Спрощення радикалів

Використання експоненційних правил для спрощення радикалів чи квадратних коренів

Вітаємо Вас на презентації
спрощення радикалів.

Давайте почнемо з розбору
деякої термінології

Ви, мабуть, взагалі не розумієте, що таке
радикал, тож я Вам розповім.

Мені потрібно налаштувати ручку

Радикал є саме цим.

Чи Ви просто більш знайомі з ним як
зі знаком квадратного кореня.

Розібравшись з термінологією,

давайте вже поговоримо про те,
що означає спростити радикал

Дехто може сказати,
що те, що ми робитимемо

є набагато складнішим.

Тож давайте подивимось.

Дозвольте мені стерти це.

Якщо б я дав Вам квардратний корінь з 36

Ви б сказали: "Пф, легко."

Це ж просто дорівнює 6 помножити на 6.

Чи квадратний корінь з 36 дорівнює 6.

А якщо б я спитав Вас чому дорівнює
квадраний корінь з 72?

Ну, ми ж знаємо, що 72 це
36 помножене на 2, так?

Давайте запишемо це.

Квадратний корінь з 72 це теж саме, що
і корінь з 36 помножених на 2.

Так? Ми просто переписали 72 як 36 на 2.

Квадратний корінь, якщо ви пам'ятаєте це
з 3-го рівня експоненційних правил.

квадратний корінь це теж саме, що і
щось у степені одна друга.

Давайте запишемо це

Я так записую це просто для того, щоб
ви зрозуміли як працює спрощення радикалів

і це дійсно не нова концепція.

Тож це теж саме, що і 36 помножене на 2
у степені 1/2.

ВІрно? Бо квадратний корінь це і є
одна друга ступінь.

А ми вивчили з експоненційних правил
те, що, коли множити 2 числа,

а потім підносити у степінь 1/2,

то це є тим самим, що і підносити кожне
з чисел у степінь 1/2,

а потім множити. Так?

Тож, це ось тут і є коренем з 36
помножених на 2.

А ми вже з'ясували корінь з 36.

Це 6.

Тож це всього лиш дорівнює
6 помноженому на корінь з 2.

І ви, мабуть, дивуєтесь, чому я зробив
цей крок зміни радикалу,

зі знаку кореня у степінь 1/2.

Я зробив це просто для того, щоб показати
Вам,що є розширенням правил експоненти

Це теж не є чимось надзвичайно новим

Проте, напевно, не завжди одразу видно,
що вони є одним і тим самим.

Я просто хотів звернути на це увагу.

Тепер давайте зробимо інший приклад.

Гадаю, чим більше будемо розв'язувати,
тим очевиднішим це стане.

Квадратний корінь з 50.

Так, корінь з 50 --

50 це теж саме, що і 25 помножене на 2.

А ми знаємо, спираючись на те, що ми
щойно робили, що це просто правило.

Корінь з 25 помножених на 2 це те саме,
що і корінь з 25

помножене на корінь з 2.

А ми знаємо, що є коренем з 25.

Це 5.

Тож це дорівнює 5 помножене на
корінь з 2.

Тепер Ви можете сказати:
"Ей, Сал, ти зробив це простим,

та як ти знав, що 50 потрібно розкласти як
25 і 2?"

Чому я не розклав 50 як корінь з 5 та 10?

Чи просто 50 дорівнює квадратному кореню
-- насправді, наприклад 1 і 50?

Я не знаю які ще дільники має 50.

У будь-якому разі, я не займатимусь цим.

Я обрав 25 і 2 просто тому, що я хотів
дільник 50 --

Дійсно я хотів знайти найбільший
дільник 50, що є квадратом.

І це 25.

Якщо б я обрав 5 і 10, тут я
б нічого не спростив

тому що ані 5, ані 10 не є квадратами.

І те ж саме стосується 1 і 50.

Щоб розібрати все, Вам

треба спершу подумати про дільники
початкового числа

і з'ясувати чи є серед них квадрати.

Тут немає єдиного
механічного шляху,

Вам насправді треба просто навчитися
розпізнавати квадрати.

І ви ознайомитесь з ними, звісно ж.

Це такі, як 1, 4, 9, 25,
16, 25, 36, 49, 64 і т.д.

Можливо, роблячи цей модуль Ви й насправді
навчитесь розпізнавати їх.

Якщо ж якесь з цих чисел є дільником числа
під знаком радикалу, тоді

Ви, мабуть, захочете його розкласти.

А потім винесете його
з-під знаку радикалу,

так як ми це зробили у попередній задачі.

Давайте ще порозв'язуємо.

Чому дорівнює 7 помножене на корінь з 27?

Коли я пишу цю 7 поруч з цим,

це означає просто помножити
на корінь з 27.

Давай подумаємо,
які ще дільники є у 27

і чи є з них щось квадратом?

3 є дільником 27, та не є квадратом.

9 є.

Ми можемо сказати 7 --

це дорівнює 7 помноженому на корінь з
9 помноженої на 3.

а тепер, спираючись на тільки-но вивчені
правила

Це те саме, що і 7
помножене на корінь з 9

помножене на корінь з 3.

Це просто дорівнює 7 помноженому на 3,
бо корінь з 9 це 3,

помножене на корінь з 3.

Це дорівнює 21 помноженому на корінь з 3.

Готово.

Давайте зробимо ще одне.

Чому дорівнює 9
помножене на корінь з 18?

Ще раз, які фактори має 18?

Маємо 6 і 3?

1 і 18?

Та з цих чисел ніщо не є квадратом.

Та в нас також є 2 і 9.

А 9 є квадратом.

Тож запишемо це.

Це дорівнює 9 помноженим на корінь з 2
помножених на 9.

Що дорівнює 9 помноженим
на корінь з 2 --

це 2, помножене на корінь з 9.

Що дорівнює 9 помноженим на корінь з
2 на 3, так?

Це є корінь з 9, що дорівнює

27 помножене на корінь з 2.

Ось ми й прийшли.

Сподіваюся, Ви поч.инаєте
розуміти ці задачі.

Давайте ще одну зробимо.

Чому дорівнює 4 помножене на корінь з 25?

Ну, 25 саме по собі є квадратом.

Це такий тип прикладів, які легко
розвязуються, та все одно мають хитрощі.

25 є квадратом.

Коренем є 5, тож це просто дорівнює
4 помноженим на 5,

що є 20.

Корінь з 25 це 5.

Давайте ще одне.

Чому дорівнює 3 помножене на корінь з 29?

29 має всього лиш 2 дільники.
Це просте число.

Воно має такі дільники, як 1 і 29.

І ні одне, ні друге не є квадратом.

Тож, це ми дійсно не можемо
більше спростити.

Воно вже знаходиться у
повністю спрощеній формі.

Давайте ще декілька зробимо.

А як Вам 7 помножене на корінь з 320?

Давайте порозмірковуємо над 320.

Ми можемо робити це покроково, коли у нас
більші числа такого типу.

Я можу глянути на нього і сказати, що
воно виглядає як 4 --

насправді ж, здається 16 війде у нього,
бо 16 входить у 32.

Давайте спробуємо.

Це дорівнює 7 помноженим на корінь з 16
помноженим на 20.

Тож, це дорівнює 7 помноженим
на корінь з 16.

помноженим на корінь з 20.

7 помножене на корінь з 16.

Корінь з 16 це 4.

7 помножене на 4 це 28.

Це є 28 помножене на корінь з 20.

А зараз ми завершили?

Насправді, я вважаю, що я можу розкласти
20 ще.

бо 20 дорівнює 4 помноженим на 5.

Я можу сказати, що це дорівнює 28
помноженим на корінь з 4 помножених на 5

Корінь з 4 це 2, тож 2
можна просто винести

і це стане 56 помножене на корінь з 5.

Сподіваюсь, Ви це зрозуміли.

І це взагалі-то дуже важливо.
Що я тільки що зробив.

Коли я глянув на 320.

Я не знав найбільше число, яке входить
у 320.

Виявляється, це 64.

Та просто подивившись на число, я сказав,
я знаю, що 4 входить у нього.

Я міг би просто винести 4.

і сказати: "О, це ж дорівнює
4 помноженим на 80."

І треба було б щось робити з 80.

У такому разі, я побачив 32 і я просто
сказав, що 16 входить

і спершу розклав 16.

Коли я взяв корінь з 16, я помножив
ззовні 4

і, таким чином, отримав 28.

Потім я зменшив число всередині та сказав,

"О, це ж все ще ділиться на квадрат.

Це все ще ділиться на 4." І я продовжував
це робити

доки не залишилось просте число, яке вже
не можна було розкласти під радикалом

Насправді, воно не зобов'язано
бути простим.

Тож, сподіваюся, завдяки цьому Ви
зрозумієте як робити спрощення радикалів.

Це ж всього лиш розширення експоненційних
правил яке Ви щойно вивчили,

і, роблячи цей модуль, Ви будете гарно
це робити.

Розважайтесь!