0:00:00.600,0:00:05.680
Ebben a videóban a trigonometria alapjait szeretném bemutatni.

0:00:05.680,0:00:09.000
Nagyon bonyolultnak hangozhat [br]elsőre a téma,

0:00:09.000,0:00:13.147
de látni fogod, hogy ez a témakör [br]mindössze a háromszögek

0:00:13.147,0:00:15.400
oldalainak arányával foglalkozik.

0:00:15.400,0:00:18.520
A „trig” rész a „trigonometriából”[br]háromszöget jelent,

0:00:18.520,0:00:21.353
a „metria” rész pedig mérést.

0:00:21.353,0:00:24.133
Mutatok néhány példát,

0:00:24.133,0:00:26.600
azt hiszem, minden világos lesz ez után.

0:00:26.600,0:00:28.400
Rajzolok egy derékszögű háromszöget.

0:00:28.400,0:00:31.867
Ez itt egy derékszögű háromszög.

0:00:31.867,0:00:34.054
Amikor azt mondom, hogy derékszögű, [br]az azt jelenti, hogy

0:00:34.054,0:00:37.200
az egyik szöge 90 fokos.

0:00:37.200,0:00:42.805
Ez itt a derékszöge.

0:00:42.805,0:00:47.877
90 fokkal egyenlő.

0:00:47.877,0:00:51.320
Beszélni fogunk a szögmérés [br]más módjairól is

0:00:51.320,0:00:53.400
a későbbi videókban.

0:00:53.400,0:00:54.913
Tehát van egy 90 fokos szögünk.

0:00:54.913,0:00:57.801
Ez egy derékszögű háromszög, [br]megadom az oldalak hosszát.

0:00:57.801,0:01:03.267
Ez az oldal legyen mondjuk 3.[br]A magasság legyen 3.

0:01:03.267,0:01:07.200
Az alapja legyen 4,

0:01:07.200,0:01:14.480
és a háromszög átfogója legyen 5.

0:01:14.480,0:01:17.000
Csak a derékszögű háromszögeknek [br]van átfogója.

0:01:17.000,0:01:23.230
Szemben van a derékszöggel, és ez a [br]leghosszabb oldala a háromszögnek.

0:01:23.230,0:01:27.600
Tehát ez itt az átfogó.

0:01:27.600,0:01:29.733
Valószínűleg már tanultad ezt [br]geometriából.

0:01:29.733,0:01:32.613
Ellenőrizhetjük, hogy ez egy derékszögű [br]háromszög, ‒ az oldalak segítségével ‒

0:01:32.613,0:01:35.503
tudjuk a Pitagorasz-tételből, hogy

0:01:35.503,0:01:42.207
3 a négyzeten plusz 4 a négyzetennek [br]egyenlőnek kell lennie a leghosszabb

0:01:42.207,0:01:46.733
oldal, vagyis az átfogó négyzetével, [br]ami 5 a négyzeten,

0:01:46.733,0:01:49.111
tehát ellenőrizheted, hogy rendben van,

0:01:49.111,0:01:51.580
kielégíti a Pitagorasz-tételt.

0:01:51.580,0:01:54.777
Hagyjuk most már ezt, [br]és tanuljunk egy kis trigonometriát!

0:01:54.777,0:01:57.820
Az alapvető trigonometrikus függvények,

0:01:57.820,0:02:01.529
egy kicsit többet fogunk tanulni arról, [br]hogy mit is jelentenek ezek.

0:02:01.529,0:02:04.533
Van a szinusz, a szinuszfüggvény,

0:02:04.533,0:02:11.200
van a koszinuszfüggvény [br]és a tangensfüggvény.

0:02:11.200,0:02:15.733
Röviden úgy írjuk, hogy sin, cos [br]és tan.

0:02:15.733,0:02:20.333
Bármelyik szögre is írjuk fel ezeket, [br]

0:02:20.333,0:02:23.093
meghatározzák az egyes oldalak arányát.

0:02:23.093,0:02:24.521
Először is tisztázzunk valamit!

0:02:24.521,0:02:26.363
Van egy kis emlékeztető,

0:02:26.363,0:02:30.267
ami segít megjegyezni a [br]szögfüggvények definícióit.

0:02:30.267,0:02:39.083
Leírom neked, ez a „szisza koma taszem”,

0:02:39.083,0:02:43.400
csodálkozni fogsz, milyen messzire fog [br]ez vezetni téged a trigonometriában.

0:02:43.400,0:02:46.800
Mit mond nekünk a „szisza koma taszem”?

0:02:46.800,0:02:58.667
A „szisza” azt mondja, hogy a szinusz [br]a szemközti per az átfogó.

0:02:58.667,0:03:01.667
Ezt mondja, de ennek most még [br]nincs sok értelme.

0:03:01.667,0:03:03.800
Mindjárt elmondom részletesebben.

0:03:03.800,0:03:13.133
A koszinusz egyenlő melletti per átfogó,

0:03:13.133,0:03:18.533
végül a tangens

0:03:18.533,0:03:22.733
egyenlő a szemközti per melletti.[br]

0:03:22.733,0:03:25.543
Valószínűleg most azt mondod:[br]„Hé, Sal, mi ez a »szemközti«,

0:03:25.543,0:03:27.733
»átfogó«, »melletti«, miről beszélsz?”

0:03:27.733,0:03:30.387
Jól van, vegyünk egy szöget!

0:03:30.387,0:03:34.933
Legyen ez a szög itt théta,

0:03:34.933,0:03:37.933
a 4 hosszúságú és az 5 hosszúságú oldalak között.

0:03:37.933,0:03:39.297
Ez a théta.

0:03:39.297,0:03:42.200
Most pedig számítsuk ki théta szinuszát, [br]

0:03:42.200,0:03:43.777
koszinuszát

0:03:43.777,0:03:46.267
és tangensét!

0:03:46.267,0:03:51.533
Először koncentráljunk a théta szinuszára,[br]

0:03:51.533,0:03:55.067
csak a „szisza koma taszem”-re[br]kell emlékeznünk,

0:03:55.067,0:03:59.243
a szinusz a szemközti per az átfogó,[br]tehát szinusz théta egyenlő

0:03:59.243,0:04:03.133
a szemközti - de mi a [br]szöggel szemközti oldal?

0:04:03.133,0:04:06.600
Ez itt a mi szögünk, és a szemközti oldal,

0:04:06.600,0:04:09.133
tehát ha szembe megyünk,

0:04:09.133,0:04:13.539
nem azok az oldalak, [br]amelyek a szög mellett vannak,

0:04:13.539,0:04:15.200
a szemközti oldal 3,

0:04:15.200,0:04:17.067
e felé a 3 felé nyílik,

0:04:17.067,0:04:19.400
tehát a szemközti oldal 3.

0:04:19.400,0:04:21.767
Na és mennyi az átfogó?

0:04:21.777,0:04:24.467
Nos, ezt már tudjuk ‒ az átfogó itt 5.

0:04:24.467,0:04:27.600
Tehát 3 per 5.

0:04:27.600,0:04:28.987
Szinusz théta 3 per 5.

0:04:28.987,0:04:35.667
Nemsokára megmutatom neked, [br]hogy szinusz théta ‒

0:04:35.667,0:04:38.867
ha a szög ugyanaz ‒ mindig 3/5 lesz.

0:04:38.867,0:04:42.657
A szemközti befogó és az átfogó hányadosa [br]mindig ugyanaz lesz,

0:04:42.657,0:04:45.396
még akkor is, ha a háromszög nagyobb,

0:04:45.396,0:04:46.333
vagy amikor kisebb.

0:04:46.333,0:04:47.703
Hamarosan megmutatom ezt neked.

0:04:47.703,0:04:49.200
Nézzük a többi szögfüggvényt!

0:04:49.200,0:04:54.337
Gondolkodjunk azon, mi lesz [br]a théta koszinusza!

0:04:54.337,0:04:57.933
A koszinusz a melletti per az átfogó, [br]emlékszel,

0:04:57.933,0:05:00.200
bejelölöm ezeket.

0:05:00.200,0:05:03.533
Már rájöttünk, hogy a szemközti oldal 3.

0:05:03.533,0:05:04.733
Ez a szemközti oldal.

0:05:04.733,0:05:07.333
De csak akkor, [br]ha erről a szögről beszélünk.

0:05:07.333,0:05:09.800
Ha erről a szögről van szó, [br]ez az oldal a szemközti.

0:05:09.800,0:05:11.420
Amikor erről a szögről beszélünk,

0:05:11.420,0:05:14.353
ez a 4 hosszúságú oldal a szög melletti befogó,

0:05:14.353,0:05:16.867
az egyik a két oldal közül, amelyek

0:05:16.867,0:05:19.267
megformálják ezt a csúcsot.

0:05:19.267,0:05:23.333
Tehát ez itt a szomszédos befogó.

0:05:23.333,0:05:24.873
Egészen világos szeretnék lenni,

0:05:24.873,0:05:26.600
ez csak erre a szögre vonatkozik.

0:05:26.600,0:05:28.277
Ha erről a másik szögről beszélünk,

0:05:28.277,0:05:29.990
akkor ez a zöld a szemközti befogó,

0:05:29.990,0:05:31.763
és ez a sárga a szög melletti befogó.

0:05:31.763,0:05:34.437
De mi továbbra is itt erre a szögre [br]koncentrálunk.

0:05:34.437,0:05:40.467
Ennek a szögnek a koszinusza - [br]a szög melletti befogó 4,

0:05:40.467,0:05:43.533
melletti per átfogó,

0:05:43.533,0:05:47.400
a melletti, ami 4, per az átfogó,

0:05:47.400,0:05:51.480
4 per 5.

0:05:51.480,0:05:53.220
Csináljuk a tangenst!

0:05:53.220,0:05:55.380
Csináljuk most a tangenst!

0:05:55.410,0:05:59.867
Tangens théta: szemközti per melletti.

0:05:59.867,0:06:06.333
A szemközti befogó 3. [br]Mekkora a szög melletti befogó?

0:06:06.333,0:06:07.857
Kitaláltuk már, a szög melletti

0:06:07.857,0:06:09.583
befogó 4.

0:06:09.583,0:06:12.050
Tehát a derékszögű háromszög [br]oldalainak ismeretében

0:06:12.050,0:06:14.933
meg tudtuk határozni a jelentősebb [br]szögfüggvényeket.

0:06:14.933,0:06:17.047
Látni fogjuk, hogy vannak más [br]szögfüggvények is,

0:06:17.047,0:06:20.267
de azok mind ebből a három

0:06:20.267,0:06:22.860
alapvető szögfüggvényből származtathatók.

0:06:22.870,0:06:25.487
Most pedig foglalkozzunk ennek [br]a háromszögnek a másik szögével,

0:06:25.487,0:06:29.340
újra lerajzolom, mert ez az ábra [br]kezd egy kicsit áttekinthetetlen lenni.

0:06:29.340,0:06:32.133
Szóval újra lerajzolom [br]

0:06:32.133,0:06:34.133
pontosan ugyanezt a háromszöget.

0:06:34.133,0:06:37.867
És ismét, a háromszög [br]oldalainak a hossza ‒

0:06:37.867,0:06:41.677
van itt nekünk egy 4 hosszúságú, [br]egy 3 hosszúságú,

0:06:41.677,0:06:44.000
és egy 5 hosszúságú oldal.

0:06:44.000,0:06:47.000
Az előző példában ezt a thétát használtuk.

0:06:47.000,0:06:53.548
Most foglalkozzunk a másik szöggel, [br]ezzel itt fenn,

0:06:53.548,0:06:56.933
nevezzük el ‒ nem is tudom, [br]találomra választok

0:06:56.933,0:06:58.533
valami görög betűt.

0:06:58.533,0:07:00.267
Legyen mondjuk pszí.

0:07:00.267,0:07:01.512
Tudom, egy kicsit bizarr,

0:07:01.512,0:07:03.053
rendszerint a thétát használjuk,

0:07:03.053,0:07:05.067
de mivel a théta már foglalt, legyen pszí.

0:07:05.067,0:07:07.193
Vagy tulajdonképpen[br]‒ hadd egyszerűsítsem le,

0:07:07.193,0:07:09.000
legyen a szög neve x.

0:07:09.000,0:07:10.427
Nevezzük ezt a szöget x-nek!

0:07:10.427,0:07:13.333
Határozzuk meg ennek az x szögnek [br]a szögfüggvényeit!

0:07:13.333,0:07:18.127
Mivel lesz egyenlő szinusz x?

0:07:18.127,0:07:20.830
Nos, a szinusz a szemközti per az átfogó.

0:07:20.830,0:07:24.200
Melyik oldal van szemben az x-szel?

0:07:24.200,0:07:25.910
x a 4 felé nyílik,

0:07:25.910,0:07:27.467
a 4 felé nyílik,

0:07:27.467,0:07:29.933
tehát ebben az összefüggésben [br]most ez a szemközti,

0:07:29.933,0:07:32.133
ez most a szemközti oldal.

0:07:32.133,0:07:34.553
Emlékezz vissza: a 4 volt a [br]théta melletti befogó,

0:07:34.553,0:07:38.239
de most ez az x-szel szemközti befogó.

0:07:38.239,0:07:39.759
Tehát 4 per ‒

0:07:39.759,0:07:41.193
mi most az átfogó?

0:07:41.193,0:07:42.783
Igen, az átfogó ugyanaz,

0:07:42.783,0:07:44.963
függetlenül attól, [br]melyik szöget választod,

0:07:44.963,0:07:47.037
az átfogó tehát most 5 lesz,

0:07:47.037,0:07:48.377
szinusz x pedig 4/5.

0:07:48.377,0:07:55.067
Nézzünk egy másikat: mennyi koszinusz x?

0:07:55.067,0:07:57.733
A koszinusz a melletti per az átfogó.

0:07:57.733,0:08:00.667
Melyik az az x melletti oldal, [br]amelyik nem az átfogó?

0:08:00.667,0:08:02.200
Itt van az átfogó.

0:08:02.200,0:08:04.653
Igen, ez a 3 az egyik oldal,

0:08:04.653,0:08:08.267
amelyik megformálja az x szög csúcsát,[br]és ez nem az átfogó,

0:08:08.267,0:08:10.333
tehát ez a szög melletti befogó.

0:08:10.333,0:08:11.333
Ez a melletti.

0:08:11.333,0:08:14.376
3 per az átfogó,

0:08:14.376,0:08:16.800
az átfogó 5.

0:08:16.800,0:08:20.133
És végül a tangens.

0:08:20.133,0:08:22.271
Meg akarjuk határozni x tangensét.

0:08:22.271,0:08:24.733
A tangens a szemközti per a melletti,

0:08:24.733,0:08:27.983
„szisza koma taszem”,

0:08:27.983,0:08:29.533
szemközti per meletti.

0:08:29.533,0:08:31.933
A szemközti oldal 4,

0:08:31.933,0:08:35.267
ezzel a kékkel akarom csinálni,

0:08:35.267,0:08:42.752
a szemközti oldal 4, [br]a szomszédos befogó 3.

0:08:42.752,0:08:43.702
És készen vagyunk!

0:08:43.725,0:08:46.279
A következő videóban [br]egy csomó ilyen példát csinálok,

0:08:46.279,0:08:48.511
azért, hogy valóban ráérezzünk erre.

0:08:48.511,0:08:50.757
De hagylak gondolkodni arról, [br]hogy mi történik,

0:08:50.757,0:08:53.149
ha ezek a szögek elkezdenek [br]közeledni a 90 fokhoz,

0:08:53.149,0:08:55.364
vagy hogyan nőhetnek akár [br]90 foknál nagyobbra.

0:08:55.374,0:08:56.433
Látni fogjuk, hogy

0:08:56.433,0:08:59.207
a „szisza koma taszem” definíció[br]messze fog minket vinni,

0:08:59.207,0:09:01.553
a 0 és 90 fok közötti szögek témájában,

0:09:01.553,0:09:04.153
illetve azokéban, amelyek kisebbek, [br]mint 90 fok.

0:09:04.153,0:09:06.067
Kezdenek összekuszálódni,

0:09:06.067,0:09:07.517
tényleg a határokat feszegetik.

0:09:07.517,0:09:09.077
Bevezetünk majd egy új definíciót,

0:09:09.077,0:09:11.223
ami a „szisza koma taszem”-ből[br]származtatható,

0:09:11.223,0:09:12.563
hogy valóban minden szögnek

0:09:12.563,0:09:16.488
megtaláljuk a szinuszát, [br]koszinuszát és tangensét.