ΕΙσαγωγή στα άπειρα όρια.

Εισαγωγή στο συμβολισμό άπειρων ορίων.

Σε προηγούμενο βίντεο είδαμε γραφικές

y=1/x2 και 1/x.

Και είδαμε που τείνει το όριο

καθώς το χ πλησιάζει το 0
σε αυτές τις περιπτώσεις.

Στο αριστερό σενάριο είδαμε

καθώς το χ γίνεται λιγότερο αρνητικό,

καθώς πλησιάζει το 0 από
αριστερά ,

η τιμή του 1/χ γίνεται απεριόριστο

προς το συν άπειρο.

Το ίδιο συμβαίνει αν πλησιάσουμε από δεξιά,

καθώς το χ γίνεται όλο και πιο μικρό

αλλά πάντα θετικό,

η τιμή του 1/χ

γίνεται απεριόριστη.

Σε εκείνο το βίντεο είδαμε

ότι το όριο είναι απεριόριστο.

Σε αυτό το βίντεο

θα εισάγουμε νέο συμβολισμό.

Αντί να λέμε ότι είναι απεριόριστο,

θα πούμε ότι από αριστερά και από
δεξιά

το όριο τείνει στο συν άπειρο.

Θα δούμε τον συμβολισμό

πότε πάει στο άπειρο

που συνήθως χρησιμοποιούμε.

Μερικοί θα το πουν απεριόριστο,

άλλοι ότι δεν υπάρχει

αφούν δεν προσεγγίζουμε μια
πεπερασμένη τιμή,

άλλοι θα χρησιμοποιήσουν τον συμβολισμό

του ορίο που προσεγγίζει το άπειρο.

Τι γίνεται με αυτήν την περίπτωση;

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε
νεο συμβολισμό εδώ;

Πλησιάζουμε το μηδέν από αριστερά,

φαίνεται απεριόριστο από τα αρνητικά,

όταν πλησιάζουμε το 0 από τα δεξιά,

είναι απεριόριστο από την θετική
κατεύθυνση.

Εδώ δεν μπορείτε να πείτε

ότι το όριο πλησιάζει το άπειρο

επειδή από τα δεξιά
πλησιάζει το άπειρο,

αλλά από αριστερά πλησιάζειτο μείον άπειρο.

Μπορείτε να πείτε ότι δεν υπάρχει.

Μπορείτε να κάνετε πλευρικά όρια εδώ,

τα οποία ίσως δεν γνωρίζετε,

δείτε στην Khan Αcademy.

Αν λέγαμε ότι το όριο του 1/χ

καθώς το χ πλησιάζει το 0
από τα αριστερά,

από τιμές μικρότερες του μηδενός,

θα βλέπαμε αυτό εδώ και θα

λέγαμε ότι είναι

απεριόριστο από τα αρνητικά.

Θα λέγαμε ότι ισούται με μείον άπειρο.

Αν λέγαμε ότι το όριο καθώς
το χ πλησιάζει το μηδέν

από δεξιά του 1/χ

είναι απεριόριστο από την
θετική κατεύθυνση

θα ισούται με συν άπειρο.

Ας κάνουμε ένα παράδειγμα από την Ακαδημία

σε αυτή την ιδέα και συμβολισμό.

Έχουμε τις γραφικές Α Β και Γ.

Οι διακεκομένες γραμμές είναι ασύμπτωτες.

Ποια από τις γραφικές
συμφωνεί με την πρόταση,

ότι το όριο της h καθώς το χ

πλησιάζει το 1 είναι άπειρο;

Κάντε παύση και σκεφτείτε το.

Ας τις δούμε λοιπόν.

Θέλω να δούμε τι συμβαίνει στο χ=1.

Εδώ στην γραφική Α.

Καθώς το χ πλησιάζει το 1,

ας το γράψω, το όριο,

ας το κάνω για τις
διαφορετικές γραφικές.

Για την γραφική Α το όριο
καθώς το χ τείνει στο 1

από αριστερά, φαίνεται να

είναι απεριόριστο από τα θετικά.

Αυτό ισούται με άπειρο και το όριο

καθώς το χ τείνει στο 1 από δεξιά,

αυτό πηγαίνει στο μείον άπειρο.

Αυτό ισούται με μείον άπειρο.

Αφού πάμε σε δυο κατευθύνσεις,

δεν μπορούμε να πούμε

ότι το όριο
καθώς το χ τείνει στο 1

από τις δυο κατευθύνσεις
ισούται με άπειρο.

Θα απορρίψω αυτό.

Ας δούμε την επιλογή Β.

Ποιο είναι το όριο καθώς το χ
τείνει στο 1 από αριστερά;

Και φυσικά υπάρχουν h του χ.

Ας το γράψω.

h του x εδώ.

Καθώς πλησιάζουμε από αριστερά,

φαίνεται πάμε στο συν άπειρο.

Και φαίνεται ότι το ότιο του h του χ

καθώς τείνουμε στο 1 από δεξιά

είναι επίσης συν άπειρο.

Αφού τείνουμε στο ίδιο άπειρο

το Β μάλλον είναι το σωστό

αλλά για σιγουριά ας

δουμε και το Γ.

Φαίνεται καθαρά χ=1,

ότι καθώς το πλησιάζουμε
από αριστερά,

πάμε στο μείον άπειρο,

και από τα δεξιά

πάμε στο συν άπειρο.

Οπότε δεν τείνουμε

στο ίδιο άπειρο.

Οπότε αποκλείουμε και το Γ.