WEBVTT

00:00:00.630 --> 00:00:02.700
Каква е системата линейни уравнения по-долу –

00:00:02.700 --> 00:00:05.370
определена или неопределена?

00:00:05.370 --> 00:00:08.330
Дадено ни е, че х + 2у = 13,

00:00:08.330 --> 00:00:11.590
и 3х – у = –11.

00:00:11.590 --> 00:00:13.205
За да отговорим на този въпрос, трябва

00:00:13.205 --> 00:00:16.430
да знаем какви са тези два термина –
определена и неопределена система.

00:00:16.430 --> 00:00:18.460
Първо да разгледаме определената
система от уравнения.

00:00:18.460 --> 00:00:20.980
Една определена система уравнения

00:00:20.980 --> 00:00:24.815
има поне едно решение.

00:00:24.815 --> 00:00:28.810
Поне едно решение.

00:00:28.810 --> 00:00:31.510
А неопределената система от уравнения,
както можеш да предположиш,

00:00:31.510 --> 00:00:32.685
няма решения.

00:00:32.685 --> 00:00:36.370
Система без решения.

00:00:36.370 --> 00:00:38.300
И ако помислим за графично представяне,

00:00:38.300 --> 00:00:43.600
как би изглеждала графиката
на една определена система?

00:00:43.600 --> 00:00:45.620
Нека начертая една примерна графика.

00:00:45.620 --> 00:00:50.750
Това е абсцисната ос,
а това е ординатната ос.

00:00:50.750 --> 00:00:53.480
И ако имам две прави,
които се пресичат,

00:00:53.480 --> 00:00:55.250
това ще е определена система.

00:00:55.250 --> 00:00:58.860
Това е едната права,
а това е другата права.

00:00:58.860 --> 00:01:01.300
Те очевидно имат това едно решение,

00:01:01.300 --> 00:01:03.300
там, където двете се пресичат,

00:01:03.300 --> 00:01:04.980
така че налице е определена система.

00:01:04.980 --> 00:01:07.179
Друга определена система ще имаме,

00:01:07.179 --> 00:01:08.970
ако двете прави представляват
една и съща права, понеже тогава

00:01:08.970 --> 00:01:12.430
ще се пресичат в хиляди точки,

00:01:12.430 --> 00:01:14.250
всъщност в неопределен брой точки.

00:01:14.250 --> 00:01:16.520
Та нека една от тези прави изглежда така.

00:01:16.520 --> 00:01:19.190
Тогава другата права всъщност
е абсолютно същата права.

00:01:19.190 --> 00:01:21.200
Един вид тя се намира върху тази права.

00:01:21.200 --> 00:01:24.220
И те двете се пресичат
във всяка една точка от тези прави,

00:01:24.220 --> 00:01:26.500
така че и тук имаме определена система.

00:01:26.500 --> 00:01:30.010
Една неопределена система е без решения.

00:01:30.010 --> 00:01:34.230
Нека пак начертая тези оси.

00:01:34.230 --> 00:01:36.940
Чертая осите.

00:01:36.940 --> 00:01:38.470
Няма никакви решения.

00:01:38.470 --> 00:01:40.300
Така че единственият начин да имаме

00:01:40.300 --> 00:01:43.030
две прави в две измерения, е

00:01:43.030 --> 00:01:46.280
когато няма решения, 
което става ако правите не се пресичат,

00:01:46.280 --> 00:01:47.990
или когато са успоредни.

00:01:47.990 --> 00:01:50.580
Едната права ще изглежда така.

00:01:50.580 --> 00:01:52.802
Тогава другата права ще е със същия наклон,

00:01:52.802 --> 00:01:54.010
но ще е малко преместена.

00:01:54.010 --> 00:01:56.056
Тя ще има различна пресечна точка с у,

00:01:56.056 --> 00:01:57.180
и ще изглежда така.

00:01:57.180 --> 00:02:00.900
Така изглежда една неопределена система.

00:02:00.900 --> 00:02:02.720
При нея правите са успоредни.

00:02:02.720 --> 00:02:05.650
Тази тук е неопределена.

00:02:05.650 --> 00:02:07.610
И това, което можем да направим, е
да начертаем една примерна графика

00:02:07.610 --> 00:02:11.250
на тези две прави и да видим
дали се пресичат.

00:02:11.250 --> 00:02:13.620
Друг начин, по който можем да го направим,
е като погледнем наклона.

00:02:13.620 --> 00:02:16.700
Ако имат един и същ наклон
и различни пресечни точки с у,

00:02:16.700 --> 00:02:18.610
тогава пак ще имаме
неопределена система.

00:02:18.610 --> 00:02:20.410
Но нека ги изобразим графично.

00:02:20.410 --> 00:02:27.506
Нека начертая оста Ох,
и след това Оу.

00:02:27.506 --> 00:02:30.350
Оста Оу.

00:02:30.350 --> 00:02:34.389
Това е х, а това тук е у.

00:02:34.389 --> 00:02:36.430
И сега има два начина, по които можем
да ги начертаем.

00:02:36.430 --> 00:02:38.346
Най-лесният начин е
като намерим по две точки

00:02:38.346 --> 00:02:41.730
на всяка от правите, които 
удовлетворяват всяко от тези уравнения,

00:02:41.730 --> 00:02:43.590
и това е достатъчно за 
определянето на една права.

00:02:43.590 --> 00:02:44.590
Та при тази първата...

00:02:44.590 --> 00:02:47.230
Нека направя малка таблица
със стойности за х и за у.

00:02:48.890 --> 00:02:56.940
Когато х е 0, имаме, че 2у = 13,

00:02:56.940 --> 00:03:05.170
или у = 13/2, което е 6 и 1/2.

00:03:05.170 --> 00:03:08.710
Т.е. когато х е 0, у е 6 и 1/2.

00:03:08.710 --> 00:03:10.390
Ще ги нанеса тук.

00:03:10.390 --> 00:03:14.440
Имаме точка с координати (0; 13/2).

00:03:14.440 --> 00:03:16.890
Сега нека видим кога у е 0.

00:03:16.890 --> 00:03:19.950
Когато у е 0, тогава 2 по 0 е 0.

00:03:19.950 --> 00:03:22.230
Тогава х е равно на 13.

00:03:22.230 --> 00:03:24.150
х = 13.

00:03:24.150 --> 00:03:26.810
Т.е. имаме точката (13; 0).

00:03:26.810 --> 00:03:29.920
Тук имаме (0; 6 и 1/2),

00:03:29.920 --> 00:03:31.420
а (13; 0) ще е там.

00:03:31.420 --> 00:03:34.780
Правим го приблизително – (13; 0).

00:03:34.780 --> 00:03:37.750
Така това уравнение тук горе

00:03:37.750 --> 00:03:39.480
може да бъде представено чрез тази права.

00:03:39.480 --> 00:03:41.880
Нека я начертая по най-добрия начин,
по който мога.

00:03:41.880 --> 00:03:45.050
Ще изглежда по този начин.

00:03:45.050 --> 00:03:47.950
Нека сега преминем тук.

00:03:47.950 --> 00:03:49.400
Нека обърнем внимание на тази права.

00:03:49.400 --> 00:03:51.980
Пак правя малка таблица със стойности
за х и за у.

00:03:51.980 --> 00:03:54.840
Търся две точки върху тази графика.

00:03:54.840 --> 00:03:59.970
Когато х = 0, 3 пъти по 0 си е 0.

00:03:59.970 --> 00:04:02.460
Получаваме, че –у = –11,

00:04:02.460 --> 00:04:04.890
или получаваме, че у = 11.

00:04:04.890 --> 00:04:08.380
Имаме точката (0; 11), 
а това може би е там някъде.

00:04:08.380 --> 00:04:11.110
(0; 11) се намира върху тази права.

00:04:11.110 --> 00:04:16.680
И тогава, когато у е 0, имаме
3х – 0 = –11,

00:04:16.680 --> 00:04:20.640
или 3х = –11.

00:04:20.640 --> 00:04:22.250
Ако разделим двете страни на 3,

00:04:22.250 --> 00:04:24.060
получаваме х = –11/3.

00:04:24.060 --> 00:04:28.220
Минус 11 върху 3.

00:04:28.220 --> 00:04:33.320
А това е точно равно на –3 и 2/3.

00:04:33.320 --> 00:04:40.490
Когато у е 0, тогава х е –3 и 2/3.

00:04:40.490 --> 00:04:43.600
И това може би е 6,

00:04:43.600 --> 00:04:46.090
така че –3 и 2/3 ще е тук.

00:04:46.090 --> 00:04:51.440
Това е точката (–11/3; 0).

00:04:51.440 --> 00:04:55.380
Така че графиката на второто уравнение
ще изглежда така.

00:04:55.380 --> 00:04:57.790
Ще има следния вид.

00:04:57.790 --> 00:05:01.270
Сега, очевидно – може да не съм бил
напълно точен,

00:05:01.270 --> 00:05:03.380
когато начертах на ръка тази графика,


00:05:03.380 --> 00:05:05.790
но очевидно тези две прави се пресичат.

00:05:05.790 --> 00:05:07.360
Пресичат се тук.

00:05:07.360 --> 00:05:08.734
И за да отговорим на зададения въпрос,

00:05:08.734 --> 00:05:11.380
дори не е нужно да намираме
точката, в която се пресичат.

00:05:11.380 --> 00:05:13.060
Само трябва да видим ясно,

00:05:13.060 --> 00:05:14.950
че тези две прави се пресичат.

00:05:14.950 --> 00:05:18.480
Това представлява една
определена система уравнения.

00:05:18.480 --> 00:05:20.510
Тя има едно решение.

00:05:20.510 --> 00:05:23.840
Трябва да е налице поне една точка,
за да е определена системата.

00:05:23.840 --> 00:05:24.877
И нека повторим,

00:05:24.877 --> 00:05:28.067
това е определена система уравнения.