • 9:39 - 9:41
    ว่าค่าคงที่นี้จำเป็นสำหรับอาร์คแทนเจนต์ของ
  • 9:41 - 9:42
    2x ไหม
  • 9:42 - 9:45
    อันนี้หาค่าได้ อาร์คแทนเจนต์
  • 9:45 - 9:50
    ของ ฟังก์ชันนี้ เมื่อ x เท่ากับ 0 คืออะไร
  • 9:50 - 9:52
    อาร์คแทนเจนต์ของ 0 คืออะไร?
  • 9:52 - 9:55
    นึกดู มันมีศูนย์กลางที่ 0
  • 9:55 - 9:56
    เราก็ได้ตรงนี้
  • 9:56 - 9:58
    มันก็คือกรณีพื้นฐานที่สุด
  • 9:58 - 10:01
    ถ้าเราหารูปอนุกรมแมคคลอริน
  • 10:01 - 10:02
    เรามีศูนย์กลางที่ 0
  • 10:02 - 10:06
    ค่าประมาณหาค่าที่ 0
  • 10:06 - 10:08
    จึงควรเท่ากับฟังก์ชันหาค่าที่ 0
  • 10:08 - 10:11
    อาร์คแทนเจนต์ของ 2 คูณ 0
  • 10:11 - 10:13
    ก็คือแค่ 0
  • 10:13 - 10:16
    และตัวนี้ เมื่อคุณหาค่ามันที่ 0
  • 10:16 - 10:18
    เราจะได้ c นี่ก็คือ c
  • 10:18 - 10:20
    ต้องเท่ากับ 0
  • 10:20 - 10:25
    c ต้องเท่ากับ 0 ถ้าเราอยากให้ตัวนี้เท่ากับ 0
  • 10:25 - 10:27
    เมื่อ x เท่ากับ 0
  • 10:27 - 10:29
    อย่างที่เราได้ทำไป
  • 10:30 - 10:32
    เราหาได้แล้วว่าอาร์คแทนเจนต์
  • 10:32 - 10:34
    ของ 2x
  • 10:35 - 10:37
    มีค่าประมาณ
  • 10:37 - 10:42
    2x ลบ 8x กำลังสาม
  • 10:42 - 10:46
    บวก 32 ส่วน 5 x กำลังห้า
  • 10:46 - 10:51
    ลบ 128 ส่วน 7 x กำลังเจ็ด
  • 10:51 - 10:52
    ถ้าเราอยากได้เทอมเพิ่ม
  • 10:52 - 10:54
    เราก็หาเพิ่มได้
  • 10:54 - 10:55
    โดยทำสิ่งที่เราทำไป
  • 10:55 - 10:57
    แต่เพิ่มจำนวนเทอมอีก
  • 10:57 - 11:01
    หวังว่าคุณคงสนุกกับปัญหายุ่งๆ ข้อนี้
  • 11:01 - 11:04
    อย่างที่คุณเห็น มันไม่ได้ยุ่งยาก
  • 11:04 - 11:05
    อย่างที่คิด
Title:
Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
11:06

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.