-
Zróbmy mnóstwo przykładów, aby mieć pewność, że rozumiemy
-
dobrze funkcje trygonometryczne.
-
Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych.
-
Skonstruujmy kilka trójkątów prostokątnych;
-
chcę, żeby było jasne, że
-
ten sposób działa jedynie w trójkątach prostokątnych, więc jeżeli próbujemy znaleźć
-
funkcje trygonometryczne kątów nie będących kątami trójkątów prostokątnych, zobaczymy, że
-
musimy skonstruować trójkąty prostokątne,
-
ale teraz skupmy się jedynie na trójkątach prostokątnych.
-
Powiedzmy, że mamy trójkąt,
-
w którym ta długość wynosi siedem
-
i powiedzmy, że długość tego boku
-
wynosi cztery.
-
Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że
-
— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —
-
wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,
-
wiemy z twierdzenia Pitagorasa,
-
że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy
-
sumie kwadratów
-
pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.
-
Jest to równe 49
-
49 + 16,
-
49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi
-
65. A więc h podniesione do kwadratu
-
napiszmy: h do kwadratu
-
— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe
-
65. Czy zrobiłem to poprawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6
-
wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy
-
Pierwiastek kwadratowy
-
pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać
-
to jest 13
-
to to samo co 13 razy 5,
-
obydwie nie są kwadratami
-
oraz obydwie są liczbami pierwszymi, więc nie można uprościć zapisu bardziej.
-
Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu
-
Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta.
-
Nazwijmy ten kąt theta.
-
Zawsze kiedy to robicie
-
możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —
-
„soh cah toa”.
-
soh...
-
...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia
-
mojego
-
nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś
-
jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatny
-
skrót pamięciowy,
-
więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy
-
powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus.
-
Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.
-
Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”
-
Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,
-
część „cah” mówi nam,
-
że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej (ang. adjacent) do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]
-
Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta
-
Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?
-
Wiemy, że przeciwprostokątna
-
wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony,
-
więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który
-
nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.
-
A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,
-
jest dokładnie obok kąta,
-
jest jednym z boków tworzących kąt.
-
Jest równa 4
-
Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4
-
podzielone przez
-
Czasem potrzebne jest uproszczenie mianownika, co oznacza, że
-
w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna,
-
jak pierwiastek z 65.
-
Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie
-
usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik
-
przez pierwiastek kwadratowy z 65.
-
To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ
-
mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc
-
w istocie mnożymy przez 1.
-
To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się niewymierności z mianownika.
-
Licznik przyjmie postać
-
4 razy pierwiastek z 65,
-
a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.
-
Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.
-
Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,
-
a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi.
-
Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,
-
ale one wszystkie pochodzą z funkcji podstawowych,
-
więc pomyślmy, co jest znakiem theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”.
-
„Soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]
-
Sinus jest równy
-
stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.
-
Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?
-
Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7,
-
a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.
-
Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,
-
a następnie
-
przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość
-
Pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć
-
Ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65
-
podzielony przez pierwiastek z 65
-
i w liczniku otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu
-
ponownie 65.
-
Teraz zajmijmy się tangensem!
-
Zajmijmy się tangensem.
-
Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens
-
tangens kąta theta,
-
wracamy ponownie do soh cah
-
toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens.
-
Mówi on nam,
-
mówi nam, że tangens
-
jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej
-
do
-
przyprostokątnej przeciwległej do przyległej, [ang. opposite, adjacent]
-
więc dla tego kąta
-
wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest naprzeciw boku
-
o długości 7,
-
więc to bok o długości 7
-
Cóż, ten o długości 4 jest przyległy
-
bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4.
-
A więc jest to 7
-
I zakończyliśmy.
-
Wyliczyliśmy wszystkie wartości dla kąta theta, zabierzmy się za następny.
-
Zabierzmy się za następny.
-
Zrobię to bardziej konkretnie, bo teraz mówiłem o
-
tangensie x, tangensie theta. Zróbmy to dla konkretnej wartości.
-
Powiedzmy
-
Powiedzmy, że narysuję kolejny trójkąt prostokątny
-
Oto kolejny trójkąt prostokątny.
-
Wszystko, z czym mamy do czynienia,
-
Powiedzmy, że przeciwprostokątna
-
ma długość 4.
-
i powiedzmy, że ten bok tutaj ma długość równą dwa pierwiastki kwadratowe z trzech. Możemy
-
zweryfikować, że tak jest,
-
jeżeli podniesiemy tę stronę do kwadratu, zapiszę: 2 pierwiastki kwadratowe z
-
trzech, podniesione do kwadratu
-
dodać dwa do kwadratu jest równe czemu?
-
To jest
-
4 razy 3 dodać 4
-
i to będzie 12 dodać 4, co jest równe 16, a 16 to w istocie
-
4 do kwadratu, a więc to się równa 4 do kwadratu,
-
równa się 4 do kwadratu i spełnia twierdzenie Pitagorasa.
-
Jeżeli pamiętacie zadania z trójkątami z kątami 30,60,90 stopni,
-
o których być może uczyliście się na geometrii,
-
możecie rozpoznać, że to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni;
-
tutaj jest nasz kąt prosty, powinienem
-
przeciągnąć go, aby pokazać, że to trójkąt prostokątny.
-
Ten kąt tutaj jest 30-stopniowy,
-
a ten tutaj, ten kąt jest
-
kątem 60-stopniowym
-
i to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni, ponieważ
-
bok naprzeciw kąta o mierze 30 stopni jest połową przeciwprostokątnej,
-
a bok naprzeciwko kąta o mierze 60 stopni jest równy pierwiastkowi z trzech pomnożonemu przez drugi bok
-
nie będący przeciwprostokątną,
-
więc nie będziemy się nim zajmować,
-
to nie jest przegląd trójkątów z kątami 30,60,90 stopni.
-
Obecnie znajdźmy funkcje trygonometryczne dla innych kątów.
-
Więc jeśli zostaniecie poproszeni
-
ile wynosi sinus 30 stopni
-
i pamiętacie, że jeden z kątów tego trójkąta ma 30 stopni, ale dotyczy to
-
każego 30-stopniowego kąta. Gdy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, będziemy
-
mieć szersze definicje w przyszłości, ale jeśli mówimy o sinusie 30 stopni,
-
to nie jest złotą regułą, tutaj jest 30 stopni, więc mogę użyć tego trójkąta prostokątnego
-
i wystarczy pamiętać soh cah toa,
-
więc przepiszę to
-
Soh wskazuje, jak uzyskać sinus. Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.
-
Sinus 30 stopni jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej,
-
która to jest bokiem o długości 2,
-
do przeciwprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątna ma długość 4.
-
Wynosi to dwie czwarte, czyli jedna druga.
-
Jak widać, sinus 30 stopni zawsze jest równy
-
Teraz, ile wynosi
-
Ile wynosi cosinus
-
Raz jeszcze wróćmy do soh cah toa.
-
Cah wskazuje, jak uzyskać cosinus.
-
Cosinus jest stosunkiem przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.
-
Rozpatrując kąt 30 stopni, to jest przyprostokątna przyległa, ten bok tutaj to
-
przyprostokątna przyległa, przylega do kąta
-
i nie jest to przeciwprostokątna.
-
Stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej jest równy dwa
-
Stosunek przyprostokątnej przyległej
-
Jeżeli uprościmy wyrażenie, podzielimy licznik i mianownik przez dwa, będzie to pierwiastek kwadratowy z trzech
-
podzielony przez 2.
-
Na koniec obliczmy
-
Tangens 30 stopni.
-
Wracamy do soh cah toa.
-
soh cah toa
-
Toa mówi nam, jak uzyskać tangens. To stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
-
Patrzymy na kąt 30 stopni, ponieważ nim się zajmujemy. Tangens 30 stopni
-
tangens 30 stopni, przyprostokątna przeciwległa ma długość 2
-
przyprostokątna przeciwległa ma długość 2, a przyległa ma długość dwa pierwiastki z trzech, leży ona w sąsiedztwie
-
kąta
-
oznacza to, że przylega do kąta.
-
Więc dwa pierwiastki kwadratowe z trzech
-
co jest równe
-
dwójki się upraszczają, więc to 1 podzielone przez pierwiastek kwadratowy z trzech.
-
Możemy pomnożyć licznik i mianownik przez pierwiastek kwadratowy z trzech,
-
więc otrzymujemy:
-
co jest równe licznikowi wynoszącemu pierwiastek z trzech,
-
a mianownik tutaj jest równy po prostu 3,
-
a więc jest liczbą wymierną.
-
W porządku.
-
Teraz użyjmy tego samego trójkąta, aby zobaczyć, jakie są wartości funkcji trygonometrycznych dla 60 stopni,
-
ponieważ już go sporządziliśmy.
-
A więc ile wynosi
-
ile wynosi sinus 30 stopni i myślę, że pojmujecie istotę rzeczy.
-
Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, soh z soh cah toa. Dla kąta 60 stopni, który bok
-
jest przyprostokątną przeciwległą?
-
który leży naprzeciw
-
i z kąta 60 stopni przyprostokątna przy... och, przepraszam, to stosunek
-
przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, nie chciałem Was zdezorientować.
-
A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej,
-
który wynosi dwa pierwiastki z trzech podzielone na cztery. Cztery to długość przeciwprostokątnej.
-
Jest to równe, po uproszczeniu, pierwiastek z trzech przez dwa,
-
co jest wartością cosinusa 60 stopni. Cosinus 60 stopni.
-
A więc pamiętajcie soh cah toa. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.
-
Przyprostokątna przyległa jest po drugiej stronie obok kąta 60 stopni, więc jest to dwa
-
podzielone przez przeciwprostokątną o długości 4
-
a więc jest to równe
-
I w końcu
-
ile wynosi tangens, ile wynosi tangens
-
Cóż, tangens, soh cah toa, tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
-
Przyprostokątna przeciwległa do kąta 60 stopni
-
ma długość dwa pierwiastki z trzech.
-
Dwa pierwiastki z trzech,
-
a przyprostokątna przyległa do kąta,
-
przyległa do kąta
-
przyprostokątna przyległa do kąta 60 stopni ma długość 2.
-
A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
-
Dwa pierwiastki kwadratowe z 3 podzielone przez 2 jest równe
-
Do czego zmierzałem — spójrzcie, jak funkcje są ze sobą powiązane.
-
Sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 stopni.
-
Cosinus 30 stopni jest równy sinusowi 60 stopni.
-
Te funkcje są przestawione [dla tych kątów]
-
i myślę, że jeśli pomyślicie trochę o tym trójkącie,
-
zacznie być jasne, dlaczego tak jest.
-
Będziemy to rozszerzać i zrobimy
-
więcej ćwiczeń praktycznych w następnych kilku filmach.