-
Ebben a videóban a trigonometria alapjait szeretném bemutatni.
-
Nagyon bonyolultnak hangozhat
elsőre a téma,
-
de látni fogod, hogy ez a témakör
mindössze a háromszögek
-
oldalainak arányával foglalkozik.
-
A „trig” rész a „trigonometriából”
háromszöget jelent,
-
a „metria” rész pedig mérést.
-
Mutatok néhány példát,
-
azt hiszem, minden világos lesz ez után.
-
Rajzolok egy derékszögű háromszöget.
-
Ez itt egy derékszögű háromszög.
-
Amikor azt mondom, hogy derékszögű,
az azt jelenti, hogy
-
az egyik szöge 90 fokos.
-
Ez itt a derékszöge.
-
90 fokkal egyenlő.
-
Beszélni fogunk a szögmérés
más módjairól is
-
a későbbi videókban.
-
Tehát van egy 90 fokos szögünk.
-
Ez egy derékszögű háromszög,
megadom az oldalak hosszát.
-
Ez az oldal legyen mondjuk 3.
A magasság legyen 3.
-
Az alapja legyen 4,
-
és a háromszög átfogója legyen 5.
-
Csak a derékszögű háromszögeknek
van átfogója.
-
Szemben van a derékszöggel, és ez a
leghosszabb oldala a háromszögnek.
-
Tehát ez itt az átfogó.
-
Valószínűleg már tanultad ezt
geometriából.
-
Ellenőrizhetjük, hogy ez egy derékszögű
háromszög, ‒ az oldalak segítségével ‒
-
tudjuk a Pitagorasz-tételből, hogy
-
3 a négyzeten plusz 4 a négyzetennek
egyenlőnek kell lennie a leghosszabb
-
oldal, vagyis az átfogó négyzetével,
ami 5 a négyzeten,
-
tehát ellenőrizheted, hogy rendben van,
-
kielégíti a Pitagorasz-tételt.
-
Hagyjuk most már ezt,
és tanuljunk egy kis trigonometriát!
-
Az alapvető trigonometrikus függvények,
-
egy kicsit többet fogunk tanulni arról,
hogy mit is jelentenek ezek.
-
Van a szinusz, a szinuszfüggvény,
-
van a koszinuszfüggvény
és a tangensfüggvény.
-
Röviden úgy írjuk, hogy sin, cos
és tan.
-
Bármelyik szögre is írjuk fel ezeket,
-
meghatározzák az egyes oldalak arányát.
-
Először is tisztázzunk valamit!
-
Van egy kis emlékeztető,
-
ami segít megjegyezni a
szögfüggvények definícióit.
-
Leírom neked, ez a „szisza koma taszem”,
-
csodálkozni fogsz, milyen messzire fog
ez vezetni téged a trigonometriában.
-
Mit mond nekünk a „szisza koma taszem”?
-
A „szisza” azt mondja, hogy a szinusz
a szemközti per az átfogó.
-
Ezt mondja, de ennek most még
nincs sok értelme.
-
Mindjárt elmondom részletesebben.
-
A koszinusz egyenlő melletti per átfogó,
-
végül a tangens
-
egyenlő a szemközti per melletti.
-
Valószínűleg most azt mondod:
„Hé, Sal, mi ez a »szemközti«,
-
»átfogó«, »melletti«, miről beszélsz?”
-
Jól van, vegyünk egy szöget!
-
Legyen ez a szög itt théta,
-
a 4 hosszúságú és az 5 hosszúságú oldalak között.
-
Ez a théta.
-
Most pedig számítsuk ki théta szinuszát,
-
koszinuszát
-
és tangensét!
-
Először koncentráljunk a théta szinuszára,
-
csak a „szisza koma taszem”-re
kell emlékeznünk,
-
a szinusz a szemközti per az átfogó,
tehát szinusz théta egyenlő
-
a szemközti - de mi a
szöggel szemközti oldal?
-
Ez itt a mi szögünk, és a szemközti oldal,
-
tehát ha szembe megyünk,
-
nem azok az oldalak,
amelyek a szög mellett vannak,
-
a szemközti oldal 3,
-
e felé a 3 felé nyílik,
-
tehát a szemközti oldal 3.
-
Na és mennyi az átfogó?
-
Nos, ezt már tudjuk ‒ az átfogó itt 5.
-
Tehát 3 per 5.
-
Szinusz théta 3 per 5.
-
Nemsokára megmutatom neked,
hogy szinusz théta ‒
-
ha a szög ugyanaz ‒ mindig 3/5 lesz.
-
A szemközti befogó és az átfogó hányadosa
mindig ugyanaz lesz,
-
még akkor is, ha a háromszög nagyobb,
-
vagy amikor kisebb.
-
Hamarosan megmutatom ezt neked.
-
Nézzük a többi szögfüggvényt!
-
Gondolkodjunk azon, mi lesz
a théta koszinusza!
-
A koszinusz a melletti per az átfogó,
emlékszel,
-
bejelölöm ezeket.
-
Már rájöttünk, hogy a szemközti oldal 3.
-
Ez a szemközti oldal.
-
De csak akkor,
ha erről a szögről beszélünk.
-
Ha erről a szögről van szó,
ez az oldal a szemközti.
-
Amikor erről a szögről beszélünk,
-
ez a 4 hosszúságú oldal a szög melletti befogó,
-
az egyik a két oldal közül, amelyek
-
megformálják ezt a csúcsot.
-
Tehát ez itt a szomszédos befogó.
-
Egészen világos szeretnék lenni,
-
ez csak erre a szögre vonatkozik.
-
Ha erről a másik szögről beszélünk,
-
akkor ez a zöld a szemközti befogó,
-
és ez a sárga a szög melletti befogó.
-
De mi továbbra is itt erre a szögre
koncentrálunk.
-
Ennek a szögnek a koszinusza -
a szög melletti befogó 4,
-
melletti per átfogó,
-
a melletti, ami 4, per az átfogó,
-
4 per 5.
-
Csináljuk a tangenst!
-
Csináljuk most a tangenst!
-
Tangens théta: szemközti per melletti.
-
A szemközti befogó 3.
Mekkora a szög melletti befogó?
-
Kitaláltuk már, a szög melletti
-
befogó 4.
-
Tehát a derékszögű háromszög
oldalainak ismeretében
-
meg tudtuk határozni a jelentősebb
szögfüggvényeket.
-
Látni fogjuk, hogy vannak más
szögfüggvények is,
-
de azok mind ebből a három
-
alapvető szögfüggvényből származtathatók.
-
Most pedig foglalkozzunk ennek
a háromszögnek a másik szögével,
-
újra lerajzolom, mert ez az ábra
kezd egy kicsit áttekinthetetlen lenni.
-
Szóval újra lerajzolom
-
pontosan ugyanezt a háromszöget.
-
És ismét, a háromszög
oldalainak a hossza ‒
-
van itt nekünk egy 4 hosszúságú,
egy 3 hosszúságú,
-
és egy 5 hosszúságú oldal.
-
Az előző példában ezt a thétát használtuk.
-
Most foglalkozzunk a másik szöggel,
ezzel itt fenn,
-
nevezzük el ‒ nem is tudom,
találomra választok
-
valami görög betűt.
-
Legyen mondjuk pszí.
-
Tudom, egy kicsit bizarr,
-
rendszerint a thétát használjuk,
-
de mivel a théta már foglalt, legyen pszí.
-
Vagy tulajdonképpen
‒ hadd egyszerűsítsem le,
-
legyen a szög neve x.
-
Nevezzük ezt a szöget x-nek!
-
Határozzuk meg ennek az x szögnek
a szögfüggvényeit!
-
Mivel lesz egyenlő szinusz x?
-
Nos, a szinusz a szemközti per az átfogó.
-
Melyik oldal van szemben az x-szel?
-
x a 4 felé nyílik,
-
a 4 felé nyílik,
-
tehát ebben az összefüggésben
most ez a szemközti,
-
ez most a szemközti oldal.
-
Emlékezz vissza: a 4 volt a
théta melletti befogó,
-
de most ez az x-szel szemközti befogó.
-
Tehát 4 per ‒
-
mi most az átfogó?
-
Igen, az átfogó ugyanaz,
-
függetlenül attól,
melyik szöget választod,
-
az átfogó tehát most 5 lesz,
-
szinusz x pedig 4/5.
-
Nézzünk egy másikat: mennyi koszinusz x?
-
A koszinusz a melletti per az átfogó.
-
Melyik az az x melletti oldal,
amelyik nem az átfogó?
-
Itt van az átfogó.
-
Igen, ez a 3 az egyik oldal,
-
amelyik megformálja az x szög csúcsát,
és ez nem az átfogó,
-
tehát ez a szög melletti befogó.
-
Ez a melletti.
-
3 per az átfogó,
-
az átfogó 5.
-
És végül a tangens.
-
Meg akarjuk határozni x tangensét.
-
A tangens a szemközti per a melletti,
-
„szisza koma taszem”,
-
szemközti per meletti.
-
A szemközti oldal 4,
-
ezzel a kékkel akarom csinálni,
-
a szemközti oldal 4,
a szomszédos befogó 3.
-
És készen vagyunk!
-
A következő videóban
egy csomó ilyen példát csinálok,
-
azért, hogy valóban ráérezzünk erre.
-
De hagylak gondolkodni arról,
hogy mi történik,
-
ha ezek a szögek elkezdenek
közeledni a 90 fokhoz,
-
vagy hogyan nőhetnek akár
90 foknál nagyobbra.
-
Látni fogjuk, hogy
-
a „szisza koma taszem” definíció
messze fog minket vinni,
-
a 0 és 90 fok közötti szögek témájában,
-
illetve azokéban, amelyek kisebbek,
mint 90 fok.
-
Kezdenek összekuszálódni,
-
tényleg a határokat feszegetik.
-
Bevezetünk majd egy új definíciót,
-
ami a „szisza koma taszem”-ből
származtatható,
-
hogy valóban minden szögnek
-
megtaláljuk a szinuszát,
koszinuszát és tangensét.
