-
Zróbmy mnóstwo przykładów, aby mieć pewność, że rozumiemy
-
dobrze tę funkcję trygonometryczną.
-
Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych.
-
Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych; chcę, aby jasny był sposób, jaki zdefiniowałem
-
dotychczas, będzie on działał jedynie w trójkątach prostokątnych, więc jeżeli próbujemy znaleźć
-
funcje trygonometryczne kątów nie będących kątami trójkątów prostokątnych, zobaczymy, że
-
musimy skonstrułować trójkąty prostokątne, ale teraz skupmy się jedynie na trójkątach prostokątnych.
-
Powiedzmy, że mamy trójkąt, w którym ta długość wynosi siedem
-
i powiedzmy, że długość tego boku wynosi cztery.
-
Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że
-
— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —
-
wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,
-
wiemy z twierdzenia Pitagorasa,
-
że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy
-
sumie kwadratów
-
pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.
-
Jest to równe 49
-
49 + 16,
-
49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi
-
65. A więc h podniesione do kwadratu
-
napiszmy: h do kwadratu
-
— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe
-
65. Czy zrobiłem to porpawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6
-
wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy
-
pierwiastek kwadratowy
-
pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać
-
to jest 13
-
to to samo co 13 razy 5, obydwie nie są kwadratami
-
oraz obydwie są pierwsze, więc nie można uprościć zapisu bardziej.
-
Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu
-
Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta. Nazwijmy ten kąt theta.
-
Zawsze kiedy to robicie
-
możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —
-
„soh cah toa”.
-
soh...
-
...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia
-
mojego
-
nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś
-
jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatne
-
skróty pamięciowe, więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy
-
powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus. Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.
-
chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”
-
Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,
-
część „cah” mówi nam,
-
że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]
-
Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta
-
Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?
-
Wiemy, że przeciwprostokątna
-
Wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony
-
więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który
-
nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.
-
A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,
-
jest dokładnie obok kąta, jest jednym z boków tworzących kąt.
-
Jest równa 4
-
Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4
-
podzielone przez
-
Czasem potrzebne jest uproszczenie mianowinika, co oznacza, że
-
w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna, jak pierwiastek z 65.
-
Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie
-
usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik
-
przez pierwiastek kwadratowy z 65.
-
To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc
-
w istocie mnożymy przez 1. To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się
-
niewymierności z mianownika. Licznik przyjmie postać
-
4 razy pierwiastek z 65,
-
a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.
-
Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.
-
Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,
-
a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi. Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,
-
ale one wszystkie pochodzą z nich,
-
więc pomyślmy, czym jest znak theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”
-
„soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]
-
Sinus jest równy
-
stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.
-
Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?
-
Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7
-
a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.
-
Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,
-
a następnie
-
przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość
-
i ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65
-
podzielony przez pierwiastek z 65
-
i w licznikiu otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu
-
ponownie 65.
-
Teraz zajmijmy się tangensem!
-
Zajmijmy się tangensem.
-
Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens
-
tangens kąta theta,
-
wracamy ponownie do soh cah
-
toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens
-
mówi on nam
-
mówi nam, że tangens
-
jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej
-
do
-
przyprostokątnej przeciwległej do przyległej
-
więc dla tego kąta
-
wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest narzeciw boku
-
o długości 7
-
więc to bok o długości 7
-
ten o długości 4 jest przyległy
-
bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4
-
a więc jest to 7
-
i zakończyliśmy
-
Not Synced
do przeciwprostokątnej.
-
Not Synced
dodać 16,
-
Not Synced
pierwiastek kwadratowy z 65
-
Not Synced
pierwiastek kwadratowy z 65.
-
Not Synced
podzielone przez 4
-
Not Synced
podzielone przez długość przeciwprostokątnej.
-
Not Synced
przez... który bok jest przyległy?
-
Not Synced
z 65.
-
Not Synced
z obydwu stron