Каква е системата линейни уравнения по-долу –
определена или неопределена?
Дадено ни е, че х + 2у = 13,
и 3х – у = –11.
За да отговорим на този въпрос, трябва
да знаем какви са тези два термина – определена и неопределена система.
Първо да разгледаме определената система от уравнения.
Една определена система уравнения
има поне едно решение.
Поне едно решение.
А неопределената система от уравнения, както можеш да предположиш,
няма решения.
Система без решения.
И ако помислим за графично представяне,
как би изглеждала графиката на една определена система?
Нека начертая една примерна графика.
Това е абсцисната ос, а това е ординатната ос.
И ако имам две прави, които се пресичат,
това ще е определена система.
Това е едната права, а това е другата права.
Те очевидно имат това едно решение,
там, където двете се пресичат,
така че налице е определена система.
Друга определена система ще имаме,
ако двете прави представляват една и съща права, понеже тогава
ще се пресичат в хиляди точки,
всъщност в неопределен брой точки.
Та нека една от тези прави изглежда така.
Тогава другата права всъщност е абсолютно същата права.
Един вид тя се намира върху тази права.
И те двете се пресичат във всяка една точка от тези прави,
така че и тук имаме определена система.
Една неопределена система е без решения.
Нека пак начертая тези оси.
Чертая осите.
Няма никакви решения.
Така че единственият начин да имаме
две прави в две измерения, е
когато няма решения, което става ако правите не се пресичат,
или когато са успоредни.
Едната права ще изглежда така.
Тогава другата права ще е със същия наклон,
но ще е малко преместена.
Тя ще има различна пресечна точка с у,
и ще изглежда така.
Така изглежда една неопределена система.
При нея правите са успоредни.
Тази тук е неопределена.
И това, което можем да направим, е да начертаем една примерна графика
на тези две прави и да видим дали се пресичат.
Друг начин, по който можем да го направим, е като погледнем наклона.
Ако имат един и същ наклон и различни пресечни точки с у,
тогава пак ще имаме неопределена система.
Но нека ги изобразим графично.
Нека начертая оста Ох, и след това Оу.
Оста Оу.
Това е х, а това тук е у.
И сега има два начина, по които можем да ги начертаем.
Най-лесният начин е като намерим по две точки
на всяка от правите, които удовлетворяват всяко от тези уравнения,
и това е достатъчно за определянето на една права.
Та при тази първата...
Нека направя малка таблица със стойности за х и за у.
Когато х е 0, имаме, че 2у = 13,
или у = 13/2, което е 6 и 1/2.
Т.е. когато х е 0, у е 6 и 1/2.
Ще ги нанеса тук.
Имаме точка с координати (0; 13/2).
Сега нека видим кога у е 0.
Когато у е 0, тогава 2 по 0 е 0.
Тогава х е равно на 13.
х = 13.
Т.е. имаме точката (13; 0).
Тук имаме (0; 6 и 1/2),
а (13; 0) ще е там.
Правим го приблизително – (13; 0).
Така това уравнение тук горе
може да бъде представено чрез тази права.
Нека я начертая по най-добрия начин, по който мога.
Ще изглежда по този начин.
Нека сега преминем тук.
Нека обърнем внимание на тази права.
Пак правя малка таблица със стойности за х и за у.
Търся две точки върху тази графика.
Когато х = 0, 3 пъти по 0 си е 0.
Получаваме, че –у = –11,
или получаваме, че у = 11.
Имаме точката (0; 11), а това може би е там някъде.
(0; 11) се намира върху тази права.
И тогава, когато у е 0, имаме 3х – 0 = –11,
или 3х = –11.
Ако разделим двете страни на 3,
получаваме х = –11/3.
Минус 11 върху 3.
А това е точно равно на –3 и 2/3.
Когато у е 0, тогава х е –3 и 2/3.
И това може би е 6,
така че –3 и 2/3 ще е тук.
Това е точката (–11/3; 0).
Така че графиката на второто уравнение ще изглежда така.
Ще има следния вид.
Сега, очевидно – може да не съм бил напълно точен,
когато начертах на ръка тази графика,
но очевидно тези две прави се пресичат.
Пресичат се тук.
И за да отговорим на зададения въпрос,
дори не е нужно да намираме точката, в която се пресичат.
Само трябва да видим ясно,
че тези две прави се пресичат.
Това представлява една определена система уравнения.
Тя има едно решение.
Трябва да е налице поне една точка, за да е определена системата.
И нека повторим,
това е определена система уравнения.