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Faisons plusieurs exemples pour bien comprendre
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les fonctions trigonométriques.
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Construisons des triangles rectangles
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Nous allons construire des triangles rectangles et je veux être très clair sur la définition,
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cela s'applique uniquement sur les triangles rectangles. Si vous cherchez
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les fonctions trigonométriques d'angles qui ne sont pas dans des triangles rectangles, vous verrez qu'on devra
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construire des triangles rectangles. Pour l'instant, focalisons-nous sur les triangles rectangles.
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Disons que j'ai un triangle, dont la longueur ici est 7,
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et disons que ce côté ici est de 4.
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Essayons de voir quelle sera la longueur de l'hypoténuse.
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nous allons appeller h l'hypoténuse
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nous savons que h au carré est égal à sept au carré plus quatre au carré, nous savons
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ça grâce au théorème de Pythagore,
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que l'hypoténuse au carré est égale à
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la somme des carrés
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des deux autres côtés. h au carré est égal à 7 au carré, plus 4 au carré.
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Donc ceci est égal à 49
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49 plus 16
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49 plus 10 font 59, plus 6 font
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65.
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Donc h au carré
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h au carré est égal à 65.
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C'est bien ça? 49 plus 10 font 59, plus 6
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font 65, on peut aussi dire que h est égal à,
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h est égal à la racine carrée de 65.
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Et on ne peut pas simplifier cette expression:
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65, c'est 13 fois 5,
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ni 13 ni 5 ne sont des carrés parfaits,
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ce sont des nombres premiers, donc on ne peut pas simplifier cette expression.
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Donc h est égal à la racine carrée
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Maintenant, regardons les fonctions trigonométriques de cet angle ici. Appelons cet angle thêta.
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Quand on fait ça,
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il faut écrire - moi ça m'aide -
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"soh cah toa".
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soh...
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...soh cah toa. Je me rappelle ça
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de mon professeur de trigonométrie,
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ou alors je l'ai lu quelque part, je ne sais plus,
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une histoire de princesse indienne qui s'appelait "soh cah toa",
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et c'est un moyen mnémotechnique efficace.
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Par exemple, si on veut trouver le cosinus de cet angle
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Pour trouver le cosinus de cet angle, vous dites: "soh cah toa!"
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Le "cah" nous dit comment trouver le cosinus:
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CAH = Cosinus Adjacent Hypoténuse
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Le cosinus est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse.
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CAH: le cosinus (C) est égal à l'adjacent (A)
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Revenons à théta. Quel côté est son adjacent?
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Nous savons que l'hypoténuse
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Nous savons que l'hypoténuse est ce côté ici.
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Le seul côté qui est adjacent à thêta
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et qui n'est pas l'hypoténuse, c'est ce 4 ici.
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Le côté adjacent ici,
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qui est juste à côté de l'angle, c'est l'un des côtés qui forment l'angle,
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c'est 4
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Nous savons que l'hypoténuse est la racine carrée de 65,
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donc c'est 4 sur racine carrée de 65.
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Certaines personnes veulent que vous rationalisiez le dénominateur,
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ils n'aiment pas avoir un nombre comme racine carrée de 65 au dénominateur
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donc, si vous voulez ré-écrire ceci sans nombre irrationnel au dénominateur,
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vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur
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par racine carrée de 65.
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Ca ne change rien au nombre, puisque nous multiplions par un nombre divisé par lui-même,
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donc en fait nous multiplions par 1.
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Mais ça nous débarrasse du nombre irrationnel au dénominateur.
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Donc, le numérateur devient 4 fois racine carrée de 65,
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et le dénominateur, racine carrée de 65 multiplé par racine carrée de 65, donc tout simplement 65.
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Le nombre irrationnel est toujours là, mais il est maintenant au numérateur.
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Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.
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Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.
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On verra plus tard qu'il en existe d'autres, qui sont dérivées de ces fonctions principales.
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Pour le sinus de thêta, pensons à "soh cah toa"
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SOH = Sinus Opposite Hypoténuse
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Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.
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Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.
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Pour cet angle, quel côté est l'opposé?
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Si on va à l'opposé, le côté vers lequel il s'ouvre: c'est-à-dire le 7
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donc le côté opposé est le 7.
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Voici donc le côté opposé
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et ensuite, comme c'est opposé sur hypoténuse,
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L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65
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et si on veut rationaliser, on peut multiplier par racine carrée de 65
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sur racine carrée de 65
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alors au numérateur, on aura 7 racine carrée de 65,
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et au dénominateur, juste 65.
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Et maintenant, la tangente!
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Alors, la tangente.
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Si je vous demande la tangente
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la tangente de thêta
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si on se souvient de soh cah toa
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grâce à TOA, on sait comment calculer la tangente
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TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent
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Donc la tangente est égale
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au côté opposé sur le coté adjacent
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au côté opposé sur le coté adjacent
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la tangente est égale au côté opposé sur le coté adjacent
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donc pour cet angle
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nous savons que le côté opposé est 7
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puisque l'angle s'ouvre sur l'opposé qui est 7
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donc c'est 7
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et le côté adjacent, c'est 4 ici
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donc puisque le côté adjacent est 4
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la tangente c'est 7 sur 4
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et voilà
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on a trouvé toutes les fractions pour thêta.
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Faisons-en un autre, un peu plus concret.
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Parce que pour le moment, on parle de tangente de thêta, soyons un peu plus concrets
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Si je dessine un autre triangle rectangle,
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voilà un autre triangle rectangle
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on ne parle que de triangle rectangle
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tous les triangles avec lesquels on travaille
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si l'hypoténuse
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a une longueur de 4
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et si cette longueur ici est 2 racine carrée de 3
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on peut voir ce que ça donne
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Si on met ce côté au carré,
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ça donne 2 racine carrée de 3 au carré
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+ 2 au carré, ça donne quoi?
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2 au carré ça fait 4
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4 fois 3 plus 4
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donc ça fait 12 plus 4 donc 16
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et 16, c'est 4 au carré
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Donc le théorème de Pythagore est bien vérifié.
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Si vous vous rappelez de triangles 30 60 90
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que vous avez pu apprendre en géométrie,
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vous reconnaissez que voici un triangle 30 60 90, et ici c'est notre angle droit
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J'aurais pu mettre dès le début que c'est un angle droit
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et donc cet angle ici est notre angle de 30 degrés
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et par conséquent, cet angle ici,
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c'est un angle de 60 degrés
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et c'est un 30 60 90 car
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le côté opposé à l'angle de 30 degrés est la moitié de l'hypoténuse
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et que le côté opposé à l'angle de 60 degrés est égal à
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racine carrée de 3 fois le côté qui n'est pas l'hypoténuse
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Bon, je ne suis pas censé faire une révision des triangles 30 60 90
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cherchons plutôt les fractions trigonométriques
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Si je vous demande
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quel est le sinus de 30 degrés
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sachant que 30 degrés est l'un des angles de ce triangle
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mais ça marche dès qu'on a un angle de 30 degrés et un triangle rectangle
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plus tard on verra des définitions plus générales
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Comme ici j'ai un angle de 30 degrés, je peux utiliser ce triangle rectangle
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et si on se rappelle de son cah toa
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soh
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Grâce à SOH on sait que le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
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le sinus de 30 degrés est donc le côté opposé
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que voici, soit 2
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sur l'hypoténuse, qui est 4 ici.
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Donc ça fait 2 sur 4 soit un demi
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le sinus de 30 degrés
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Maintenant
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Quel est le cosinus
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on en revient toujours à soh cah toa
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Avec CAH on sait que le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse
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donc pour l'angle de 30 degrés
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voici le côté adjacent
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juste à côté de l'angle
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c'est donc le côté adjacent sur l'hypoténuse
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le côté adjacent
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en simplifiant, on divise le numérateur et le dénominateur par 2,
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ça donne racine carrée de 3 sur 2
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Et maintenant,
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la tangente de 30 degrés
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on en revient toujours à soh cah toa
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soh cah toa
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D'après TOA on sait que la tangente est égale à l'opposé sur l'adjacent
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Pour l'angle de 30 degrés,
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le côté opposé c'est 2
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et le côté adjacent c'est 2 racine carrée de 3
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puisque adjacent, ça veut dire à côté
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voilà le côté adjacent
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donc 2 racine carrée de 3
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donc la tangente est égale à (les 2 s'annulent)
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1 sur racine carrée de 3
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et si on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de 3
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on aura
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donc le numérateur est égal à racine carrée de 3
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et le dénominateur est égal à 3
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on a "rationalisé"
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Maintenant, avec le même triangle
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regardons les fractions trigonométriques pour l'angle de 60 degrés
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quel est le sinus de 60 degrés
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je pense que vous commencez à maîtriser
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le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse (SOH de soh cah toa)
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le côté opposé est ici
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soit 2 racine carrée de 3
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et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
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et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
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et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
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c'est 2 racine carrée de 3 sur 4, puisque 4 est l'hypoténuse
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ça peut se simplifier en racine carrée de 3 sur 2
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et maintenant le cosinus de 60 degrés?
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le cosinus est l'adjacent sur l'hypoténuse (cah)
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l'adjacent est à côté de l'angle soit 2
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sur l'hypoténuse soit 4
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donc ceci est égal à
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Enfin,
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que vaut la tangente de 60 degrés?
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la tangente est l'opposé sur l'adjacent (toa)
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l'opposé de l'angle de 60 degrés
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c'est 2 racine carrée de 3
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c'est 2 racine carrée de 3
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et l'adjacent
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de ce même angle
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le côté adjacent de l'angle de 60 degrés est 2
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donc opposé sur adjacent, ça fait
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2 racine carrés de 3 sur 2
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Regardez les similitudes
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Le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60 degrés.
Le cosinus de 30 degrés est égal au sinus de 60 degrés.
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et ces deux tangentes sont l'inverse l'une de l'autre. Si vous regardez ce triangle, ça vous paraîtra logique.
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On va en reparler plus longuement avec plein d'exercices
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dans les prochaines vidéos.
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Not Synced
4 sur racine carrée de 65.
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Not Synced
L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65
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Not Synced
Quel est le cosinus
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Not Synced
a une longueur de 2
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Not Synced
c'est 2
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Not Synced
c'est-à-dire racine carrée de 3
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Not Synced
cah
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Not Synced
de 30 degrés
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Not Synced
de 65.
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Not Synced
de me dire
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Not Synced
donc sur 4
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Not Synced
est toujours égal à un demi
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Not Synced
et si ce côté-ci
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Not Synced
fois 3
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Not Synced
la tangente
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Not Synced
la tangente c'est 7 sur 4
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Not Synced
même si je viens de le faire
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Not Synced
on a "rationalisé"
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Not Synced
plus 16,
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Not Synced
que vaut la tangente de 60 degrés?
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Not Synced
racine carrée de 3
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Not Synced
si on prend la racine carrée des deux côtés,
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Not Synced
soit 2 racine carrée de 3
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Not Synced
sont des triangles rectangles
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Not Synced
sur l'hypoténuse
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Not Synced
sur l'hypoténuse (H).
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Not Synced
sur l'hypoténuse.
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Not Synced
sur le côté adjacent
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Not Synced
sur racine carrée de 3
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Not Synced
toa
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Not Synced
un demi.