Consistent and Inconsistent Systems

아래 연립일차방정식은

해를 가지나요, 해를 가지지 않나요?

그리고 또 x+2y=13이라는 것과

3x-y=-11이라는 것이 주어졌죠.

그러니 이 문제를 풀기 위해서는 우리가

'해를 가진다는 것'과 '해를 갖지 않는다는 것'의 차이를 알아야 해요.

해를 갖는 연립방정식은

해를 갖는 연립방정식은

적어도 하나의 해를 가지고 있어요.

적어도 하나의 해를 가지고 있어요.

해를 갖지 않는 연립방정식은 알다시피

해가 하나도 없어요.

해가 하나도 없다고요.

그래프를 이용해 생각해 보면,

해를 갖는 연립방정식의 그래프는 어떻게 생겼을까요?

대강 그래프 하나를 그려 볼게요.

이렇게 x축이 있고요, y축이 있습니다.

서로 교차하는 두 개의 다른 직선을 그었을 때,

해를 갖는 연립방정식이겠죠.

직선 하나가 있고, 또 다른 하나가 있을 때,

두 직선이 만나는 교점에

확실히 하나의 해가 있고,

그래서 해를 갖는 연립방정식이 되는거예요.

해를 갖는 연립방정식 또 하나는 바로

두 직선이 서로 일치할 때입니다.

서로 엄청나게 많은 교점이 생기고,

사실상 무한히 많은 교점이 생기기 때문이죠.

직선 하나가 이렇게 생겼다고 해 보아요.

그리고 또 하나의 직선이 그것과 완전히 똑같이 생겼어요.

서로 딱 포개어져 있는 것이죠.

그 두 직선은 모든 점에서 서로 만나게 되고,

따라서 해를 갖는 연립방정식이 됩니다.

해를 갖지 않는 연립방정식은 해가 단 한 개도 없어요.

다시 축을 그려볼게요.

다시 축을 그려볼게요.

해가 단 한 개도 없겠죠.

따라서 2차원 공간에서

해를 갖지 않는 두 직선이 발생할

유일한 방법은 서로 교차하지 않는,

즉 서로 평행한 경우입니다.

직선 하나가 이렇게 생기면,

또 다른 직선 하나는 그것과 같은 기울기이지만

옆으로 비껴나 있겠죠.

y절편이 다를 것이고,

이렇게 생길 거예요.

해를 갖지 않는 연립방정식은 이렇게 생겼어요.

평행한 두 직선이예요.

이것이 바로 해를 갖지 않는 연립방정식입니다.

따라서 대강 그래프를 그려본 후에

문제의 두 직선이 서로 교차하는지 알아볼 수 있겠죠.

또 다른 방법은 바로 기울기를 보는 것입니다.

만약 기울기가 서로 같고 y절편이 서로 다르다면,

그것 또한 해를 갖지 않는 연립방정식이겠죠.

그래도 일단 그려 보도록 해요.

x축과 y축을 그려 볼게요.

y축...그렸죠.

이것이 x축이고, 이것이 y축입니다.

방법은 몇 가지가 있어요.

가장 쉬운 방법은 이 두 방정식을

만족하는 두 점을 찾는 것인데,

직선을 찾기엔 충분한 조건이 되죠.

첫 번째 방정식에 대해서는

x값과 y값을 나타낸 표를 먼저 만들어 볼게요.

x=0일때는 2y=13,

즉 y=13/2, 혹은 6과 1/2이 됩니다.

그래서 x=0일때 y=6과 1/2이에요.

여기 이렇게 써 놓을게요.

(0,13/2)입니다.

y=0일 때는 어떤 일이 일어나는지 보아요.

y=0일 때, 2y=0입니다.

x=13이라는 걸 알 수 있지요.

x=13입니다.

이렇게 점 (13,0)을 찾을 수 있어요.

이렇게 각각 0, 6과 1/2이면,

(13,0)은 아마 이 쯤에 있을 거예요.

우선은 여기가 대략 (13,0)이라고 하죠.

그래서 여기 이 방정식은

이 직선으로 표현할 수 있어요.

최대한 잘 그려보도록 할게요.

아마 저렇게 생길 거예요.

그럼 이 방정식에 대해서 생각해 보도록 해요.

이 방정식에 대해 생각해 보자고요.

다시 한 번, x값과 y값을 나타내는 표를 만들어 볼게요.

이 그래프에서 두 점을 찾기만 하면 돼요.

x=0일때, 3 곱하기 0은 그대로 0이죠.

따라서 -y=-11, 즉

y=11이라는 걸 알 수 있죠.

그래서 점 (0,11)을 찾았고, 이 쯤에 있겠죠.

점 (0,11)이 저 직선 위에 있어요.

그리고 y=0일 때, 3x-0=-11, 즉

3x=-11이라는 걸 알 수 있어요.

양변을 3으로 나누면,

x=-11/3이 나와요.

-11/3

-3과 2/3이랑 같은 결과예요.

그래서 y=0일 때, x=-3과 2/3입니다.

이 쯤이 6이면, -3과 2/3은

이 쯤에 있을 거예요.

이 점이 바로 (11/3,0)입니다.

두 번째 방정식의 그래프는 이렇게 생길 거예요.

이렇게 생길 겁니다.

물론 이렇게 손으로 그리는 것이

완전히 정확하진 않을 수도 있지만,

확실히 이 둘은 서로 교차를 해요.

바로 여기서 교점이 생깁니다.

따라서 문제에 답을 구하려면,

교점이 어디에 있는지 찾을 필요도 없어요.

단지 아주 정확히

이 두 직선이 교차한다는 것만 볼 수 있으면 돼요.

그래서 이것이 바로 해를 갖는 일차방정식이예요.

해를 한 개 가지고 있어요.

또 최소 한 개의 해가 있어야 해요.

이것이 바로 해를 갖는 연립방정식입니다.