Ebben a videóban a trigonometria alapjait szeretném bemutatni. Nagyon bonyolultnak hangozhat elsőre a téma, de látni fogod, hogy ez a témakör mindössze a háromszögek oldalainak arányával foglalkozik. A „trig” rész a „trigonometriából” háromszöget jelent, a „metria” rész pedig mérést. Mutatok néhány példát, azt hiszem, minden világos lesz ez után. Rajzolok egy derékszögű háromszöget. Ez itt egy derékszögű háromszög. Amikor azt mondom, hogy derékszögű, az azt jelenti, hogy az egyik szöge 90 fokos. Ez itt a derékszöge. 90 fokkal egyenlő. Beszélni fogunk a szögmérés más módjairól is a későbbi videókban. Tehát van egy 90 fokos szögünk. Ez egy derékszögű háromszög, megadom az oldalak hosszát. Ez az oldal legyen mondjuk 3. A magasság legyen 3. Az alapja legyen 4, és a háromszög átfogója legyen 5. Csak a derékszögű háromszögeknek van átfogója. Szemben van a derékszöggel, és ez a leghosszabb oldala a háromszögnek. Tehát ez itt az átfogó. Valószínűleg már tanultad ezt geometriából. Ellenőrizhetjük, hogy ez egy derékszögű háromszög, ‒ az oldalak segítségével ‒ tudjuk a Pitagorasz-tételből, hogy 3 a négyzeten plusz 4 a négyzetennek egyenlőnek kell lennie a leghosszabb oldal, vagyis az átfogó négyzetével, ami 5 a négyzeten, tehát ellenőrizheted, hogy rendben van, kielégíti a Pitagorasz-tételt. Hagyjuk most már ezt, és tanuljunk egy kis trigonometriát! Az alapvető trigonometrikus függvények, egy kicsit többet fogunk tanulni arról, hogy mit is jelentenek ezek. Van a szinusz, a szinuszfüggvény, van a koszinuszfüggvény és a tangensfüggvény. Röviden úgy írjuk, hogy sin, cos és tan. Bármelyik szögre is írjuk fel ezeket, meghatározzák az egyes oldalak arányát. Először is tisztázzunk valamit! Van egy kis emlékeztető, ami segít megjegyezni a szögfüggvények definícióit. Leírom neked, ez a „szisza koma taszem”, csodálkozni fogsz, milyen messzire fog ez vezetni téged a trigonometriában. Mit mond nekünk a „szisza koma taszem”? A „szisza” azt mondja, hogy a szinusz a szemközti per az átfogó. Ezt mondja, de ennek most még nincs sok értelme. Mindjárt elmondom részletesebben. A koszinusz egyenlő melletti per átfogó, végül a tangens egyenlő a szemközti per melletti. Valószínűleg most azt mondod: „Hé, Sal, mi ez a »szemközti«, »átfogó«, »melletti«, miről beszélsz?” Jól van, vegyünk egy szöget! Legyen ez a szög itt théta, a 4 hosszúságú és az 5 hosszúságú oldalak között. Ez a théta. Most pedig számítsuk ki théta szinuszát, koszinuszát és tangensét! Először koncentráljunk a théta szinuszára, csak a „szisza koma taszem”-re kell emlékeznünk, a szinusz a szemközti per az átfogó, tehát szinusz théta egyenlő a szemközti - de mi a szöggel szemközti oldal? Ez itt a mi szögünk, és a szemközti oldal, tehát ha szembe megyünk, nem azok az oldalak, amelyek a szög mellett vannak, a szemközti oldal 3, e felé a 3 felé nyílik, tehát a szemközti oldal 3. Na és mennyi az átfogó? Nos, ezt már tudjuk ‒ az átfogó itt 5. Tehát 3 per 5. Szinusz théta 3 per 5. Nemsokára megmutatom neked, hogy szinusz théta ‒ ha a szög ugyanaz ‒ mindig 3/5 lesz. A szemközti befogó és az átfogó hányadosa mindig ugyanaz lesz, még akkor is, ha a háromszög nagyobb, vagy amikor kisebb. Hamarosan megmutatom ezt neked. Nézzük a többi szögfüggvényt! Gondolkodjunk azon, mi lesz a théta koszinusza! A koszinusz a melletti per az átfogó, emlékszel, bejelölöm ezeket. Már rájöttünk, hogy a szemközti oldal 3. Ez a szemközti oldal. De csak akkor, ha erről a szögről beszélünk. Ha erről a szögről van szó, ez az oldal a szemközti. Amikor erről a szögről beszélünk, ez a 4 hosszúságú oldal a szög melletti befogó, az egyik a két oldal közül, amelyek megformálják ezt a csúcsot. Tehát ez itt a szomszédos befogó. Egészen világos szeretnék lenni, ez csak erre a szögre vonatkozik. Ha erről a másik szögről beszélünk, akkor ez a zöld a szemközti befogó, és ez a sárga a szög melletti befogó. De mi továbbra is itt erre a szögre koncentrálunk. Ennek a szögnek a koszinusza - a szög melletti befogó 4, melletti per átfogó, a melletti, ami 4, per az átfogó, 4 per 5. Csináljuk a tangenst! Csináljuk most a tangenst! Tangens théta: szemközti per melletti. A szemközti befogó 3. Mekkora a szög melletti befogó? Kitaláltuk már, a szög melletti befogó 4. Tehát a derékszögű háromszög oldalainak ismeretében meg tudtuk határozni a jelentősebb szögfüggvényeket. Látni fogjuk, hogy vannak más szögfüggvények is, de azok mind ebből a három alapvető szögfüggvényből származtathatók. Most pedig foglalkozzunk ennek a háromszögnek a másik szögével, újra lerajzolom, mert ez az ábra kezd egy kicsit áttekinthetetlen lenni. Szóval újra lerajzolom pontosan ugyanezt a háromszöget. És ismét, a háromszög oldalainak a hossza ‒ van itt nekünk egy 4 hosszúságú, egy 3 hosszúságú, és egy 5 hosszúságú oldal. Az előző példában ezt a thétát használtuk. Most foglalkozzunk a másik szöggel, ezzel itt fenn, nevezzük el ‒ nem is tudom, találomra választok valami görög betűt. Legyen mondjuk pszí. Tudom, egy kicsit bizarr, rendszerint a thétát használjuk, de mivel a théta már foglalt, legyen pszí. Vagy tulajdonképpen ‒ hadd egyszerűsítsem le, legyen a szög neve x. Nevezzük ezt a szöget x-nek! Határozzuk meg ennek az x szögnek a szögfüggvényeit! Mivel lesz egyenlő szinusz x? Nos, a szinusz a szemközti per az átfogó. Melyik oldal van szemben az x-szel? x a 4 felé nyílik, a 4 felé nyílik, tehát ebben az összefüggésben most ez a szemközti, ez most a szemközti oldal. Emlékezz vissza: a 4 volt a théta melletti befogó, de most ez az x-szel szemközti befogó. Tehát 4 per ‒ mi most az átfogó? Igen, az átfogó ugyanaz, függetlenül attól, melyik szöget választod, az átfogó tehát most 5 lesz, szinusz x pedig 4/5. Nézzünk egy másikat: mennyi koszinusz x? A koszinusz a melletti per az átfogó. Melyik az az x melletti oldal, amelyik nem az átfogó? Itt van az átfogó. Igen, ez a 3 az egyik oldal, amelyik megformálja az x szög csúcsát, és ez nem az átfogó, tehát ez a szög melletti befogó. Ez a melletti. 3 per az átfogó, az átfogó 5. És végül a tangens. Meg akarjuk határozni x tangensét. A tangens a szemközti per a melletti, „szisza koma taszem”, szemközti per meletti. A szemközti oldal 4, ezzel a kékkel akarom csinálni, a szemközti oldal 4, a szomszédos befogó 3. És készen vagyunk! A következő videóban egy csomó ilyen példát csinálok, azért, hogy valóban ráérezzünk erre. De hagylak gondolkodni arról, hogy mi történik, ha ezek a szögek elkezdenek közeledni a 90 fokhoz, vagy hogyan nőhetnek akár 90 foknál nagyobbra. Látni fogjuk, hogy a „szisza koma taszem” definíció messze fog minket vinni, a 0 és 90 fok közötti szögek témájában, illetve azokéban, amelyek kisebbek, mint 90 fok. Kezdenek összekuszálódni, tényleg a határokat feszegetik. Bevezetünk majd egy új definíciót, ami a „szisza koma taszem”-ből származtatható, hogy valóban minden szögnek megtaláljuk a szinuszát, koszinuszát és tangensét.