Je soustava lineárních rovnic uvedených níže řešitelná, nebo ne?
Máme rovnice: x plus 2y se rovná 13 a 3x minus y se rovná -11.
K odpovědi potřebujeme vědět, co to řešitelná a neřešitelná.
Takže řešitelná soustava rovnic má alespoň jedno řešení.
A neřešitelná soustava rovnic, jak si dovedete představit, nemá žádné řešení.
Takže pokud se nad tím zamyslíme graficky,
jak by vypadal graf řešitelného soustavy?
Dovolte mi nakreslit opravdu hrubý graf.
Tady mám osu x a tady mám osu y.
Takže pokud mám dvě různé přímky, které se protínají,
bylo by to řešitelné.
Tady je 1 přímka a potom je tady další přímka.
Mají viditelně jedno řešení,
ve kterém se protínají, a proto by to byla řešitelná soustava.
Další řešitelná soustava by byla, když by to byla jedna přímku,
protože potom by se protínaly v mnoha bodech,
vlastně v nekonečném počtu bodů.
Řekněme, že jedna přímka vypadá takto.
A další přímka je vlastně úplně stejná.
Takže je přesně nad ní.
Tyto 2 se tedy protínají po celé délce přímek,
a to by také byla řešitelná soustava.
Neřešitelná soustava by neměla žádné řešení.
Znovu nakreslím osy.
Ještě jednou nakreslím osy.
Nebude to mít žádné řešení.
Takže jediná možnost, jak dvě přímky ve dvourozměrném prostoru,
které nemají žádné řešení, vypadají, je, že se neprotínají, nebo jsou rovnoběžné.
Jedna přímka tedy může vypadat takto.
A ta další přímka bude mít stejný sklon, ale bude posunutá.
Měla by zcela jiný průsečík y, a vypadalo by to takto.
A tak by tedy vypadala neřešitelná soustava.
Máte rovnoběžné přímky.
Tady to je tedy neřešitelné.
Co bychom mohli udělat, je nakreslit hrubý graf obou těchto přímek
a uvidíme, jestli se protnou.
Další způsob, jak to zjistit, je podívat se na sklon.
A když mají stejný sklon a jiný průsečík na ose y,
budete mít také neřešitelnou soustavu.
Ale zkusme je nakreslit.
Takže si nakreslím osu x, a potom osu y.
Takže toto je x a toto je y.
Pak je několik způsobů, jak se to dá udělat.
Nejjednodušší je najít jenom 2 body,
které splňují tuto rovnici a to stačí k definici přímky.
Pro tu první udělejme malou tabulku s ‚x‘ a ‚y‘.
Pokud x je 0, dostanete 2y se rovná 13,
nebo y se rovná 13/2, což je stejné jako 6 a 1/2.
Takže pokud x se rovná 0, y je 6 a 1/2.
To zadám sem.
Takže tohle je (0, 13/2).
A teď se uvidí, co se stane, když se y rovná 0.
Když se y rovná 0, pak 2 krát y je 0.
Máte x se rovná 13.
x je 13.
Takže máme bod [13, 0].
Toto je tedy [0, 6 a 1/2], takže [13, 0] by bylo někde tady.
Snažíme se to udělat jenom přibližně, [13, 0].
Takže tato přímka tady nahoře, tato rovnice může být znázorněna touto přímkou.
Zkusím to zakreslit co nejlépe.
Vypadalo by to asi takto.
Teď se budeme zajímat o tuto.
Pojďme se podívat na tuto.
Takže ještě jednou uděláme malou tabulku s ‚x‘ a ‚y‘.
Opravdu hledám pouze 2 body v tomto grafu.
Takže pokud se x rovná 0, 3 krát 0 je prostě 0.
A tak zjistíte, že záporné y je -11,
nebo také, že y se rovná 11.
Takže máte bod [0, 11], který je asi tady někde.
[0, 11] je na této přímce.
A potom, když y je 0, máte 3x minus 0 se rovná -11,
nebo také 3x je -11.
Anebo pokud obě strany vydělíte 3, dostanete, že x se rovná -11/3.
A to je úplně stejné jako -3 a 2/3.
Takže když y je 0, x se rovná -3 a 2/3.
Takže tady někde je 6, a potom -3 a 2/3 bude někde tady.
Toto je tedy bod [-11/3, 0].
Druhá rovnice by měla vypadat nějak takto.
Bude vypadat nějak takhle.
Teď je jasné… A možná jsem nebyl úplně přesný,
když jsem dělal tento graf.
Tyto dva body se jasně protínají.
Protínají se přímo tady.
A k řešení otázky ani nepotřebujete najít body, kde se protínají.
Musíme jen jasně vidět,
že tyto dvě přímky se protínají.
Toto je tedy řešitelnÁ soustava rovnic.
Má jedno řešení.
Musíte tedy mít alespoň jedno řešení, aby se jednalo o řešitelnou.
Takže ještě jednou, řešitelná soustava rovnic.