-
Je soustava lineárních rovnic
uvedených níže řešitelná, nebo ne?
-
Máme rovnice: x plus 2y se rovná 13
a 3x minus y se rovná -11.
-
K odpovědi potřebujeme vědět,
co to řešitelná a neřešitelná.
-
Takže řešitelná soustava rovnic
má alespoň jedno řešení.
-
A neřešitelná soustava rovnic, jak si
dovedete představit, nemá žádné řešení.
-
Takže pokud se nad tím
zamyslíme graficky,
-
jak by vypadal graf
řešitelného soustavy?
-
Dovolte mi nakreslit opravdu hrubý graf.
-
Tady mám osu x
a tady mám osu y.
-
Takže pokud mám dvě
různé přímky, které se protínají,
-
bylo by to řešitelné.
-
Tady je 1 přímka a potom
je tady další přímka.
-
Mají viditelně jedno řešení,
-
ve kterém se protínají, a proto
by to byla řešitelná soustava.
-
Další řešitelná soustava by byla,
když by to byla jedna přímku,
-
protože potom by se
protínaly v mnoha bodech,
-
vlastně v nekonečném počtu bodů.
-
Řekněme, že jedna
přímka vypadá takto.
-
A další přímka je vlastně úplně stejná.
-
Takže je přesně nad ní.
-
Tyto 2 se tedy protínají
po celé délce přímek,
-
a to by také byla řešitelná soustava.
-
Neřešitelná soustava
by neměla žádné řešení.
-
Znovu nakreslím osy.
-
Ještě jednou nakreslím osy.
-
Nebude to mít žádné řešení.
-
Takže jediná možnost, jak dvě přímky
ve dvourozměrném prostoru,
-
které nemají žádné řešení, vypadají, je,
že se neprotínají, nebo jsou rovnoběžné.
-
Jedna přímka tedy může vypadat takto.
-
A ta další přímka bude mít
stejný sklon, ale bude posunutá.
-
Měla by zcela jiný průsečík y,
a vypadalo by to takto.
-
A tak by tedy vypadala
neřešitelná soustava.
-
Máte rovnoběžné přímky.
-
Tady to je tedy neřešitelné.
-
Co bychom mohli udělat, je nakreslit
hrubý graf obou těchto přímek
-
a uvidíme, jestli se protnou.
-
Další způsob, jak to zjistit,
je podívat se na sklon.
-
A když mají stejný sklon
a jiný průsečík na ose y,
-
budete mít také
neřešitelnou soustavu.
-
Ale zkusme je nakreslit.
-
Takže si nakreslím osu x,
a potom osu y.
-
Takže toto je x a toto je y.
-
Pak je několik způsobů,
jak se to dá udělat.
-
Nejjednodušší je
najít jenom 2 body,
-
které splňují tuto rovnici
a to stačí k definici přímky.
-
Pro tu první udělejme
malou tabulku s ‚x‘ a ‚y‘.
-
Pokud x je 0, dostanete
2y se rovná 13,
-
nebo y se rovná 13/2,
což je stejné jako 6 a 1/2.
-
Takže pokud x se
rovná 0, y je 6 a 1/2.
-
To zadám sem.
-
Takže tohle je (0, 13/2).
-
A teď se uvidí, co se stane,
když se y rovná 0.
-
Když se y rovná 0, pak
2 krát y je 0.
-
Máte x se rovná 13.
-
x je 13.
-
Takže máme bod [13, 0].
-
Toto je tedy [0, 6 a 1/2],
takže [13, 0] by bylo někde tady.
-
Snažíme se to udělat
jenom přibližně, [13, 0].
-
Takže tato přímka tady nahoře, tato
rovnice může být znázorněna touto přímkou.
-
Zkusím to zakreslit co nejlépe.
-
Vypadalo by to asi takto.
-
Teď se budeme zajímat o tuto.
-
Pojďme se podívat na tuto.
-
Takže ještě jednou uděláme
malou tabulku s ‚x‘ a ‚y‘.
-
Opravdu hledám pouze
2 body v tomto grafu.
-
Takže pokud se x rovná 0,
3 krát 0 je prostě 0.
-
A tak zjistíte,
že záporné y je -11,
-
nebo také, že
y se rovná 11.
-
Takže máte bod [0, 11],
který je asi tady někde.
-
[0, 11] je na této přímce.
-
A potom, když y je 0,
máte 3x minus 0 se rovná -11,
-
nebo také 3x je -11.
-
Anebo pokud obě strany vydělíte 3,
dostanete, že x se rovná -11/3.
-
A to je úplně stejné jako -3 a 2/3.
-
Takže když y je 0,
x se rovná -3 a 2/3.
-
Takže tady někde je 6,
a potom -3 a 2/3 bude někde tady.
-
Toto je tedy bod [-11/3, 0].
-
Druhá rovnice by měla vypadat nějak takto.
-
Bude vypadat nějak takhle.
-
Teď je jasné… A možná jsem
nebyl úplně přesný,
-
když jsem dělal tento graf.
-
Tyto dva body se jasně protínají.
-
Protínají se přímo tady.
-
A k řešení otázky ani nepotřebujete
najít body, kde se protínají.
-
Musíme jen jasně vidět,
-
že tyto dvě přímky se protínají.
-
Toto je tedy řešitelnÁ
soustava rovnic.
-
Má jedno řešení.
-
Musíte tedy mít alespoň jedno řešení,
aby se jednalo o řešitelnou.
-
Takže ještě jednou,
řešitelná soustava rovnic.
