-
Каква е системата линейни уравнения по-долу –
-
определена или неопределена?
-
Дадено ни е, че х + 2у = 13,
-
и 3х – у = –11.
-
За да отговорим на този въпрос, трябва
-
да знаем какви са тези два термина –
определена и неопределена система.
-
Първо да разгледаме определената
система от уравнения.
-
Една определена система уравнения
-
има поне едно решение.
-
Поне едно решение.
-
А неопределената система от уравнения,
както можеш да предположиш,
-
няма решения.
-
Система без решения.
-
И ако помислим за графично представяне,
-
как би изглеждала графиката
на една определена система?
-
Нека начертая една примерна графика.
-
Това е абсцисната ос,
а това е ординатната ос.
-
И ако имам две прави,
които се пресичат,
-
това ще е определена система.
-
Това е едната права,
а това е другата права.
-
Те очевидно имат това едно решение,
-
там, където двете се пресичат,
-
така че налице е определена система.
-
Друга определена система ще имаме,
-
ако двете прави представляват
една и съща права, понеже тогава
-
ще се пресичат в хиляди точки,
-
всъщност в неопределен брой точки.
-
Та нека една от тези прави изглежда така.
-
Тогава другата права всъщност
е абсолютно същата права.
-
Един вид тя се намира върху тази права.
-
И те двете се пресичат
във всяка една точка от тези прави,
-
така че и тук имаме определена система.
-
Една неопределена система е без решения.
-
Нека пак начертая тези оси.
-
Чертая осите.
-
Няма никакви решения.
-
Така че единственият начин да имаме
-
две прави в две измерения, е
-
когато няма решения,
което става ако правите не се пресичат,
-
или когато са успоредни.
-
Едната права ще изглежда така.
-
Тогава другата права ще е със същия наклон,
-
но ще е малко преместена.
-
Тя ще има различна пресечна точка с у,
-
и ще изглежда така.
-
Така изглежда една неопределена система.
-
При нея правите са успоредни.
-
Тази тук е неопределена.
-
И това, което можем да направим, е
да начертаем една примерна графика
-
на тези две прави и да видим
дали се пресичат.
-
Друг начин, по който можем да го направим,
е като погледнем наклона.
-
Ако имат един и същ наклон
и различни пресечни точки с у,
-
тогава пак ще имаме
неопределена система.
-
Но нека ги изобразим графично.
-
Нека начертая оста Ох,
и след това Оу.
-
Оста Оу.
-
Това е х, а това тук е у.
-
И сега има два начина, по които можем
да ги начертаем.
-
Най-лесният начин е
като намерим по две точки
-
на всяка от правите, които
удовлетворяват всяко от тези уравнения,
-
и това е достатъчно за
определянето на една права.
-
Та при тази първата...
-
Нека направя малка таблица
със стойности за х и за у.
-
Когато х е 0, имаме, че 2у = 13,
-
или у = 13/2, което е 6 и 1/2.
-
Т.е. когато х е 0, у е 6 и 1/2.
-
Ще ги нанеса тук.
-
Имаме точка с координати (0; 13/2).
-
Сега нека видим кога у е 0.
-
Когато у е 0, тогава 2 по 0 е 0.
-
Тогава х е равно на 13.
-
х = 13.
-
Т.е. имаме точката (13; 0).
-
Тук имаме (0; 6 и 1/2),
-
а (13; 0) ще е там.
-
Правим го приблизително – (13; 0).
-
Така това уравнение тук горе
-
може да бъде представено чрез тази права.
-
Нека я начертая по най-добрия начин,
по който мога.
-
Ще изглежда по този начин.
-
Нека сега преминем тук.
-
Нека обърнем внимание на тази права.
-
Пак правя малка таблица със стойности
за х и за у.
-
Търся две точки върху тази графика.
-
Когато х = 0, 3 пъти по 0 си е 0.
-
Получаваме, че –у = –11,
-
или получаваме, че у = 11.
-
Имаме точката (0; 11),
а това може би е там някъде.
-
(0; 11) се намира върху тази права.
-
И тогава, когато у е 0, имаме
3х – 0 = –11,
-
или 3х = –11.
-
Ако разделим двете страни на 3,
-
получаваме х = –11/3.
-
Минус 11 върху 3.
-
А това е точно равно на –3 и 2/3.
-
Когато у е 0, тогава х е –3 и 2/3.
-
И това може би е 6,
-
така че –3 и 2/3 ще е тук.
-
Това е точката (–11/3; 0).
-
Така че графиката на второто уравнение
ще изглежда така.
-
Ще има следния вид.
-
Сега, очевидно – може да не съм бил
напълно точен,
-
когато начертах на ръка тази графика,
-
но очевидно тези две прави се пресичат.
-
Пресичат се тук.
-
И за да отговорим на зададения въпрос,
-
дори не е нужно да намираме
точката, в която се пресичат.
-
Само трябва да видим ясно,
-
че тези две прави се пресичат.
-
Това представлява една
определена система уравнения.
-
Тя има едно решение.
-
Трябва да е налице поне една точка,
за да е определена системата.
-
И нека повторим,
-
това е определена система уравнения.
